5.1.2 含30∘ 角的直角三角形的性质 课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦含30°角的直角三角形性质，核心内容为30°角所对直角边等于斜边一半及逆定理。通过直角三角板提问导入，衔接已学的直角三角形斜边中线性质，搭建学习支架引导学生探索数量关系。 其亮点是探究过程多元，用斜边中线、轴对称等方法证明性质，结合触礁问题、屋架设计等实际案例。以数学眼光观察三角板，数学思维推理证明，数学语言解决问题，提升学生推理与应用能力，为教师提供完整教学资源。

新湘教版八年级上册数学 第5章 直角三角形 5.1.2 含30°角的直角三角形的性质 学习目标 1. 掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的数量关系； 2. 理解直角三角形中直角边是斜边的一半，那这条直角边所对的角等于30°的几何意义； 3. 学会通过直角三角形的特殊性质解决一些简单的实际问题. 在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系? 任务导入 探索展示 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，如果∠A = 30° A C B 30o D 取斜边AB的中点D，连接CD. ∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线 ∴ 从而△DBC是等腰三角形 又∵ ∠ACB=90o，∠A=30o ∴ ∠B=60o 从而 △DBC为等边三角形. ∴ 探索展示 由此可得 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. A C B 30o 可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试 应用提升 例1 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距 海里，如图所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知 ≈1. 732) D 60O 海里 A B O 北 东 解:取轮船航向所在的直线为OB. 过A点作AD⊥OB，垂足为D，连接AO 在Rt△AOD中， 海里，∠AOD=30o ∴ ∵AD ≈ 25. 98 > 20 ∴轮船由西向东航行不会有触礁危险. 应用提升 例2  如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90°，若BC = AB， 求证： ∠A = 30° C B A 取斜边AB的中点D，连接CD 证(法1)： D ∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线 ∴ 又∵ ∴ 从而 △BDC为等边三角形 ∴ ∠B=60O ∵∠B+∠A=90° ∴∠A=30° 应用提升 例2  如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90°，若BC = AB， 求证： ∠A = 30° C B A 证(法2)： 延长BC到F，使CF = BC，连接AF F ∵∠BCA = 90°，BC = CF ∴ AC垂直平分BF 从而 AB = AF (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又∵BC = AB，BC = CF = BF ∴ BF = AB 从而 BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形 从而 ∠CAB = 90°-∠B = 30° ∴∠B = 60° 应用提升 由此得到： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 应用提升 课堂练习 1.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠A = 30°. 求证：AB = 4BD. A B D C 证：∵∠A = 30°，CD ⊥ AB，∠ACB = 90° ∴∠B=60° 从而∠BCD=30° ∴BC=2BD，AB=2BC (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半) 从而 AB=4BD 应用提升 课堂练习 2.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD = 2AB，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在BC上(如图中的点 A′)，折痕交AB于点G，那么∠ADG等于多少度？ A′ A B C D G ∵AD=2AB 解： ∴A'D=2AB 又∵∠C= 90° ∴∠CA'D=30° (在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°) 又∵BC∥AD ∴∠A'DA=CA'D=30° 从而 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高， AD＝3cm，则AB的长度是(　　 ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm A B C D 应用提升 课堂练习 D 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm， 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm. 4.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 C 应用提升 课堂练习 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下： ∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA). 应用提升 课堂练习 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 6.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？ A B C D E 图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 应用提升 课堂练习 A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 课堂小结 导图复盘 含 30° 角的直角三角形的性质   内容     在直角三角形中，如果一个     锐角等于 30°，那么它所对     的直角边等于斜边的一半     （反之亦成立）   使用要点     找准 30 ° 的角所对     的直角边，点明斜边   注意     前提条件：直角三角形中 作业 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 下 课 $