22.2 二次函数与一元二次方程&重难题型专练 二次函数的最值及雨数值的范围-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

,点P的纵坐标为3或一3， 令x2十2x-3=3,得x1=-1十/7，x3=一1-F: 令x2十2x-3=-3,得x8=0(舍去)，x4=-2. 综上所述，点P的坐标为（一2，一3）或（一1十7,3）或（一1 -7,3). 1.y-c-21-1或y-子x-2-1 解题方法专练求二次函数的解析式的方法 1.y=2x-3x+52.y=-x2+4x+5 3.解：(1)依题意，把A(0,3),B1,0),C一1,8)代入y=ax2十 c=3, a=1, bx十c,得a十b+c=0,解得b=一4， a-6+c=8, c=3, .抛物线的解析式为y=x2一4x十3. (2)由(1)，得y=x2-4z十3=(x-2)2-1, .顶点M的坐标为(2，一1). (3)存在， 如图，连接AM,与x拍交于点P,此时PA十 PM的值最小， 投直线AM的解析式为y=缸十m. 把A(0,3)和M(2,-1)代人y=x十m,得 m=3, 1k=-2, 解得 2k+m=-1. m=3, ∴，直线AM的解析式为y=一2x十3. 当y=0时，一2x十3=0， 解得x=号 “点P的坐标为（号，0） 4.C 5.y=子x-2-3或y=-号-2+3 6.解：(1)，二次函数的图象顶点坐标为（一2，一2）， .设抛物线的解析式为y=a(x十2)2一2. 将(1,0)代人y■a(x十2)2-2，得0=a(1十2)2-2， 解得a=号 故该二次函数解析式为y=号（红十2）2一2 (2”y=子(x十2)-2，其中a=号>0，对称轴为直线x -2, ,,在对称轴直线x=一2左侧，y随工的增大而减小，在对称 抽直线x=一2右侧，y随x的增大市增大： 又：x=4到直线x=一2的距离大于x=一5到直线x=一2 的距离，且当x■一2时，y=一2，当x=4时，y■6， .当一5≤x<4时，函数值y的取值范围是一2≤y<6. 7.解：，抛物线过点A(2,0),B(一1,0)， ∴，可设地物线的函数解析式为y=a(x一2)(x十1). :抛物线与y轴交于点C,且OC-2, ∴点C的坐标为(0,2)或(0，一2). 当点C的坐标为(0,2)时，得2=一2a,解得a=一1， “抛物线的函数解析式为y=一(x一2)（红十1）=一x2十x +2: 当点C的坐标为0，一2)时，得一2=一2a,解得a=1, ∴，抛物线的函数解析式为y=x2-x一2. 综上所述，这条抛物线的函数解析式为y=一x2十x十2或y =x2-x-2. 8.解：(1)由题意可设该抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一 4), 则y=a(x十1)(x一4)■ax-3az一4a,即-4a■2， 解得4=一立 故该抛物线的解析式为y=一言+号+2 3 (2)由圈意可知，点P的坐标为(，-+是+2） 由抛物线的解析式可知，点B的坐标为(0,2)， 设直线AP的解析式为y=kx十m 将A(-1,0,P,-+2+2）代入y=红+m 得 -+受计2=+m解得 0=一k十m 即点Q的坐标为(0，号）， 则d-2-号-台 9.D10.A11.2或4 12.解：(1)，函数图象的对称拍为直线x=1 ·设函数的解析式为y=a(x一1)2十. 把(0，-3)，(-2,5)代人y=a(x-1)2十k, 用产s用 k=一4， ∴函数的解析式为y=(x一1)一4， 函数图象的顶点坐标为(1，一4). (2)函数图象的其余部分如图所示 (3)依题意，得(n一1)2-4=一2m, 解得n=士5 22.2二次函数与一元二次方程 1.B2.A3.x1=-1,x=34.A 5.(1)x1=-4,x4=1(2)-4<x<0 6.-3<x<1 7.解：(1)当y■0时，x2-4x十3■0， 解得x1=1,x2=3, .该二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0). y=x2-4x+3=x2-4x+4-1■(x-2)-1, ∴，抛物线的顶点坐标为(2，一1)， (2)由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x<1或x>3. 8.解：(1)把A(1,0)代人直线y=x十m,得0=1十m,解得m= AH上册参考各菜 195 -1. 把A(1,0),B(3,2)代入抛物线y=x+b虹+，得 10=1十b+6解得 b=-3, 2=9+3b+c, c=2, “抛物线的解析式为y=x2-3红十2. (2)x<1或x>3. 重难题型专练二次函数的最值 及函数值的范围 1.-22.13.(1)直线x=1(2)-174.-2<y≤2 5.解：(1D把M(-2,3)代入y=-2+mx十3，得-4-2m+3 =3,解得m=一2， .y=-x2-2x十3=-(x十1)8+4， 抛物线的质点坐标为（一1,4） (2),y=-(x十1)2+4， .抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1，最大值为4. 当x=0时，y=3 当x=-3时，y=0, ∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4 6C7.D8-1g-8或±厘 10,解：由题意可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线 x=m.分以下三种情况讨论： ①当m<一2时，函数的最大值在x=一2处取得，即一（一2 一m02十十1=4，解得m=一子，不合题意，舍去 ②当一2≤m≤1时，函数的最大值在x=m处取得，即m十 1=4,解得m=尽（不合题意，舍去），m=一5 ③当m>1时，函数的最大值在x=1处取得， 即-(1-m)2十m2十1=4， 解得m=2. 综上所述，实数m的值为一5或2 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.A2B3.B4.25.4万6号7.125875 9.解：(1).△AEH2△BFE2△CGF2△DHG, Sar=S△Mg=Saos球=Sa0G,AH=BE=4-x, Sa=4×受AE·AH=2x4-x, 六y=SE方带m-S明事=4X4-2x(4-x)=2x2-8x十16. (2)令2x2-8x+16=10, 解得x1=1,xg=3. 放当AE-1或3时，四边形EFGH的面积为10. (3)存在最小值。 :y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,2>0 .当x=2时，y取得最小值，最小值为8， ,四边形EFGH的面积的最小值为8. 10.解：(1)由题意，得AM=t,ON=2t,则OM=QA一AM=18 一，Sa6seNW=Saa一Sas0w=zX18X30-ZX(18- t0×22=2-18t+270(0<t≤15). (2)S=r2-18x十270=2-18t十81-81十270=(t-9)月 44444 196 九年级数学RJ版AH +189. a=1>0, “S有最小值，这个值是189， 第2课时最大利润问题 1.B2.B3.D4.B5.A6.C7.48.602400 9.解：(1)设一次函数的解析式为y=x十6 1100k+b=300, 将(100,300)，(120,200)代入，得 120k+6=200, 解得/使一5， b=800, ∴，这段时间内y与x之间的函数关系式为y=一5z十800， (2)设商场获得的利润为元， (x≥100， 由题意，得 1L-5x+800≥220. .100x≤116. ,w=(x-80)(-5x十800)=-5x2+1200x-64000 -5(x-120)2十8000. ,-5<0,100≤x≤116， ∴当x=116时，利润最大，最大利润为7920元. 10.解：(1)根据题意，得y=(x十8)(600一30x)=一30x2十 360x十4800， ,y与x之间的函数关系式为y=一30x2十360x十4800. (2)y=-30x2十360x十4800=-30(x-6)2+5880. ”顾客的接受价格范围是每碗大于等于8元，小于等于 15元， ∴，0≤x≤7 .当x=6时，y最大，最大值为5880，此时x十8=14. 故该店每碗米线售价为14元时，每天的米线营业额最大 最大营业额为5880元. 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.A变式题102.B3.C4.8 5.解：(1)①36 /4a+2b=6, ②把(2,6)，(4,8)代人y=ax2十bx,得 16a+4b=8, 解得 b=4, ·二次函数的解析式为y=一 x”+4x x2十4x 联立，得 y=4x, 解得=0 (舍去)或 y=0 15 六点A的坐标是（要，） (2)①8 @y=-5+=一5(-品）°+苏，则品=8， 解得=4/⑥（负值已舍去），放的值为4√⑥.22.2二次函数与一元二次方程 知识要点扫描 A.-2或3 B.-2或-3 1.二次函数图象与x轴的交点和一元二 C.1或-2或3 D.1或-2或-3 次方程根的关系 【点拨】当m-1=0,即m=1时，函数为一 二次函数图象与x轴的交点和一元二次 次函教，y=一6x十是，这时函数图象与x轴有 方程根的关系如下表： 且只有一个交点；当m一1≠0，即m≠1时，函 根的 数为二次函数.，函数图象与x轴有且只有 判别式A= 4>0 4=0 △<0 b:-4ac 个交点4=（-6)2-4(m-1·含m=0,求 二次函数 出m的值即可. y=ax'+ 【答案】C bx+c(a 【例2】如下图，抛物线y=ax2十c与直线y 0)的图象 =mx+n交于A(一1，)，B(3,g)两点，则不等 抛物线与工 式ax2十mx十c>n的解集是 抛物线与x 轴有一个交 抛物线与工 交点个数 轴有两个 点（项点在x 轴没有交点 交点 轴上) 方程有两个 一元二次 方程有两个 不相等的 方程无实根 【点拨】，'抛物线y=ax2十c与直线y 方程的根 相等的实根 实根 mx十n交于A(-1,p),B(3,q)两点， 2.利用二次函数图象解一元二次方程 ∴.-m十n=p,3m十n=q: 由二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)的图象 .抛物线y=ax2十c与直线y=一mx十n 可知： 交于P(1,p),Q(一3，g)两点，如下图. (1)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图 象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2 +bx十c=0(a≠0)的根： (2)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图 观察函数图象可知，当x<一3或x>1时，直 象在x轴下方的横坐标的取值范围就是一元 线y=一mr十n在抛物线y=ax2十c的下方， 二次不等式ax2十bx十c<0(a≠0)的解，在x 再根据不等式ax2十mx十c>n即可求出 轴上方的横坐标的取值范围就是一元二次不 解集 等式ax十bx十c>0(a≠0)的解. 【解】x<一3或x>1 已经典例题剖析 色基础对点训练 【例1】(2024一2025南昌三中月考)若函 知识点① 用二次函数的图象解一元二次方程 数y=(m-1)x2-6x十多m的图象与x轴有 1.(2024一2025惠州惠城区月考)若关于x的 且只有一个交点，则m的值为 一元二次方程x8十bx十c=0的两个实数根 上册第二十二罩 分别为x1=-1,x2=2,那么抛物线y=2十 6.抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的 bx十c的对称轴为直线 部分图象如图所示，其与x轴的 A.x=1 B.z- 一个交点坐标为（一3,0），对称 轴为直线x=一1.当y<0时，x c-含 的取值范围是 第6题图 2.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c与x轴的 7.(2024一2025厦门期中)已知二次函数y= 一个交点为A(1,0),对称轴是直线x=一1， x2一4x十3的大致图象如下图. 则ax2十bx十c=0的解是 (1)求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点 A无=-3，x2=1 B.x1=3,x2=1 坐标. C.x=-3 D.x=-2 (2)结合(1)的结论及该二次函数的图象，直 接写出当y>0时，x的取值范围. 第2题图 第3题图 3.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示， 则方程ax2+bx十c=0的根为 知识点② 用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解 4.下表是二次函数y=ax2十bx一5的自变量x 与函数值y的部分对应值，那么方程ax2十 bx一5=0的一个根的取值范围是 8.如下图，直线y=x十m和抛物线y=x2十bx +c都经过点A(1,0),B(3,2). 1.1 1.2 1.3 1.4 (1)求m的值和抛物线的解析式. y 1 -0.490.04 0.59 1.16 (2)根据图象直接写出不等式x2十bx十c>x A.1.11.2 B.1～1.1 十m的解集。 C.1.21.3 D.1.3~1.4 知识点③ 用二次函数的图象解一元二次不 等式 5.抛物线y=ax2+bx十c经过A(-4,0), B(1,0),C(0,3)三点，直线y=mx十n经过 A(-4,0),C(0,3)两点. (1)方程ax2+bx+c=0的解为 (2)若ax2十bx十c>mx十n,则x的取值范 围为 34 九年级数学刷版 重难题型专练 二次函数的最值及函数值的范围 题型① 没有限定自变量的取值范围求最值 题型④ 己知函数的最值，求字母参数的值 1.(2024一2025淮南潘集区月考)已知函数y= 6.已知二次函数y=ax2十4x十a-1的最小值 一2+2x一3，则y的最大值为 为2，则a的值为 ) 2.抛物线y=2.x2一bx+3的对称轴是直线x A.3 B.-1 1,则该函数的最小值是 C.4 D.4或-1 题型②限定自变量的取值范围求最值 7.已知二次函数y=ax2十2ax十3a2十3（其中 3.已知抛物线y=ax2-2ax-1(a<0). x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增 (1)抛物线的对称轴为 大，且当一2≤x≤1时，y的最大值为9，则a (2)若当一2≤x≤2时，y的最大值是1，则当 的值为 () 一2≤x≤2时，y的最小值是 A.1或-2 B.-√2或2 题型③】 限定自变量的取值范围求函数值的 C.2 D.1 范围 8.已知二次函数y=ax2-2ax十a十5的图象 4.如图，点P(x,y)在抛物线y=一(x一1) 上有两点（一2，为），(3，y2),满足为<y2,当 十2上.若一1<x<2,则y的取值范图是 2≤x<3时，y的最小值为-4，则a的值 为 9.当≤xt十3时，二次函数y=x2-2x一3的最 小值是t,则t的值为 10.(2024一2025枣阳期中)当-2≤x≤1时， 第4题 二次函数y=一(x一m)2十m2十1有最大值 5.如下图，已知抛物线y=一x2十mx十3经过 4.求实数m的值. 点M(-2,3) (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标. (2)当一3≤x≤0时，求出y的取值范围. 上册第二十二章 35△