27.2.2 重难题型专练 三角形内接特殊四边形问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

重难题型专练 三角形内接特殊四边形问题 【例】（教材母题）如右图， 2.如下图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC 块材料的形状是锐角三角形 =9,BC=15. ABC,边BC=120mm,高AD (1)求边BC上的高AD的长， 80mm.把它加工成正方形零件， (2)正方形的一边FG在BC上，另外两个顶 使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 点E,H分别在边AB,AC上.求正方形 AB,AC上，这个正方形零件的边长是多少？ EFGH的边长. 【解】由四边形EFHG是正方形，AD⊥ BC,得EF∥BC,EF=KD,AD⊥EF, 即AK是△AEF的边EF上的高. ,EF∥BC.∴.△AEF∽△ABC, 既然 .BC=120,AD=80,AK=AD-KD= AD-EF,..EF_80-EF 120 80,解得EF=48. 故这个正方形零件的边长是48mm. 【方法指导】解答本题的关键： (1),'正方形的四个顶，点都在三角形的边 上，正方形的一边与三角形的一边平行，从 而得到相似三角形. (2)△ABC的高AD等于正方形的边长 EF与△AEF的高AK之和. (3)方程思想：利用“相似三角形对应高的 比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未 知边放在一个方程中， 题型①三角形内接正方形 题型② 三角形内接矩形 L.古代数学文化《九章算术》是我国 3.如图，在Rt△ABC中，∠C 古代数学名著，书中有下列问题： =90°，AC=BC=4.矩形 “今有勾五步，股十二步，问勾中容 DEFG的顶点D,E,F分别 方几何.”其意思为今有直角三角 形，勾（短直角边）长为5步，股（长 第1题因 边BC,AC,AB上·若 D 第3题图 直角边)长为12步（如图），问该直角三角形 3 能容纳的正方形边长最大是多少步.该问题 ,则矩形DEFG面积的最大值为( 32 25 的答案是 步 A.5 B. D. 下册第二十七章 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AD7.推理能力如右图，在 =5,BC=10,四边形EFGH和四边形HG △ABC中，BC=12,AD NM均为正方形，AD,EM交于点P,且点E, 是BC边上的高，且AD= F,G,N,M都在△ABC的边上.那么△AEM 10,P,N分别是AB,AC B 与四边形BCME的面积比为 边上的点，Q,M是BC边上的点，连接PQ, MN,PN,PN交AD于点E (1)若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN =1:2,求PQ,PN的长 第4题图 第5题图 (2)若四边形PQMN是矩形，则当矩形 5.如图，矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落 PQMN的面积最大时，求最大面积及PQ, 在边BC上，AD⊥BC.如果BC=3,AD=2, PN的长. EF号EH,那么EH的长为 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3. 矩形DEFG的顶点D,G分别在边AC,BC 上，EF在边AB上. (1)点C到AB的距离为 (2)如图①，若DE=DG,求矩形DEFG的 周长 (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8 倍，则矩形DEFG的周长为 图① 图② 个36 九年级数学RJ版=70°， .∠D=∠A=180°-∠ABC=180°-70°=110°， .∠DFE+∠DEF=180°-110°=70. ∠BEF=110°， .∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°， ∴.∠DFE=∠AEB.∴.△DFEO△AEB. E需g号解得-是 10.解：，ABCD.∠B=90° ∠C=180°-∠B=180°-90°=90，∠BEA+ ∠BAE=90. :AE⊥ED,∠AED=90°，∠BEA+∠CED= 180°-∠AED=180°-90°=90°， .∠BAE=∠CED,∴.△ABE△ECD, AB BE ∴CCD BC=12.BE:EC=1:2. ∴.BE=4,EC=8. CD=7.AB= E 27.2.2相似三角形的性质 1.C2.B3.D 4.解：AB=15em,A'B'=10cm心B=乞 AB3 AD和A'D'分别是△ABC和△A'BC'的中线， △ABCn△ABC.∴品-铝- 又：AD+A'D'=l5cm.∴AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.A 7,30【解析】由题意，得C*了 设大三角形的周长为5.xcm,则小三角形的周长为 3.r cm. .5.x一3x=12,解得x=6, .5x=30. 故大三角形的周长为30cm. 8.C9.D 10.D【解析】如图，连接BD. G H,E分别是AD,AB的中点， D G,F分别是CD,CB的中点， .HE/BD.HE-BD.GF/ BD,GF-7BD. ,△AEH∽△ABD,△CGFC∽△CDB, EH)1.= BD =4Sw D=4 S用形路姓 SAAa十SAE= S8EH+S△F S△Am十S△ 4SAH十4SA 1 3 Sn边形AmD 故针尖落在白色区越内的概率为子 1.12.10变式题3 13.解：(1)证明：：∠DAC=∠B,∠C=∠C, ,,△DACO△ABC (2)设△DAC的面积为S. :△ABD的面积为15， .△ABC的面积为15+S 又：△DAC∽△ABC. 》=()= 即6十5=有，解得S=5, .△DAC的面积为5. 14.5+1 4 重难题型专练三角形内接特殊四边形问题 1号 2.解：(1)在Rt△ABC中，AB=√BC-AC= 15-9=12. :Sm=AB·AC=专BC·AD. 1 .AD=AB.AC_12X9_36 BC 155 (2)如图，设AD与EH交于点M. :四边形EFGH是正方形， ∴.EHBC, .△AEH∽△ABC, 瑞腮 :∠EFD=∠FEM=∠FDM=9O°， .四边形EFDM是矩形，·EF=DM 设正方形EFGH的边长为x, 36 180 36=,解得x=37 5 ∴正方形EFGH的边长为 3.D【解析】如图，过点F作FH⊥AC 于点H,∠FHE=90°=∠C, ∴∠EFH+∠FEH=90 ,四边形DEFG是矩形， ·∠DEF=9O,·.∠DEC+∠FEH =90°， .∠EFH=∠DEC,∴.△EFH∽△DEC, .EH DC 3 小F疗-EC4 EH=3x.FH=4x.DC=3y.EC=4y, .FE=VEH+FH=5r.DE=DC+ECT=5y. :∠C=90°，AC=BC=4.∠A=45°， ∴.△AFH是等腰直角三角形， .AH=FH=4r,.AC=4x+3x+4y=4, 下册参考答案 11 4-7x ∴.y=4 ,矩形DEFG的面积=DE·FE=25xy=25.x· 4 ∴当x=号时，矩形DEFG的面积最大，最大值为 5 4.1:3【解析】四边形EFGH和四边形HGNM均为 正方形，∴.EF=EH=HM,EM∥BC, △AEMAABC,品0 ∠PEF=∠EFD=∠FDP=9O°， .四边形EFDP为矩形..EF=PD, .5-EF_2EF 5 5 10 ,解得EF=之EM=5, S网边EwE=S么B一S么AEw=3S△1 .△AEM与四边形BCME的面积比为1：3. 5号 【解析】如图，设AD交EH于点 M.:四边形EFGH是矩形，∴EH∥ BC,∴.△AEH∽△ABC.,AD⊥ 、BC,AM LEH,女A0=,设EH3x,则EF= 2AM=AD-EF=2-2r2-2-号解得E 2 子则EH=3x= 6解：0号 (2)如图①，过点C作CMLAB于 点M,交DG于点N.由(1)得CM :四边形DEFG是矩形， ∴.四边形DEMN是矩形，DG∥AB, ∴.MN=DE,CN⊥DG, △CDGn△CAB.AB-C DG CN 12 - 设DE=DG=,则后 60 12 -,解得x=37! 5 ÷矩形DEFG的周长为4×3737 60240 3)80 61 【解析】(3)过点C作 CM⊥AB于点M,交DG于点 N,如图②. :矩形DEFG的周长是DE长 图2 的8倍， ∴.设DE=MN=a,则DG=EF= 2 X (8a-a-a) 12 九年级数学RJ版 =3a. DG CN :由(2)知BCM 12 60 60 12 ，解得a=即DE 61 60480 “矩形DEFG的周长是8×司=6 7.解：(1)设PQ=y,则PN=2y. 四边形PQMN是矩形，∴.PN∥BC, ∴.△APV△ABC. :AD⊥BC,∴.AD⊥PN. 欲福略-后解得y 41 nQ-导，pPN-号 （②设A=云由知瓷-号即登-品 PN=号，PQ=DE=10-x, ∴Swm-号r10-)=-号-5y+0 .当x=5时.矩形PQMN的面积最大，最大面积 为30. 故当AE=5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是 30,此时PQ=5,PN=6. 27.2.3相似三角形应用举例 1.A2.3 6 3.解：(1)如图，过点E作EH ⊥CD于点H,交AB于点 J,则四边形EFBJ、四边形 EFDH都是矩形， FE=BJ=DH=1.5m,E图 0 FB=EJ=2m,BD=JH=FBB 23m,∴.EH=EJ+JH=2十23=25(m). AB=2.5m,,AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m) AJ∥CH,.△EAJ△ECH 品品可嘉cH-5m ∴.CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m). 大楼的高度CD为14m. (2)如图，连接EG,过点A作AA'∥BD,交EG于点 A',过点A'作A'B'⊥BD于点B',交EH于点R AR∥GH,△A'EROGEH. 品器。 1 5-5R=2.5m .AA'=ER-E=2.5-2=0.5(m), .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m. 4.C5.5.46.300 7.解：如图，过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长线于点E,