第2章 1 认识一元二次方程-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 已课内基础闯关 ⊙课外拓展提高 知识点①一元二次方程的定义 5.关于x的一元二次方程(m一4)x2十m2x 1.(2024一2025抚州期中)下列关于x的方程 16x+5化为一般形式后不含一次项，则m 中属于一元二次方程的是 的值为 () A.0 B.士4 C.4 D.-4 A2+2+1=0 B.ax+bx+c=0 C.x2=0 D.x2+2x-1=x2 变式题不含一次项→常数项为0 若关于x的一元二次方程(m一2)x2一x+十 2.若关于x的方程(a-3)x41十x-1=0是 m2一4=0的常数项为0，则m的值为 一元二次方程，则a的值是 知识点②一元二次方程的一般形式 3.把一元二次方程2(x十1)十(2x一1)2=0化 6.已知关于x的方程(|k|一5)x2十(k2一6k十 成一般形式，结果正确的是 ( 5)x-2=0. A.4x2-4x十1=0 B.2x2-2x+3=0 (1)当k= 时，此方程为一元一 C.4x2-2x十3=0 D.4x2+3=0 次方程，此方程的根为 变式题化一般形式→求一般形式系数、常 (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？ 数项 请写出这个一元二次方程的二次项系数、一 (2024一2025南昌期中)将关于x的一元二 次项系数和常数项 次方程x2十x=2(x一3)化成一般形式后， 一次项系数和常数项分别为 A.1,-4 B.-1,6 C.-1,-6 D.1,-6 知识点③建立一元二次方程模型 4.古代数学文化我国古代数学家杨辉的《田 亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十 知识要点归纳 四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各 1.定义：只含有一个来知数x的整式方程，并且可 几步.”翻译成数学问题是一块矩形田地的 以化为ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形 面积为864平方步，它的宽比长少12步.问 式，这样的方程叫做一元二次方想 它的宽与长各几步.若设宽为x步，则可列 2.一放形式：ax2十bx十c=0(a,b,c为常故，a≠ 出方程 0),非中ax2为二次预，a为三次项系敦：bx为一 A.x(x-6)=864 B.x(x-12)=864 次项，b为一次项系数c为常数项. C.x(x+6)=864 D.x(x+12)=864 上册第二章 第2课时 一元二次方程的解及其估算 已课内基础闯关 课外拓展提高 知识点① 一元二次方程的解 6.观察表格，一元二次方程x2十x=1.2的一 1.方程x2+3x-10=0的解是 个近似解是 ( ) A.2和5 B.-5和3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C.5和3 D.-5和2 x+x 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 2.(2025吉安遂川泉江中学期末)已知x=一2 A.0.7 B.1.19 是方程x2一x十m=0的一个解，则m的值 C.1.44 D.1.71 为 7.若关于x的一元二次方程mx2+nx十2=0 A.-1 B.2 C.3 D.-6 (m≠0)有一个根为x=5,则关于x的一元 变式题直接求值→整体求值 二次方程m(x一1)3十nx一n=一2必有一个 已知m为一元二次方程x2+3x一2025=0 根为 8.如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满 的一个根，那么2m2+6m-2025的值为 足a一b十c=0,那么我们称这个方程为“凤 ( 凰方程” A.2025 B.-2025 (1)判断一元二次方程3x2一4x-7=0是否 C.0 D.4050 为“凤凰方程”，并说明理由 3.欧几里得的《几何原本》记载对B (2)已知2x2-m.x十5=0是关于x的“凤凰 于形如x2十ax=的方程，可 方程”，求m的值. 用如图所示的解法：作直角三 第3题固 角形ABC,其中∠C=90°，AC=6,BC= 2 在斜边AB上截取BD一BC,则该方程的其 中一个正数根是 A.线段AC的长 B线段BC的长 C.线段AD的长 D.线段CD的长 4.请写出一个以x=2为其中一个根的一元二 次方程： 知识点② 用估算法求一元二次方程的近 似解 5.根据下列表格的对应值可判断，方程x2十 12x-15=0必有一个解x满足 ( 1.1 1.2 知识要点归纳 x2+12x-15 -26 -2 -0.59 0.84 1.一元二次方程的解：能够使一元二次方程两边 和等的未知数的值 A.-1<x<1 B.1<x<1.1 2.一元二次方程近似解的求法：估算法 C.1.1<x<1.2 D.-0.59<x<0.84 九年级数学BS版章末对点导练 1.C2.B3.▣ 4 4.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,AB∥CD,.∠ABD=∠BDC :'BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC .∠BDC=∠DBC,.BC=CD,∴.□ABCD是菱形 (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形 BO=DO,∠DCA=∠BCA=∠BCD,AC1BD,AB∥ CD,∴.∠BCD=180°-∠ABC=180°-70'=110，∠DCE ∠ABC=70,∠ACD=3∠BCD=55 ∠ECM=15,∠DCM=∠DCE-∠ECM=0-15 55,∴.∠DCA=∠DCM DF ICM,BD LAC.:DODF=/5,..BD-2DO-2/5 5.A6.37.A 8.解，(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.BA∥CD, ∴∠BAE=∠FDE. E是边AD的中点，∴，AE=DE ∠BAE=∠FDE, 在△BEA和△FED中. AE=DE. ∠BEA=∠FED, ,△BEA2△FED(ASA),.EB=EF 又，AE=DE,四边形ABDF是平行四边形 ∠BDF=90,□ABDF是矩形」 (2)由(1)，得四边形ABDF是矩形， .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD AF=AD-DF=/-3=4, .S阳号DF=DF·AF=3X4=12,BD=AF=4. '四边形ABCD是平行四边形，，CD=AB=3, Sam=号BD:CD=子X4X3=6, ∴S=5e影DF十SAD=12+6=18. 9.C 10.解：(1)BM=CN BMLCN (2)成立.理由如下： 如图，延长BM交CN于点H, ,四边形ABCD为正方形 ∴.AD=AB=DC=BC,∠DCB= ∠CBA=∠DAB=∠ADC=9G. ,CM⊥DP,AN∥MC, AN⊥DP,.∠AND=∠DMC =90°， ∴.∠ADN+∠DAN=∠ADN+∠CDM=90°， .∠DAN=∠CDM ∠AND=∠DMC, 在△ADN和△DCM中， ∠DAN=∠CDM, LAD-DC. △ADN≌△DCM(AAS),·DN=CM ∠NDC+∠MCD=∠MCB+∠MCD=9O', .∠NDC=∠MCB. DC=CB, 在△DCN和△CBM中， ∠NDC=,∠MCB, DN=CM, '.△DCNa△CBM(SAS), ,CN=BM,∠DCN=∠CBM, ∴.∠DCN+∠NCB=∠CBM+∠NCB=90°， ∠BHC=9O°，∴BM⊥CN 4444 174 九年级数学BS版 11.A12.A13.B14.(-2,-1)15.216.5-/2 17.证明：：0是边AB的中点， ..OA=OB. ∠A=∠B=90 在△AOD和△BOC中，OA=OB, ∠AOD=∠BOC ∴.△AOD2△BOC(ASA),∴.AD=BC. ∠A=∠B=90°，.AD∥BC, ,四边形ABCD是平行四边形 :∠A=∠B=90°，四边形ABCD是矩形 18.解：示例：选择甲.证明：如图，连接AE AD=DC=- BC,E是BC的 中点， CE-BC-AD. ,AD∥BC,,四边形ADCE是平行四边形 ,AD=CD,,四边形ADCE是菱形. 第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.C2.-13.C变式题B4.D5.D变式题-2 6.解：(1)-5x=0 (2)(k|一5)x2+(k一6k十5)x一2=0是一元二次方程， ∴.1|一5≠0，解得k≠士5， 即当k≠±5时，(1k1-5)x2十(2-6k+5)x-2=0是一元 二次方程，它的二次项系数是|k|一5，一次项系数是2一6 十5，常数项是一2. 第2课时一元二次方程的解及其估算 1.D2.D变式题A3.C4.x2一4=0（答案不唯-一） 5.C6.A7.x=6 8.解：(1)一元二次方程3x2一4红一7=0是“风属方程”.理由 如下： 由题意，得a=3,b=一4，c=一7， ∴.a-b+c=3-(-40-7=0. 故一元二次方程3x-4x一7=0是“凤凰方程”， (2)由题意，得a=2,b=一m,c=5. 2x2一mx十5=0是关于x的“风凰方程”， .a-b十c■2-(-m)十5=0， 即2十m+5=0,解得m=一7. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时直接开平方法与用配方法求 解二次项系数为1的一元二次方程 1.D2.A变式题m≥1 3.解：(1)方程可化为x2=16, 两边开平方，得工1=4x=一4. (2)两边开平方，得x一4=土5， 即x一4=5或x一4=一5,1=9，x=一1 4.(1)42(2)63(3)12x3 5.C6.B 7.解：配方，得x2+22x十2=4+2，即(x十2)2=6. 两边开平方，得x十/2=土6， 即x十厄=或x十2=一6， 1=6-E,x=-5-E 8.C9.±2