专题1.5充分条件和必要条件（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题1.5 充分条件和必要条件 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型一、判断命题的充分不必要条件 例1（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 1-1（24-25高一上·云南曲靖·期中）设，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，，若，可得，故充分性成立； 由，即，，可得，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 1-2（23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 1-3（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 1-4（24-25高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 【答案】（的范围为集合的真子集即可） 【分析】（只要能推出即可）. 【详解】因为集合，，且，则， 故使得的一个充分不必要条件为“”. 故答案为：（的范围为集合的真子集即可）. 题型二、根据充分不必要条件求参数 例2（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 2-1（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 2-2（24-25高一上·福建厦门·期中）若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（   ） A．0 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】首先解方程，再根据充分条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，， 又“”是“”的充分条件，所以或，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 2-3（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】；， 因为是的充分条件， 所以有， 故答案为： 2-4（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三、充分条件的判定及性质 例3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 3-1（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论. 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3-2（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要性和充分性判断. 【详解】因为，所以或或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3-3（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 【答案】(答案不唯一). 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件. 【详解】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 3-4（23-24高一上·江苏连云港·期中）是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 【答案】充分条件 【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的判定即可. 【详解】，解得或，则是的充分条件， 故答案为：充分条件. 题型四、判断命题的必要不充分条件 例4（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解. 【详解】由可得， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 4-1（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 4-2（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 4-3（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 4-4（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 题型五、根据必要不充分条件求参数 例5（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 5-1（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 5-2（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 5-3（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 【答案】－1 【分析】由必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】或， 因为是“”的必要不充分条件， 即 ， 所以，a的最大值为-1， 故答案为：-1 5-4（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 题型六、必要条件的判定及性质 例6（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 6-1（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 6-2（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【分析】根据条件间的推出关系确定充分、必要性. 【详解】由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 6-4（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】由，等价于， 则不能能推出，能推出， 则是的必要不充分条件， 即的必要不充分条件是. 故答案为：（答案不唯一） 题型七、充要条件的证明 例7（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据差比较法、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，为正实数， 由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立． 综上可知，“”是“”的充要条件． 故选：D． 7-1（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质定理，结合集合交集的性质、等腰三角形的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：菱形的对角线互相平分，但是当菱形的邻角不相等时，此时四边形不是正方形，所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； B：当两个三角形相似，这两个三角形三边成比例， 当两个三角形三边成比例，这两个三角形相似，所以此命题：p是q的充要条件，因此本选项符合题意； C：当时，显然为空集，但是与B都不为空集， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意； D：因为等边三角形是特殊的等腰三角形， 所以此命题：p不是q的充要条件，因此本选项不符合题意， 故选：B 7-2（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由韦达定理代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】若“一元二次方程有一个正根和一个负根”成立， 由韦达定理可得，所以成立， 反之，若“”成立， 此时一元二次方程的，此时方程有两个不等的根， 由韦达定理可得此时， 即方程两个根的符号相反， 即一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的充要条件. 故选：C 7-3（24-25高一上·黑龙江黑河·期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根充要条件的定义即可求解. 【详解】由于， 故， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 7-4（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】命题①，由都是偶数或都是奇数，证明充要条件；命题②，分为偶数和为奇数，判断除以4的余数；命题③，由两边同时平方，得，即可判断；命题④，由交集并集的定义判断集合的包含关系. 【详解】命题①， 已知， 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数； 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数， 则是偶数是是偶数的充要条件，命题①是真命题； 命题②，时， 当为偶数，记作，，则，除以4的余数为0， 当为奇数，记作，，则，除以4的余数为1. 故命题②是真命题； 命题③，如果，则有，即， 所以，则有x与y同号或x，y至少有一个为0，命题③是真命题； 命题④，当时，有；当时，，此时， 则有，命题④是假命题. 所以真命题有3个. 故选：C. 题型八、探求命题为真的充要条件 例8（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用逻辑条件判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 8-1（24-25高一上·广东·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，得，从而得到答案. 【详解】由，得，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8-2（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“”时，“”一定成立， 反之“”成立时，“”不一定成立，如举例， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，“”不一定成立， 例如，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当 “”时，满足“”；当“”时， 但不一定“”，例如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：B 8-3（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 8-4（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 题型九、根据充要条件求参数 例9（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 9-1（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 9-2（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使，即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 9-3（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据是成立的充要条件可得，再根据不等式区间端点对应相等列式求解即可； （2）根据充分与必要条件可得集合的包含关系，再根据区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 1．“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【详解】当，，，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以“，”是“”的充分条件； 当，时，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，”不是“”的必要条件， 所以“，”是“”的充分而不必要条件， 故选：C. 2．已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（    ） A．4＜m＜5 B． C．m＞5或m＜4 D．m＞5或 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式得到，再根据p是q的充分不必要条件，得到与的推导关系，从而得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由，得， ∴， 又p是q的充分不必要条件，， 所以由能推出，而由推不出，， . 故选：B． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】充分性，因为可得到或， 若或时，可得，所以是的充分条件； 必要性，若，当时，满足，但， 故不是的必要条件， 故选：A 4．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 5．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 6．设是一元二次方程的根，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】代入进入方程，可证明充分性；将代入因式分解，可证明必要性 【详解】由题意，若是一元二次方程的根，故，即p可以推出q，充分性成立； 反之，若，则，即 ，即是一元二次方程的根，即q可以推出p，必要性成立； 即p是q的充要条件 故选：C 多选题 7．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 8．已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 9．下列说法正确的是（   ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则． C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】根据充分条件定义可知A错误，对参数是否为零进行分类讨论可得或，即B错误；利用韦达定理可判断C正确，由可得是集合的子集，可得D正确. 【详解】对于A，易知能推出，因此的一个充分条件是，即A错误； 对于B，若集合中只有一个元素，当时满足题意； 当时，需满足，可得，因此可得或，即B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，可知充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，即必要性成立，所以C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，共4个，即D正确. 故选：CD 10．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 11．已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 12．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 13．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得再由子集的概念逐个列举即可； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故， 解得：. 14．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可求得实数的取值范围； （2）分析可知，，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 15．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 充分条件和必要条件 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型一、判断命题的充分不必要条件 例1（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-1（24-25高一上·云南曲靖·期中）设，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1-2（23-24高一上·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-3（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 1-4（24-25高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 题型二、根据充分不必要条件求参数 例2（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 2-2（24-25高一上·福建厦门·期中）若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（   ） A．0 B．2 C．4 D．16 2-3（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 2-4（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 题型三、充分条件的判定及性质 例3（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-1（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-2（24-25高一上·山西太原·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-3（24-25高一上·四川泸州·期中）使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 3-4（23-24高一上·江苏连云港·期中）是的 条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）. 题型四、判断命题的必要不充分条件 例4（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4-1（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 4-2（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4-3（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 4-4（23-24高一上·河北石家庄·期中）设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 题型五、根据必要不充分条件求参数 例5（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 5-1（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 5-2（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 5-3（24-25高一上·陕西西安·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 5-4（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 题型六、必要条件的判定及性质 例6（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 6-1（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6-2（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）“”是“”的 条件 6-4（23-24高一上·山东·期中）写出的一个必要不充分条件是 . 题型七、充要条件的证明 例7（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7-1（24-25高一上·河南郑州·期中）在下列哪些命题中p是q的充要条件（    ） A．四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 B．两个三角形相似，两个三角形三边成比例 C．为空集，与B之一为空集 D．三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形 7-2（23-24高一上·山东·期中）“一元二次方程有一个正根和一个负根”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7-3（24-25高一上·黑龙江黑河·期中）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7-4（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型八、探求命题为真的充要条件 例8（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 8-1（24-25高一上·广东·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8-2（24-25高一上·江西吉安·阶段练习）设，下列说法中错误的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“，”是“，”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 8-3（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 8-4（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 题型九、根据充要条件求参数 例9（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 9-1（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 9-2（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 9-3（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 1．“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（    ） A．4＜m＜5 B． C．m＞5或m＜4 D．m＞5或 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 5．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 6．设是一元二次方程的根，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 多选题 7．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 9．下列说法正确的是（   ） A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则． C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 10．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 11．已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 12．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 13．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 15．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$