2.6 有理数的乘方（第1课时 有理数的乘方）（教学课件）数学苏科版2024七年级上册

第二章 有理数 2.6 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 学 习 目 标 1 2 3 理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算. 了解底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂. 探索幂的符号与底数、指数的关系. 探索交流 第1格1粒米，第2格2粒，第3格4粒……第5格有多少粒米？第n格呢？ 棋盘格数 米粒数 米粒重量 1 2 3 4 5 10 20 30 1 1粒米≈0.02 克（几乎忽略不计） 2 2粒米≈0.04 克 2×2 4粒米≈0.08 克 2×2×2 8粒米≈0.16 克 2×2×2×2 16粒米≈0.32 克 2×2×2×2×2×2×2×2×2 512粒米≈10 克（一小勺米） 524288粒米≈约 10.5 公斤（一袋米） 约 10.7 吨（一辆卡车载重） 有没有更简洁的表示方法？ 倍增 探索交流 2 2 2 2 2 n个 类比a＋a＋a＋…＋a＝n×a， a×a×a×…×a可以表示成an． n个 2×2×2…×2可以写成2n． n个 正方形的面积＝2×2＝22， 正方体的体积＝2×2×2＝23， 所以2×2×2×2可以写成24， 新知归纳 an 读作“a的n次方” n 一般地，n个相同因数的积a×a×…×a可以表示为an (n＝1，2…)． an 怎么读呢？ 22读作2的平方 (2的二次方) 23读作2的立方 (2的三次方) 24读作2的四次方． 概念引入 求相同因数的积的运算叫作乘方(power)，相同因数叫作底数(base number)，相同因数的个数叫作指数(exponent)，乘方运算的结果叫作幂(power)． a 指数 底数 幂 n --因数的个数 --因数 例如，26表示乘方运算时，读作“2的6次方”，2是底数，6是指数. 如果把26看作乘方运算的结果，这时它表示一个数，读作“2的6次幂”. 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式． 概念分析 注意：乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果， 乘方与幂的关系，就如同乘法与积的关系一样. 例如：43＝4×4×4＝64，这种运算叫作乘方，而在这个运算中 所得结果64叫作幂. 注意只有乘方才有幂，不能单独出现一个数就叫幂. 新知巩固 1. 填空： (1) 34的底数是___，指数是___，它表示________________. (2) 43的底数是___，指数是___，它表示________________. (3) (－3)4的底数是____，指数是___，它表示__________________________. (4) －34的底数是____，指数是___，它表示________________________. (5) 的底数是___，指数是_____，它表示____________. 3 4 3×3×3×3 4 3 4×4×4 －3 4 (－3)×(－3)×(－3)×(－3) 3 4 －(3×3×3×3) 4 ××× 当底数是负数或分数时，底数要用括号括起来！若没有括号，则底数就改变了. 新知巩固 2. 把下列各式写成幂的形式，并指出底数、指数各是什么. (1) ；(2) (－5)×(－5)×(－5)×(－5)； . (3) 解：(1) 写成幂的形式是 ，底数是 ，指数是5； (2) (－5)×(－5)×(－5)×(－5)写成幂的形式是 ，底数是－5 ，指数是4； (3) 写成幂的形式是，底数是a，指数是2n. 新知归纳 有理数乘方的书写要求： (1)在表示有理数的乘方时，指数写在右上角并且要写得小一些； (2)当底数是分数或负数时，要把底数用括号括起来； (3)一个数可以看成这个数本身的一次方，例如4就是41，m就是m1， 指数1通常省略不写． 典例分析 例1 计算： (1) 36； (2) 63；(3) (－2)4；(4) (－5)3． (4) (－5)3＝(－5)×(－5)×(－5) ＝－(5×5×5) ＝－125． (3) (－2)4 ＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ＝＋(2×2×2×2) ＝16； (2) 63＝6×6×6＝216； (1) 36＝3×3×3×3×3×3＝729； 解： 有理数乘方运算的方法： 先根据乘方的意义，把乘方转化为乘法，再利用乘法的运算法则进行计算. (先定号，再定值) 典例分析 例2 计算： (1) ； (2) ； (3) ． 解：(1) ＝××××＝； (2) ＝××＝－(××)＝； (3) ＝×××＝＋(×××)＝． 新知巩固 1. 计算： (1) (－4)3；(2) －43；(3) ；(4) ；(5) －；(6) 0.14； (7) 18； (8) － (－4)3． 解：(1) (－4)3＝(－4)×(－4)×(－4)＝－(4×4×4) ＝－64； (2) －43＝－(4×4×4) ＝－64； (3) ＝××××＝－； (4) ＝×××＝ ； (5) －＝－＝－； (6) 0.14＝0.1×0.1×0.1×0.1＝0. 000 1； (7) 18＝1×1×1×1×1×1×1×1＝1； (8) － (－4)3＝－(－4)×(－4)×(－4)＝－(－64)＝64． 观察两题的结果和解答过程，你有什么发现？ 新知探究 1. (－1)10，(－7)13，，是正数还是负数？结果的正负情况和什么有关？ 解：(－1)10， 是正数，(－7)13，是负数． 结果的正负情况与指数有关，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 2. 当n是偶数时， (－1)n等于多少？当n是奇数时，(－1)n等于多少？ 解：当n是偶数时， (－1)n＝1，当n是奇数时，(－1)n＝－1． 新知归纳 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 奇负偶正 字母表示：当a＞0时，an＞0． 当a＜0时，若n为奇数，则an＜0；若n为偶数，则an＞0． 有理数乘方运算的幂的符号规律： 当n为奇数时，(－a)n＝－an；当n为偶数时，(－a)n＝an． 新知归纳 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 新知巩固 2. 填空： (1)25＝( )2；(2)169＝( )2；(3)8＝( )3； (4)27＝( )3. ±5 ±13 2 3 3. 计算： (1)33－(－3)3＋(－2)4－22； (2)－50÷(－5)2. 解：(1)原式＝27－(－27)＋16－4 ＝27＋27＋16－4 ＝66； (2)原式＝－50÷25 ＝－2. 思维提升 1. 目前将纸对折次数的世界纪录是13次．假如一张纸的厚度是0.01cm，用计算器计算将其对折13次后的厚度．要想对折后超过珠穆朗玛峰的高度，需要对折多少次？ 解：0.01×213＝81.92 (cm)． 珠穆朗玛峰的高度为8 848.86m，8 848.86m＝884 886cm， 884 886÷0.01＝88 488 600， 因为227＝134 217 728，226＝67 108 864， 67 108 864＜88 488 600＜134 217 728， 所以需对折27次超过珠穆朗玛峰的高度． 思维提升 2. 用计算器计算下列各组数，结果保留两位小数： (1) 1.52＝_____，1.53＝________，1.54＝___________； (2) 2.12＝_____，2.13＝________，2.14＝___________； (3) 0.52＝_____，0.53＝________，0.54＝___________； (4) 0.82＝_____，0.83＝________，0.84＝___________． 比较上述乘方运算的结果，当底数大于1时，幂的大小与指数的大小有什么关系？如果底数大于0小于1呢？用计算器计算更多的幂，你的发现正确吗？ 2.25 3. 375 5.0 625 4.41 9. 261 19.4 481 0.25 0. 125 0.0 625 0.64 0. 512 0.4 096 解：当底数大于1时，幂都大于1，并随着指数的增大而增大； 当底数大于0小于1时，幂都小于1，并随着指数的增大而减小. 课堂小结 有理数的乘方 有理数乘方的意义和底数、指数和幂的概念 有理数乘方运算的方法 有理数乘方运算的幂的符号规律 Lavf58.20.100 $$