专题1.4 一元二次方程的解法（一课一练•培优分层练）-2025-2026学年九年级数学上册考点讲与题型练（人教版）

专题1.4 一元二次方程的解法（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 8．（2025·广东河源·模拟预测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 9．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数c的值可能是 ．（写出一个合理的值即可） 10．（2025·广东深圳·模拟预测）关于的一元二次方程的一个解是，则另一个根是 ． 11．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 15．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 3．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（  ） A．6 B．或 C．6或 D．6或 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 7．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 9．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 10．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 12．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 13．（2025·福建厦门·模拟预测）已知． (1)求代数式的值； (2)请判断关于x的一元二次方程是否存在两不等实根，并说明理由． 14．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 15．（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 一元二次方程的解法（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，依据题意，利用配方法把原式化为的形式即可判断得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 3．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根．计算判别式并解方程即可求出参数的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得． 故选：C． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，， 故选：． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2024， ∴必有一根为， 解得：； 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为0； 把代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是0， ∴且， 解得：； 故答案为：. 8．（2025·广东河源·模拟预测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程，即没有实数根， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数c的值可能是 ．（写出一个合理的值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后利用此范围进行解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 则符合题意， 故答案为：0（答案不唯一） 10．（2025·广东深圳·模拟预测）关于的一元二次方程的一个解是，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法，求出一元二次方程的解，即可解答． 【详解】解：由得 ∴或， 解得． ∴方程的另一个根是． 11．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 13．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方方法解方程即可． （2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可． （3）计算时，再利用求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， 或 解得：，． （3）解：在方程式中，，， ， ， 解得：，． 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； （2）解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 15．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式及定义，当判别式且二次项系数不为0时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：， 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（  ） A．6 B．或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度即可. 【详解】解：∵， ∴ ， 解得： ，； 当6和4均为直角边，则斜边为 ， 当6为斜边，4为直角边，则另一条直角边为 ， 此时斜边仍为6， ∴斜边可能为6或， 故选：C 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 10．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： （2）解： ， 或， 解得： （3）解： ∴ ， 或， 解得： 12．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13．（2025·福建厦门·模拟预测）已知． (1)求代数式的值； (2)请判断关于x的一元二次方程是否存在两不等实根，并说明理由． 【答案】(1)0 (2)不存在两不等实根，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程根的判别式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后利用整体代入进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个相等的实数根． 14．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 【答案】(1) (2)，， (3)当时， 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键． （1）根据题意列式得到，代入求值即可； （2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案； （3）利用因式分解法解得到的方程即可． 【详解】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴ （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，， （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得： 15．（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$