专题1.6 一元二次方程的根与系数的关系（一课一练•培优分层练）-2025-2026学年九年级数学上册考点讲与题型练（人教版）

专题1.6 一元二次方程的根与系数的关系 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键． 根据根与系数的关系得出，，再根据，代入求解即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得： 故选：A． 4．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 5．（2025·河北邢台·三模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先设，，根据根与系数的关系得到，解这个方程，求出的值，再求得：，，从而可得，求出． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根， ∵其中一根是另一根的3倍， ∴设，， ， 解得：，， ∴， ， 故选：D． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合，得出方程，整理该方程，得出，再根据根与系数的关系，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 【答案】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系；由有两个相等的实数根，可得，进而根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴两根之积为 故答案为：． 8．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知是方程的两根，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 先化简代数式，根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：a、b是方程的两根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：36． 12．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵两个不相等的实数，，满足：，， ∴实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 15．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 16．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：设、是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程的两根互为相反数， 可得：， ， 解得：． 故选：B ． 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 4．（2025·河南平顶山·三模）已知a和b是方程的两个解，则的值为（   ） A．2025 B． C．2028 D．2030 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根的定义得①，由根与系数的关系得②，然后由整理可得答案． 【详解】∵a和b是方程的两个解， ∴①， ②， 得，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·江西九江·模拟预测）关于x的方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，可得，可以求出、，根据可以求出． 【详解】解：方程的两根为，， ， 又， ， 解得：， ， ， ． 故答案为：． 7．（2025·山东日照·三模）关于x的一元二次方程的两个非零实数根分别是m和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，即可用表示，再代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴． ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设实数，满足，且，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，在方程两边同时除以，得到的形式与比较，可以得到与是方程的两个不相等实数根，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根时，则，． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴与是方程的两个不相等实数根， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 故答案为：． 9．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．先由根的判别式求得的取值范围，再根据根与系数的关系得,再代入列方程求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 根据根与系数的关系得, ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 11．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值以及代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先解方程得出m、n的值，进而判断出m、n均小于0，然后化简分式，最后整体代入求值即可； （2）先化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是方程的两根， ， ， ∴原式， 是方程的两根， ， 原式； （2）解：， ， ， 原式． 12．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 13．（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程； （1）利用根与系数的关系可求出的值； （2）根据，代入求值即可； （3）先利用根与系数的关系可求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， 整理得， 解得， ∴． 14．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 一元二次方程的根与系数的关系 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 3．（2025·浙江杭州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 4．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北邢台·三模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 6．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 8．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 9．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 10．（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 11．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知是方程的两根，则 ． 12．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 15．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 16．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·一模）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 4．（2025·河南平顶山·三模）已知a和b是方程的两个解，则的值为（   ） A．2025 B． C．2028 D．2030 5．（2025八年级下·安徽·专题练习）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（2025·江西九江·模拟预测）关于x的方程的两根为，，且，则 ． 7．（2025·山东日照·三模）关于x的一元二次方程的两个非零实数根分别是m和，则 ． 8．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设实数，满足，且，则代数式的值是 ． 9．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 三、解答题 10．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 11．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 12．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 13．（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 14．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$