专题01 直线和圆的最值问题（专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 直线和圆的最值问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线中的对称问题 1 题型二、利用对称性求直线中的最值 1 题型三、直线的最值问题 2 题型四、含参直线轨迹问题 3 题型五、点与圆，直线与圆的最值问题 3 题型六、利用几何意义求圆的最值：斜率型，直线型，距离型 4 题型七、圆最值中的面积、周长问题 4 题型八、结合向量求圆的最值 4 题型九、角度型求圆的最值 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线中的对称问题 1．（2024秋•西城区校级期末）点关于直线的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•包头期末）直线关于轴对称的直线方程为　　 A． B． C． D． 3．（2025春•普陀区校级期末）与直线关于点对称的直线方程是　　． 4．（2024秋•随州期末）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线对称的直线的方程； （3）直线关于点对称的直线的方程． 5．（2024秋•深圳期末）已知△的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求边所在的直线方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 题型二、利用对称性求直线中的最值 6．（2024秋•深圳校级期末）已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为　　 A． B．8 C．9 D．10 7．（2024秋•雁塔区校级期中）已知点在直线上运动，点，，则的最大值为　　 A． B．2 C． D．1 8．（2025春•金山区校级期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024秋•嘉定区校级期末）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 “将军饮马” 的总路程最短，则　　 A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 10．（2024秋•让胡路区校级期末）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 题型三、直线的最值问题 11．（2024秋•常州期末）点到直线的距离的最大值为　　 A．10 B． C．4 D． 12．（2025春•保定月考）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为　　 A．； B．； C．； D．； 13．（2025•奉贤区二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 　　 ． 题型四、含参直线轨迹问题 14．（2025春•陆良县校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与，重合，则的最小值是　　 A．9 B． C． D． 15．（2024秋•武鸣区校级期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是　　 A． B． C． D． 16．（2013秋•船营区校级期末）点是圆上的动点，为原点，求中点的轨迹参数方程． 17．（2024秋•万州区校级月考）过定点的直线与过定点的直线交于点与，不重合），则△周长的最大值为　　 A． B． C．6 D．8 题型五、点与圆，直线与圆的最值问题 18．（2025春•滁州期末）圆上的点到直线距离的最小值是　　 A． B．1 C． D． 19．（2025•西城区校级三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为　　 A．5 B．10 C． D． 20．（2025春•定州市校级期末）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 21．（2025春•驻马店期末）已知点，为圆上两点，且，点在直线上，点为线段中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 题型六、利用几何意义求圆的最值：斜率型，直线型，距离型 22．（2024秋•重庆期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 　　． 23．（2023•井冈山市校级一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为　　 A． B． C．6 D．5 24．（2024秋•衡阳校级期末）函数的最小值为 　　． 25．（2025春•浦东新区校级月考）已知实数、、、满足：，，，的最大值为 　　 ． 题型七、圆最值中的面积、周长问题 26．（2024秋•曹县校级期末）过定点的直线与过定点的直线交于点与、不重合），则面积的最大值为　　 A．4 B． C．2 D． 27．（2022•安阳模拟）已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为　　 A．8 B． C． D． 题型八、结合向量求圆的最值 28．（2024秋•三明期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•广安校级期中）若点是圆上的动点，点是直线上的动点，定点，则的最小值为 　　． 30．（2024秋•青秀区校级月考）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 　　． 31．（2022•大连二模）已知，，点在曲线上，则的最小值为 　　． 题型九、角度型求圆的最值 32．（2024春•建水县校级期末）设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在点，使，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 1．（2020•新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　 A．1 B． C． D．2 2．（2025•辽宁二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，，动点符合，则的最大值是　　 A． B． C． D． 3．（2024•葫芦岛模拟）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点到点的路线长的最小值是　　 A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2024•甲卷）已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为　　 A．1 B．3 C．4 D． 5．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是　　 A． B．4 C． D．7 6．（2025•漳州一模）已知直线与圆交于，两点，则的最大值为　　 A．2 B．4 C．5 D．10 7．（2025•西城区校级三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为　　 A．5 B．10 C． D． 8．（2025•顺德区模拟）已知圆，过圆上一点作圆的两条切线，，切点为，，则四边形面积的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 二．多选题 （多选）9．（2025•保山校级模拟）已知直线和两点，．在直线上有一点，则的最小值和的最大值为　　 A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线和圆的最值问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线中的对称问题 1 题型二、利用对称性求直线中的最值 4 题型三、直线的最值问题 8 题型四、含参直线轨迹问题 9 题型五、点与圆，直线与圆的最值问题 9 题型六、利用几何意义求圆的最值：斜率型，直线型，距离型 11 题型七、圆最值中的面积、周长问题 13 题型八、结合向量求圆的最值 15 题型九、角度型求圆的最值 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线中的对称问题 1．（2024秋•西城区校级期末）点关于直线的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】设，根据轴对称的性质，结合题意建立关于、的方程组，解之即可得到点的坐标． 【解答】解：设，则的中点为，， 因为点在直线上，所以①， 由，且直线的斜率，可得的斜率②． 由①②组成方程组，解得，，即的坐标为． 故选：． 2．（2024秋•包头期末）直线关于轴对称的直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设为对称直线上的任意一点，点关于轴对称的点为，，根据轴对称的性质得到用、表示、的式子，结合点在直线上算出对称直线的方程． 【解答】解：设为直线关于轴对称的直线任意一点， 点关于轴对称的点为，，则， 因为点，在直线上，所以， 即，化简得，即为所求对称直线的方程． 故选：． 3．（2025春•普陀区校级期末）与直线关于点对称的直线方程是　　． 【分析】在所求直线上取点，可得关于点对称的点的坐标，代入已知直线方程，即可得到结论． 【解答】解：在所求直线上取点，则关于点对称的点的坐标为 代入直线，可得，整理得 故答案为： 4．（2024秋•随州期末）已知直线，点．求： （1）点关于直线的对称点的坐标； （2）直线关于直线对称的直线的方程； （3）直线关于点对称的直线的方程． 【分析】（1）根据斜率，中点关系，得出求解即可． （2）先求出直线与直线的交点，在直线上取一点，如，结合对称性求出关于直线的对称点，再根据两点式，求出直线方程． （3）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解． 【解答】解：（1）点．点关于直线的对称点的坐标为，， 直线， ，， （2）设直线与直线的交点为， 联立直线与直线，，解得 在直线上取一点，如， 则关于直线的对称点必在直线上， 设对称点，则，解得， 经过点 由两点式公式可得，直线的方程为． （3）设直线关于点对称的直线的点的坐标为， 关于点对称点为， 在直线上， 代入直线方程得：直线的方程为：． 5．（2024秋•深圳期末）已知△的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求边所在的直线方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 【分析】（1）由题意求得的坐标为，令点，则，联立方程组求得点的坐标为，利用点斜式方程即可求解； （2）令点，则的中点坐标为，联立解方程组即可求解． 【解答】解：（1）由已知得， 即点的坐标为， 令点，则， 由，得， 所以点的坐标为， 所以，直线的方程为：； （2）令点，则的中点坐标为， 所以，解得：， 所以点关于直线的对称点的坐标为． 题型二、利用对称性求直线中的最值 6．（2024秋•深圳校级期末）已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为　　 A． B．8 C．9 D．10 【分析】求出关于直线的对称点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求得最小值． 【解答】解：设关于直线的对称点的坐标为，则 ， 最小为 故选：． 7．（2024秋•雁塔区校级期中）已知点在直线上运动，点，，则的最大值为　　 A． B．2 C． D．1 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解． 【解答】解：点在直线上运动，点，， 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点，关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当，，三点共线， 所以的最大值为． 故选：． 8．（2025春•金山区校级期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意，运用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，然后求出的长，即可得到“将军饮马”的最短总路程． 【解答】解：设关于直线的对称点的坐标为， 则为“将军饮马”的最短总路程，如图所示： 由，解得，故， 可得，即“将军饮马”的最短总路程等于5． 故选：． 9．（2024秋•嘉定区校级期末）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 “将军饮马” 的总路程最短，则　　 A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， ，，三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于，联立直线方程求解即可；对于，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于，根据两点间距离公式求解即可． 【解答】解：由题意可知，在的同侧， 设点关于直线的对称点为， ，，三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则， 解得， 即， 对于，直线的斜率为， 以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是， 即， 故错误； 对于，联立， 解得， 即将军在河边饮马的地点的坐标为， 故正确； 对于，由选项分析可知点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故错误； 对于，， 即“将军饮马”走过的总路程为， 故错误． 故选：． 10．（2024秋•让胡路区校级期末）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与线的交点时，满足条件，进而可求得答案． 【解答】解：设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上， 即，直线与直线垂直， 即②，解得，， 即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：． 题型三、直线的最值问题 11．（2024秋•常州期末）点到直线的距离的最大值为　　 A．10 B． C．4 D． 【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式求解． 【解答】解：由直线，得， 可得直线过定点， 则点到直线的距离的最大值为． 故选：． 12．（2025春•保定月考）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为　　 A．； B．； C．； D．； 【分析】根据直线的方程得到直线恒过点，根据几何知识得到当垂直直线时，点到直线的距离最大，然后根据距离公式和点斜式计算即可． 【解答】解：直线的方程可整理为：， 令，解得， 所以直线恒过点， 由题意得当垂直直线时，点到直线的距离最大， ，， 所以直线，整理得． 故选：． 13．（2025•奉贤区二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 　3　 ． 【分析】根据已知条件，结合平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线和直线平行， 则点与点之间距离的最小值是． 故答案为：3． 题型四、含参直线轨迹问题 14．（2025春•陆良县校级月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与，重合，则的最小值是　　 A．9 B． C． D． 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到，结合基本不等式即可求得结果． 【解答】解：直线过定点， 直线整理可得：，恒过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，△为直角三角形，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为． 故选：． 15．（2024秋•武鸣区校级期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两条直线的方程，判断出它们互相垂直，且分别经过、，从而推导出点的轨迹是以为直径的圆，可得，再利用基本不等式算出的最大值． 【解答】解：根据题意，可知直线经过定点， 直线，即，可知其过定点． 由，可知直线与直线互相垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆， 由，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 可得，当时，的最大值为． 故选：． 16．（2013秋•船营区校级期末）点是圆上的动点，为原点，求中点的轨迹参数方程． 【分析】根据圆的方程，设出的坐标，利用中点坐标公式，可求的轨迹参数方程． 【解答】解：圆的参数方程为， 的坐标为， 设的坐标为， 坐标为， 由中点坐标公式得，即的轨迹参数方程． 17．（2024秋•万州区校级月考）过定点的直线与过定点的直线交于点与，不重合），则△周长的最大值为　　 A． B． C．6 D．8 【分析】由已知直线方程可得过定点，的坐标，由两条直线垂直，可得△的周长的表达式，再由基本不等式可得三角形的周长的最大值． 【解答】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即， 经过定点， 因为过定点的直线与过定点的直线始终垂直， 点又是两条直线的交点，有，所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以△的周长为， 即△的周长的最大值为． 故选：． 题型五、点与圆，直线与圆的最值问题 18．（2025春•滁州期末）圆上的点到直线距离的最小值是　　 A． B．1 C． D． 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离，根据、的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为． 【解答】解：由题意可得圆心，半径． 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： ． 因为，那么圆与直线相离． 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：． 故选：． 19．（2025•西城区校级三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为　　 A．5 B．10 C． D． 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意，直线过定点， 因为圆的标准方程为， 所以圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 当直线与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为． 故选：． 20．（2025春•定州市校级期末）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意得直线恒过定点，由此得到当时，最小，利用垂径定理，求解即可得出答案． 【解答】解：直线变形为， 令，解得， 直线恒过定点， 圆，则圆心，半径， 故当时，最小，此时， 故选：． 21．（2025春•驻马店期末）已知点，为圆上两点，且，点在直线上，点为线段中点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意可得在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可． 【解答】解：由题意，圆可化为标准方程， 所以圆是以为圆心，半径的圆， 因为，点为线段中点， 所以， 即在以为圆心，1为半径的圆上， 所以当最小时，最小， 因为圆心到直线距离， 所以，故． 故选：． 题型六、利用几何意义求圆的最值：斜率型，直线型，距离型 22．（2024秋•重庆期末）动直线与动直线相交于点，则的最小值为 　　． 【分析】首先求得两直线经过的定点，，再根据两直线垂直，得出交点在以为直径的圆上运动，再根据直线和圆的位置关系即可求得结论． 【解答】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， 因为两直线，始终垂直， 点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程是， 所求可以看成点与点连线的斜率， 设，则有， 则圆心到直线的距离，解得， 所以的最小值为． 故答案为：． 23．（2023•井冈山市校级一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为　　 A． B． C．6 D．5 【分析】化圆的一般方程为标准方程，令，，写出，再由三角函数求最值． 【解答】解：由，得， 令，， 则， 的最大值为． 故选：． 24．（2024秋•衡阳校级期末）函数的最小值为 　　． 【分析】将函数最小值转化为轴上的点到两个定点的距离之和的最小值，求出点关于轴的对称点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：因为表示到与到的距离之和， 又因为关于轴的对称点， 因为，当且仅当，，三点共线时取等号． 所以的最小值为． 故答案为：． 25．（2025春•浦东新区校级月考）已知实数、、、满足：，，，的最大值为 　　 ． 【分析】设圆，直线，，，，，求出的大小，求出中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，数形结合即可求出其最大值． 【解答】解：设圆，直线，，，，， 则，，，都在圆上， 因为，且，所以． 过和作直线的垂线，垂足分别为， 则表示和到直线的距离和， 由图形得，只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值． 取的中点，过作，垂足为，则， 因为△为等腰三角形，底角为，为的中点，所以， 则在圆上运动， 又到直线的距离为， 则当时，到直线距离的最大值为， 所以的最大值为， 即的最大值为． 故答案为：． 题型七、圆最值中的面积、周长问题 26．（2024秋•曹县校级期末）过定点的直线与过定点的直线交于点与、不重合），则面积的最大值为　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】根据方程可得定点、，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得． 【解答】解：直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， ，， ，当且仅当时，等号成立， 即面积的最大值为． 故选：． 27．（2022•安阳模拟）已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为　　 A．8 B． C． D． 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为2， 因为过点作圆的两条切线，切点分别为，， 所以有，，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：． 题型八、结合向量求圆的最值 28．（2024秋•三明期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】由向量的运算，结合直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式求解． 【解答】解：由题意可知：圆的圆心为，半径， 设中点为， 则，且， 可得， 又因为， 可知△为等腰直角三角形， 则， 可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离， 解得或， 即实数的取值范围为． 故选：． 29．（2024秋•广安校级期中）若点是圆上的动点，点是直线上的动点，定点，则的最小值为 　6　． 【分析】先根据点关于直线对称求出关于点对称点为，再结合向量线性运算得出，最后应用圆心到直线的距离减半径计算即可． 【解答】解：设关于点对称点为，，，如图所示： 可知，解得，点是直线上的动点， 代入整理得； 点为与，的中点， ， 点是圆上动点，圆的圆心，半径为5， 最小值为圆的圆心到直线的距离减去半径， ，的最小值6． 故答案为：6． 30．（2024秋•青秀区校级月考）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 　6　． 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可． 【解答】解：如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，． ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以． 故答案为：6． 31．（2022•大连二模）已知，，点在曲线上，则的最小值为 　　． 【分析】由题意得，点在以为圆心，半径为1的下半圆上，计算并化简得，将表示为点到点的距离的平方，求解点到圆上任意点的最小距离，即可得答案． 【解答】解：设，由题意，点在， 即点在以为圆心，半径为1的下半圆上， ， 其中表示为点到点的距离的平方， 当点到点的距离最小时，取最小值， 点到点的最小距离为， 所以的最小值为， 故答案为：． 题型九、角度型求圆的最值 32．（2024春•建水县校级期末）设直线，圆，若在圆上存在两点，，在直线上存在点，使，则的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于等于2，再由点到直线的距离公式得到关于的不等式求解． 【解答】解：直线上任意一点，点，是圆上两点， 当，分别与圆相切时，最大， 当运动到与圆心之间的距离最小时，即时，最大， 圆的圆心坐标，半径为， 由点到直线距离公式，得圆心到直线的距离， 在圆上存在两点，，在直线上存在点，使时，此时圆的圆心到直线的距离为2，在直线上存在点，此距离小于等于2， ，解得， 的取值范围为，． 故选：． 一．选择题（共8小题） 1．（2020•新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　 A．1 B． C． D．2 【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论． 【解答】解：方法一：因为点到直线距离； 要求距离的最大值，故需； ，当且仅当时等号成立， 可得，当时等号成立． 方法二：由可知，直线过定点， 记，则点到直线距离． 故选：． 2．（2025•辽宁二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，，动点符合，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意求出的轨迹，再由点到直线的距离公式求解． 【解答】解：，， 由题意，点满足， 即，在点在以为圆心，以1为半径的圆及其内部， 而，其几何意义为动点到直线距离的倍， 则其最大值为． 故选：． 3．（2024•葫芦岛模拟）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点到点的路线长的最小值是　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果． 【解答】解：由题意可得圆心，半径， 点关于轴的对称点， 所以， 该光线从点到点的路线长的最小值为． 故选：． 4．（2024•甲卷）已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为　　 A．1 B．3 C．4 D． 【分析】由已知结合等差数列的性质可知，直线过定点，然后结合两点间距离公式即可求解． 【解答】解：因为，，成等差数列，所以， 所以直线恒过， 因为在圆内， 当时，取得最小值，此时，． 故选：． 5．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是　　 A． B．4 C． D．7 【分析】根据题意，设，分析和，结合直线与圆的位置关系可得有，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆， 设，变形可得，其几何意义为直线， 直线与圆有公共点，则有，解可得， 故的最大值为． 故选：． 6．（2025•漳州一模）已知直线与圆交于，两点，则的最大值为　　 A．2 B．4 C．5 D．10 【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，求出△的面积的表达式，由三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：圆可化为，可得圆心，半径， 直线恒过定点，为到直线的距离的最大值， 因为△的面积， 的面积最大值为4． 故选：． 7．（2025•西城区校级三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为　　 A．5 B．10 C． D． 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意，直线过定点， 因为圆的标准方程为， 所以圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 当直线与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为． 故选：． 8．（2025•顺德区模拟）已知圆，过圆上一点作圆的两条切线，，切点为，，则四边形面积的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】利用切线长最小时即是面积最小时，求出最小弦长即可求出面积的最小值． 【解答】解：已知圆，过圆上一点作圆的两条切线，，切点为，， 如图，， 因为当，，三点共线时，， 此时， 所以四边形面积的最小值为． 故选：． 二．多选题 （多选）9．（2025•保山校级模拟）已知直线和两点，．在直线上有一点，则的最小值和的最大值为　　 A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案． 【解答】解：直线和两点，，如图， 令是关于的对称点， 则， ，，即，为与的交点， ，则， 当且仅当，，共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当，，共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是． 故选：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$