精品解析：甘肃省定西市安定区2024—2025学年下学期期末质量检测八年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 点在一次函数的图象上，则点不可能在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 对于一次函数，下列结论正确是（ ） A. 当时， B. 随增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 10. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二．填空题（每小题 3分，共18分） 11. 若与最简二次根式 可以合并，则m的值为________． 12. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 14. 甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是____________． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为______． 16. 如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为___________． 三．解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值； 19. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 20. 已知一次函数y＝kx+b图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 21. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 22. 某班阅读社团的学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4至7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，A：4本；B：5本；C：6本；D：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． （1）求这次被调查学生的人数，并补全条形图； （2）求该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的众数、中位数； （3）求该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的平均数． 23. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 24. 已知点是第一象限的动点，且．点A的坐标，设三角形的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当P的横坐标为5时，则的面积为多少？ 25. 如图，在矩形中，为等腰直角三角形， （1）求证：； （2）若矩形的周长为，，求的面积． 26. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分120分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，即不是最简二次根式，不符合题意； B、，即不是最简二次根式，不符合题意； C、，即不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4. 点在一次函数的图象上，则点不可能在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限，结合点在一次函数的图象上可得出点不可能在第二象限． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 又∵点在一次函数的图象上， ∴点不可能在第二象限． 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是正方形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一分析选项，结合对角线性质判断正误. 【详解】A. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，菱形的判定需满足“对角线互相垂直的平行四边形”，而选项未说明是平行四边形，故错误； B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，而非正方形，正方形需同时满足邻边相等且有一个角为直角（即矩形），故错误； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线互相平分说明是平行四边形，加上垂直条件满足菱形的判定定理，故正确； D. 对角线相等的四边形不一定是矩形，矩形的判定需满足“对角线相等的平行四边形”，而选项未说明是平行四边形（如等腰梯形对角线相等但非矩形），故错误； 故选：C. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，乘法，除法和二次根式的性质逐一计算即可得． 【详解】解：A，与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B，，此选项错误； C，，此选项正确； D，，此选项错误； 故选：C． 7. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题的关键．由题意可知，，那么随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：一次函数， ， 随的增大而减小， 图象上两点、，， ， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 9. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数值，一次函数图象经过的象限，根据解析式可得增减性和函数经过的象限，再求出当时和当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而减小，它的图象经过第二，三、四象限，故B、D结论错误； 当时，，当时，， ∴当时，，它的图象与轴交于点，故A结论错误，C结论正确； 故选：C． 10. 如图，菱形边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的长度，进而根据公式可得出菱形的面积． 【详解】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1， ∴AC＝2OA＝2， ∵菱形的边长为， ∴AB＝， ∴， ∴BD＝2BO＝4， ∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键． 二．填空题（每小题 3分，共18分） 11. 若与最简二次根式 可以合并，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式合并， ∴， 解得， 故答案为：4． 12. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7，已知这组数据的平均数是5， ∴x＝5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7＝3， ∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7， ∴这组数据的中位数是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查已知平均数求未知数据的值，求中位数，熟练掌握这些知识点是解题关键． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 14. 甲和乙两人进行射击比赛，两人各射击10次，成绩如下表（单位：环）．经计算，发现两人平均成绩都是7环，则本次比赛甲乙两人发挥更稳定的是____________． 甲 10 10 10 8 7 7 7 5 4 2 乙 9 8 8 7 7 7 7 6 6 5 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据表格数据计算两组数据的方差，比较两组数据的方差，方差小者更稳定． 【详解】解：由表格数据可知， 甲的方差为：， 乙的方差为：， ， 因此乙发挥更稳定． 故答案为：乙． 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，首先把点代入直线求出的值，进而得到点坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、分别化简，进而计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质是解题的关键． 18. 已知，，求的值； 【答案】8 【解析】 【分析】由已知的条件先求出的值，然后把所求式子变形为，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键. 19. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2）和点（1，﹣1）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) y＝﹣3x+2；(2) 【解析】 【分析】（1）把已知两点的坐标代入y＝kx+b得关于k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用一次函数解析式求出一次函数与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）把（0，2）和（1，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得 ， 所以一次函数解析式为y＝﹣3x+2； （2）当y＝0时，﹣3x+2＝0，解得x＝，则一次函数与x轴的交点坐标为（ ，0）， 所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积＝×2×＝． 故答案为(1) y＝﹣3x+2；(2) 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 21. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为25． 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得； 【小问2详解】 解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 22. 某班阅读社团的学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4至7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，A：4本；B：5本；C：6本；D：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． （1）求这次被调查学生的人数，并补全条形图； （2）求该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的众数、中位数； （3）求该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的平均数． 【答案】（1）20名，补全统计图见解析 （2）众数为5本，中位数为5本 （3）本． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，众数，中位数的求解，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用B类的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，再求出D类的人数，补全统计图即可； （2） 根据众数、中位数的定义即可直接求解； （3）根据平均数的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：（名）． 这次被调查学生的人数有20名． D类的人数为：（名） 补全统计图如下： 小问2详解】 读了5本课外书的有8人，最多， 该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的众数为5本． 共有20人， 中位数是第10人和第11人的平均数， 该班阅读社团学生每人阅读课外书数量的中位数为（本）． 【小问3详解】 平均数为（本）． 23. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求证结论； （2）利用直角三角形的特征及勾股定理求得，利用菱形的性质及可得，进而可得，根据即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 24. 已知点是第一象限的动点，且．点A的坐标，设三角形的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当P的横坐标为5时，则的面积为多少？ 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是根据三角形面积公式得出S与x的关系式，注意自变量的取值范围． （1）首先得到，，然后根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据及点在第一象限，可求出x的取值范围； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出的面积． 小问1详解】 解：A点的坐标分别是， ． 点在第一象限， 点到x轴的距离为y， ∵， ∴， 的面积， ， ， 解得：， 又点P在第一象限， ， x的取值范围为， ∴； 【小问2详解】 解：将代入， 可得：， ∴当点P的横坐标为5时，的面积是． 25. 如图，在矩形中，为等腰直角三角形， （1）求证：； （2）若矩形的周长为，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）由为等腰直角三角形，得出，，推出，由证得，得出，即可得出结论； （2）设，利用矩形的性质可得，解得的长，根据勾股定理求得，即可求得的面积． 【小问1详解】 证明：为等腰三角形， ，， 又， ， 又四边形是矩形， ，， 在和中， ， ． ， ； 【小问2详解】 解：设，根据题意得：， 解得，即， 在中，， ； 的面积为6.5． 26. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元 （2）当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元，列出方程组，解方程即可． （2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，列出不等式，即可作答． ②设所需购买总费用为w元，则，根据一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元； 【小问2详解】 解：设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，根据题意得： ， ∴（m为正整数）； 设所需购买总费用为w元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵m取正整数， ∴时，最少， ∴（元）， 答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$