专题2.2 整式加减（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题2.2 整式加减 教学目标 1.了解同类项的概念及合并同类项的法则，能进行同类项的合并。 2.掌握去括号与添括号法则。 3.掌握整式加减的运算法则，能够熟练地进行整式的加减运算。 4.能够将多项式按照某一个字母幂（降幂）排列。 教学重难点 教学重点：掌握同类项概念；掌握去括号法则；熟练进行整式加减运算。 教学难点：正确识别同类项；去括号时符号处理；保证运算的准确性。 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 判定几个单项式是同类项需注意： （1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； （2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. 并且不要忘记几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点归纳：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． “合并同类项”的方法： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【即学即练】1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各式中，是的同类项的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列运算中结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 去括号与添括号 1.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点归纳： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 要点归纳： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 【即学即练】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 整式加减 1.整式加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 2.多项式的降（升）幂排列 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 要点归纳： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． 整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 【即学即练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 题型01 运用同类型的定义解题 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果与是同类项，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）关于a，b的单项式与单项式互为同类项，求 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知．当与是同类项时，求的值． 【变式1-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期中）已知：与是同类项． (1)求a、b的值； (2)计算和的值． 题型02 整式的化简与求值 【例2-1】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）先化简，再求值：，其中， 【例2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，，求的值，其中，． 【例2-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）小刚同学由于粗心，把“”看成了“”，算出的结果为，其中． (1)求的正确结果； (2)若时，求的值． 【例2-4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）根据合并同类项法则，易知，若将代入，得，这种解决问题的方法渗透了数学的“整体思想”．请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，计算； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）先化简，再求值：．其中为最小正整数，为最大负整数． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知代数式，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 题型03 整式加减中的无关问题 【例3-1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【例3-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）请回答下列问题： (1)若多项式的值与的取值无关，求的值； (2)若是关于、的四次三项式，求值． 【例3-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，的代数式是未知的． (1)若的结果为常数，求此常数和此时的值； (2)当时，，求． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）（1）先化简再求值：，其中，． （2）已知，．若的值与的取值无关，求的值． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 题型04 利用整式加减判断说理 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有这样一道计算题：“”，无论取何值，该代数式的值都一样，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）张老师让同学们计算“当，时，求代数式的值．”由于小明抄题时粗心大意，把“，”写成了“，”，但他求出来的结果却是正确的，你知道为什么吗？请解释是怎么一回事，并计算最后的值． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与_______是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 题型05 整式加减在实际问题中的应用 【例5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【例5-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 【例5-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某地为市民打造十五分钟健身圈，计划将一块闲置土地改造成一个休闲广场（由主广场、儿童乐园区、健身区和休闲区组成），现对该地块进行地面改造，其平面图如下图所示（单位：米）： (1)用含，的代数式表示儿童乐园区比休闲区面积大多少平方米？ (2)用含，的代数式表示该休闲广场的总面积； (3)该休闲广场地面全部铺设地砖，但为了确保安全，还需要在健身区和儿童乐园区的地砖上额外增加一层橡胶地垫．已知每平方米地砖的铺设成本为150元，每平方米橡胶地垫的铺设成本为100元．当，时，求该休闲广场地面改造的总费用．（不考虑其他额外费用，计算结果使用科学记数法表示） 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学要建一长方形停车场，其中一面靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价70元，求建此停车场所需护栏的总价． 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，某市计划在一块长方形的市民广场空地上建造一个特色徽剧表演台（阴影部分）． (1)请用代数式表示特色徽剧表演台的面积（化为最简结果）． (2)如果修建表演台的费用为元，且，那么修建特色徽剧表演台需要费用多少元？ 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知一个三角形院墙，第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． (1)第二条边长为______，第三条边长为______；（用含有，的式子表示，要化简） (2)当米，米时，这个三角形的周长是多少米？ (3)在（2）的条件下，围成院墙的材料20米以内收费每米180元，超过20米的部分每米收费150元，请问围成这个三角形的院墙要花费多少钱？ 题型06 整式加减与数轴、绝对值的综合应用 【例6-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【例6-2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与，3与5，与，与3，回答问题： (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ； (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为 ； (3)结合数轴可得的最小值为 ； (4)若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知为有理数． (1)若．求的值； (2)若在数轴上的位置如图所示：化简：． 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽黄山·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且． (1)求值： ； (2)分别判断以下式子的符号（“”“”或“”）： 0， 0； (3)化简：． 【变式6-4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 【变式6-5】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 题型07 整式加减中的新定义问题 【例7-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义符号“”表示一种运算，表示x在运算作用下的结果，如表示x在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 【例7-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 【变式7-1】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于一个三位数的整数，如果个位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字的两倍，则称这个三位数就叫平衡数，例如：135满足，则135是平衡数． (1)判断：369________平衡数；（填“是”或“不是”） (2)试说明：任意一个三位数的平衡数一定能被3整除． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）有三组整式：①，，；②，，2；③，，这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”． (1)若某个“和谐等式组”中的第一个整式为,第二个整式为． ①直接写出m的值：__________； ②求出这个“和谐等式组”的第三个整式； (2)若，，（m为常数）是一个“和谐等式组”，求的值． 【变式7-3】（23-24七年级上·安徽池州·期中）观察下列等式：，，，…，我们称使等式成立的一对有理数x，y为“对等数对”，记为，例如数对，，都是“对等数对”．请解答下列问题： (1)数对是“对等数对”吗?并说明理由； (2)若是“对等数对”，且，求的值； (3)若是“对等数对”，求的值． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知和是同类项，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．6 5．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，边长为和2的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积为（   ） A． B．4 C． D． 6．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），则图1与图2长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分（阴影部分）周长的差为（    ） A．0 B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一艘江轮在静水中的速度为，逆流速度为，则顺流速度为（顺流航行的速度=静水中速度+水流速度；逆流航行的速度=静水中速度水流速度）（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）一根铁丝的长为，剪下一部分围成一个长为，宽为的长方形，则这根铁丝还剩下 ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）a、b在数轴上的对应点如图所示，则 ． 11．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 三、解答题 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）化简：． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知：，． (1)计算：； (2)若，满足，求（）中代数式的值． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 17．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，窗户半圆部分和两个长方形部分都安装透明玻璃（本题中取，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米（铝合金窗框宽度忽略不计）？（用含，的代数式表示） (3)某公司需要购进扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：甲厂商报价为铝合金每米元，透明玻璃不超过平方米的部分每平方米元，超过平方米的部分每平方米元；乙厂商报价为铝合金每米元，透明玻璃每平方米元．每购买米铝合金送平方米的透明玻璃、当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 18．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 整式加减 教学目标 1.了解同类项的概念及合并同类项的法则，能进行同类项的合并。 2.掌握去括号与添括号法则。 3.掌握整式加减的运算法则，能够熟练地进行整式的加减运算。 4.能够将多项式按照某一个字母幂（降幂）排列。 教学重难点 教学重点：掌握同类项概念；掌握去括号法则；熟练进行整式加减运算。 教学难点：正确识别同类项；去括号时符号处理；保证运算的准确性。 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 判定几个单项式是同类项需注意： （1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； （2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可. 并且不要忘记几个常数项也是同类项. 2.合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点归纳：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． “合并同类项”的方法： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【即学即练】1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下列各式中，是的同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项定义逐项判断即可． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，此项不符合题意； B、所含字母不相同，不是同类项，此项不符合题意； C、符合同类项的定义，是同类项，此项符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，此项不符合题意； 故选：C． 2.（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列运算中结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，利用合并同类项法则逐项判断即可．熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、无法合并，则A符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：A． 知识点02 去括号与添括号 1.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点归纳： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 要点归纳： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 【即学即练】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查去括号与添括号，熟练掌握去括号与添括号的法则是解题的关键；因此此题可根据添去括号的运算法则进行排除选项． 【详解】解：A、，原变形错误，故不符合题意； B、，原变形错误，故不符合题意； C、，原变形正确，故符合题意； D、，原变形错误，故不符合题意； 故选C． 知识点03 整式加减 1.整式加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 2.多项式的降（升）幂排列 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 要点归纳： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． 整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 【即学即练】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式． (1)将该多项式按y降幂排列． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的降幂排列，多项式的减法．熟练掌握多项式的降幂排列，去括号，合并同类项，是解题和关键． （１）将多项式A按y的降幂排列就是按y的指数从高到低排列，根据定义即可求解； （2）去括号，合并同类项，即得． 【详解】（1）解：按y的降幂排列， （2）解：∵，， ∴ ． 题型01 运用同类型的定义解题 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果与是同类项，那么的值是（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）关于a，b的单项式与单项式互为同类项，求 ． 【答案】9 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，得到，进而求出的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：9 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知．当与是同类项时，求的值． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减运算，同类项定义，解题的关键是熟练掌握加减运算法则，准确计算． 根据整式加减运算法则算出，再根据同类项定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 与是同类项， ， 则． 【变式1-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期中）已知：与是同类项． (1)求a、b的值； (2)计算和的值． 【答案】(1) (2)9，9 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】（1）根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此求解即可； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵与是同类项， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义． 题型02 整式的化简与求值 【例2-1】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ； 【例2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若，，求的值，其中，． 【答案】6 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 将A，B代入运用整式加减的运算法则计算，然后代数求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴原式． 【例2-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）小刚同学由于粗心，把“”看成了“”，算出的结果为，其中． (1)求的正确结果； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减，非负数的性质．正确移项、合并同类项是解题关键． （1）直接根据题意移项合并同类项得出A，进而利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）先根据非负数的性质求出，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， 解得：， ． 【例2-4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）根据合并同类项法则，易知，若将代入，得，这种解决问题的方法渗透了数学的“整体思想”．请运用“整体思想”解答下列问题： (1)把看成一个整体，计算； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)13 (3)26 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，会把整式正确化简及运用“整体思想”是解决问题的关键． （1）利用“整体思想”和合并同类项法则进行计算即可； （2）先得出，再根据，再把整体代入，计算即可； （3）方法一：可根据已知求出，，再整体代入求解即可；方法②：先变形，再整体代入，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：由，得， ∴ ． （3）解：方法一： ∵，，， ∴， ． ∴原式． 方法二： ． ∵，， ∴原式． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则化简后代入求值即可． 【详解】解： ． 当时， 原式 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值、非负数的性质等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．首先按照去括号、合并同类项的步骤完成化简，再根据非负数的性质确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 解得， ∴原式 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）先化简，再求值：．其中为最小正整数，为最大负整数． 【答案】；6 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，求解代数式的值，本题先去括号，再合并同类项得到化简的结果，再把，，代入化简后代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 因为为最小正整数，为最大负整数 所以， 所以原式． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知代数式，． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）去括号，再合并同类项即可得到结果； （2）把代入化简后的结果计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：时，． 题型03 整式加减中的无关问题 【例3-1】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则，理解无关项的含义是解题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （2）根据无关项的含义得到，该项的系数为0，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）解：由（1）的计算得到，， ∵值与的取值无关， ∴， 解得，． 【例3-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）请回答下列问题： (1)若多项式的值与的取值无关，求的值； (2)若是关于、的四次三项式，求值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查整式的混合运算，理解值与的取值无关，四次三项式的含义，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先合并同类项得到，根据值与的取值无关，得到，，求出的值，代入计算即可； （2）根据四次三项式，，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵原式的值与x的值无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【例3-3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，的代数式是未知的． (1)若的结果为常数，求此常数和此时的值； (2)当时，，求． 【答案】(1)常数是3， (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，熟练进行整式运算是解题关键． （1）根据的结果为常数，可以得到，然后即可求得k的值； （2）根据和，利用整式的加减可以计算出C． 【详解】（1）解：， ， 的结果为常数， ， 解得， ∴若的结果为常数，则这个常数是3，此时． （2）解：当时，， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）（1）先化简再求值：，其中，． （2）已知，．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案； （2）先根据整式的加减计算法则求出的结果，再根据的值与的取值无关，即含y的项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 题型04 利用整式加减判断说理 【例4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有这样一道计算题：“”，无论取何值，该代数式的值都一样，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式加减中的无关型问题是解题的关键． 由，可知该代数式的值与x，y的取值无关，然后作答即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的值与x，y的取值无关， ∴无论x，y取何值，代数式的值都一样． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）张老师让同学们计算“当，时，求代数式的值．”由于小明抄题时粗心大意，把“，”写成了“，”，但他求出来的结果却是正确的，你知道为什么吗？请解释是怎么一回事，并计算最后的值． 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ． ∴结果与x，y的取值无关， ∴把“”写成了“”，求出来的结果也是正确的． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与_______是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)与是关于2的平衡数，理由见解析 【知识点】有理数加法运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义和整式的加减，理解平衡数的定义和熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为2即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的平衡数， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ， ∴与是关于2的平衡数． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)3 (3)存在，，此时值为 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减中的无关型问题、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据得，计算即可． （2）设表示的数为表示的数为，小火车的长度为，根据题意，建立方程计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点P表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：设A表示的数为，B表示的数为，小火车的长度为l， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． （3）解：存在，，此时值为， 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ∴， 根据题意，得到点Q表示的数是，点P示的数是， ∴， ∴ ， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 题型05 整式加减在实际问题中的应用 【例5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解：， 答：剩下部分的周长是； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 【例5-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 【答案】(1)需付车费26元 (2) (3)两人车费一样多，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查列代数式，代数式求值，解题关键是结合题意列出代数式，注意分情况讨论． （1）由题意可知行车里程为8公里，行车时间为20分钟，根据表内的计费规则即可求得车费； （2）分情况讨论，当时与当时两种情况，分别写出乙应付的车费； （3）设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟，分别列出小王和小张的车费，进行做差比较即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费26元； （2）解：当时，乙应付费（元）； 当时，乙应付费 （元）； （3）解：设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟， 则甲应付车费， 乙应付车费， 因此，两人车费一样多． 【例5-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某地为市民打造十五分钟健身圈，计划将一块闲置土地改造成一个休闲广场（由主广场、儿童乐园区、健身区和休闲区组成），现对该地块进行地面改造，其平面图如下图所示（单位：米）： (1)用含，的代数式表示儿童乐园区比休闲区面积大多少平方米？ (2)用含，的代数式表示该休闲广场的总面积； (3)该休闲广场地面全部铺设地砖，但为了确保安全，还需要在健身区和儿童乐园区的地砖上额外增加一层橡胶地垫．已知每平方米地砖的铺设成本为150元，每平方米橡胶地垫的铺设成本为100元．当，时，求该休闲广场地面改造的总费用．（不考虑其他额外费用，计算结果使用科学记数法表示） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握长方形面积公式． （1）先分别表示出儿童乐园区和休闲区的面积，再表示出儿童乐园区比休闲区面积大的部分即可； （2）先分别表示出健身区面积和主广场面积，再表示出休闲广场总面积即可； （3）分别求出休闲广场的总面积和健身区和儿童乐园区的总面积，然后再求出总费用即可． 【详解】（1）解：儿童乐园区的面积为：平方米， 休闲区面积为：平方米， 则儿童乐园区比休闲区面积大：平方米． （2）解：健身区面积为：平方米， 主广场的面积为：（平方米）， 则休闲广场的总面积为： 平方米； （3）解：当，时，休闲广场的总面积为： （平方米）， 健身区和儿童乐园区的总面积为： （平方米）， 休闲广场地面改造的总费用为： （元）． 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学要建一长方形停车场，其中一面靠墙，其他三面用护栏围起，已知长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求护栏的总长度； (2)若，，每米护栏造价70元，求建此停车场所需护栏的总价． 【答案】(1)米 (2)33600元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查代数式解应用题，涉及整式加减运算、代数式求值等知识，读懂题意，准确列出代数式是解决问题的关键． （1）根据题意，先求出宽，再由停车场的围栏构造得出代数式表示即可； （2）由（1）中所求代数式，将，代入求值，再由每米护栏造价70元，即可得到建此停车场所需的费用． 【详解】（1）解：由题意得，宽为：（米）， 护栏的长度为：（米）． （2）解：当，时，， 则建此停车场所需护栏的总价为：（元）． 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，某市计划在一块长方形的市民广场空地上建造一个特色徽剧表演台（阴影部分）． (1)请用代数式表示特色徽剧表演台的面积（化为最简结果）． (2)如果修建表演台的费用为元，且，那么修建特色徽剧表演台需要费用多少元？ 【答案】(1) (2)72000元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式、代数式求值以及整式的加减，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，会求代数式的值． （1）根据图形列出算式，再进一步化简求解即可； （2）先根据化简后的代数式求出表演台的面积，再乘以单价即可得出答案． 【详解】（1）解：特色徽剧表演台的面积 ． （2）解：当时， ， 所以修建特色徽剧表演台需要费用（元）． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知一个三角形院墙，第一条边长为，第二条边比第一条边长，第三条边比第二条边短． (1)第二条边长为______，第三条边长为______；（用含有，的式子表示，要化简） (2)当米，米时，这个三角形的周长是多少米？ (3)在（2）的条件下，围成院墙的材料20米以内收费每米180元，超过20米的部分每米收费150元，请问围成这个三角形的院墙要花费多少钱？ 【答案】(1)， (2)米 (3)元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项 【分析】（1）根据题意即可直接得出答案； （2）将三角形院墙的三条边相加，即可得出三角形周长的表达式，然后将与的值代入，即可求出该三角形的周长； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 第二条边长为：， 第三条边长为：， 故答案为：，； （2）解：这个三角形的周长为： ， 当米，米时， （米）， 答：这个三角形的周长是米； （3）解：当米，米时， 围成这个三角形的院墙要花费： （元）， 答：围成这个三角形的院墙要花费元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，去括号，合并同类项，代数式求值，有理数四则混合运算等知识点，理解题意，弄清题中的数量关系是解题的关键． 题型06 整式加减与数轴、绝对值的综合应用 【例6-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质． （1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，，， ∴ ． 【例6-2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与，3与5，与，与3，回答问题： (1)所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是 ； (2)若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为 ； (3)结合数轴可得的最小值为 ； (4)若关于的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】(1)相等 (2) (3)5 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得出结论； （2）根据数轴上两点之间的距离可得结果； （3）根据表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和，得出当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小，然后求出这个最小距离即可； （4）把的取值范围分成，，和四类进行讨论，求出最小值，由于方程无解，则小于最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：在数轴上4与之间距离为6，3与5之间距离为2，与之间距离为4，与3之间距离为7， ∵，，，， ∴数轴上两点距离两点表示的数的差的绝对值； 故答案为：相等； （2）解：由（1）可知：， 故答案为：； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到2和两点的距离之和， ∴当x表示的点在2和之间时，这个距离之和最小， ∴的最小值为； （4）解：①当时，，，， ， ②当时，，，， ， ， ③当时，，，， ， ， ④当时，，，， ， 最小值为6， 方程无解， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离以及绝对值的意义，整式的加减运算，掌握分类讨论的思想方法求最值是解题的关键． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知为有理数． (1)若．求的值； (2)若在数轴上的位置如图所示：化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了整式的加减，根据数轴化简绝对值； （1）化简绝对值，计算即可； （2）先根据数轴得到，，，再化简绝对值，计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或5， ∵， ∴； （2）解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 【变式6-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 【答案】(1)27 (2)8或44 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）由绝对值的非负性及完全平方数的非负性可得，，解方程即可求出、的值，然后利用数轴上两点之间的距离公式即可求出的值； （2）设C点表示的数为c，然后分三种情况讨论：①当点C在点A、B之间时；②当点C在点B右边时；③当点C在点A左边时；分别根据求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ； （2）解：设C点表示的数为c， 分三种情况讨论： ①当点C在点A、B之间时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， ， 点表示的数为； ②当点C在点B右边时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， 点表示的数为； ③当点C在点A左边时， 此种情况显然不成立； 综上，C点表示的数为8或44． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，解一元一次方程，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减，代数式求值等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽黄山·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且． (1)求值： ； (2)分别判断以下式子的符号（“”“”或“”）： 0， 0； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据相反数的意义，即可求解； （2）观察数轴得：且，即可求解； （3）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，所对应的点分别位于原点的两侧， ∴，互为相反数， ∴； 故答案为：0； （2）解：观察数轴得：且， ∴；； 故答案为：，； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式6-4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，整式的加减； （1）当时，点a在原点右边，由题意可知，此时，代入即可求值；当 时，点b在原点左边，由题意可知，此时，代入即可求值； （2）由图中获取三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值； （3）由图获取的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：；； （2）由数轴可得： ， ， ， ∴； （3）由数轴可知：且， ∴， ∴ ． 【变式6-5】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，； (2)当运动到第次时，点到达点； (3)第次运动点对应的数为． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、数字类规律探索、多项式的项、项数或次数 【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （）根据（）得到的规律求解即可； 本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 题型07 整式加减中的新定义问题 【例7-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义符号“”表示一种运算，表示x在运算作用下的结果，如表示x在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义下有理数的混合运算和整式的加减运算，解题关键是得出符号“”的运算规律是一个数的倍再减1． 【详解】（1）解： ， （2） 【例7-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）阅读材料： 一个三位自然数若满足百位数字与个位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“欢喜数”，如572的百位数字5与个位数字2的和等于十位数字7，所以572是“欢喜数”． 解答问题 (1)最小的“欢喜数”是________，最大的“欢喜数”是________； (2)若某“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b，试说明这个“欢喜数”是11的倍数； (3)若“欢喜数”m为奇数，且十位数字比个位数字大n（n为大于4而小于7的整数），且m能被3整除，请直接写出所有符合条件的“欢喜数”m． 【答案】(1)110，990 (2)见解析 (3)561或693 【知识点】整式加减的应用、有理数大小比较、数的整除、 奇数与偶数的认识 【分析】此题考查学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，整式加减混合运算的应用．解题的关键是理解“欢喜数”的定义． （1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”即可； （2）由“欢喜数”的定义可得出该“欢喜数”个位数字为，从而可求出，即说明这个“欢喜数”是11的倍数； （3）由题意可知n即为“欢喜数”m的百位数字，再根据m为奇数，n为大于4而小于7的整数可得出该“欢喜数”的个位数字小于等于4，或6，再分类讨论，结合m能被3整除，进行取舍即可． 【详解】（1）解：由“欢喜数”的定义可知最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990； （2）解：∵这个“欢喜数”的百位数字为a，十位数字为b， ∴该“欢喜数”个位数字为， ∴， ∴这个“欢喜数”是11的倍数； （3）解：∵十位数字比个位数字大n， ∴该“欢喜数”的百位数字为n． ∵该“欢喜数”m为奇数， ∴该“欢喜数”的个位数字为奇数． ∵n为大于4而小于7的整数， ∴该“欢喜数”的个位数字小于等于4，或6， ∴该“欢喜数”的个位数字为1或3． 分类讨论：当①该“欢喜数”的个位数字为1时，当时，此时十位数字为6，该“欢喜数”为561，能被3整除，符合题意； 当时，此时十位数字为7，该“欢喜数”为671，不能被3整除，不符合题意； ②该“欢喜数”的个位数字为3时，当时，此时十位数字为8，该“欢喜数”为583，不能被3整除，不符合题意； 当时，此时十位数字为9，该“欢喜数”为693，能被3整除，符合题意． 综上可知，符合条件的“欢喜数”m为561或693． 【变式7-1】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于一个三位数的整数，如果个位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字的两倍，则称这个三位数就叫平衡数，例如：135满足，则135是平衡数． (1)判断：369________平衡数；（填“是”或“不是”） (2)试说明：任意一个三位数的平衡数一定能被3整除． 【答案】(1)是 (2)见解析 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，理解“平衡数”是求解本题的关键． （1）根据“平衡数”的概念判断即可． （2）设这个三位数的平衡数为：，化简得，最后可得结论． 【详解】（1）因为，所以369是平衡数， 故答案为：是； （2）证明：设这个三位数的平衡数为：， ∵ ， ∴任意一个三位数的平衡数一定能被3整除． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽宿州·期中）有三组整式：①，，；②，，2；③，，这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”． (1)若某个“和谐等式组”中的第一个整式为,第二个整式为． ①直接写出m的值：__________； ②求出这个“和谐等式组”的第三个整式； (2)若，，（m为常数）是一个“和谐等式组”，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的加减： （1）观察得到式子的规律，根据规律可得到结果；和谐等式组的最后一个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的； （2）根据和谐等式组的特点得到结果； 得到规律并能准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：①通过观察可以得到“和谐等式组”第一个式子与第二个式子的二次项的系数一样，可得到， 故答案为：； ②通过观察可以得到“和谐等式组”第三个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的， 即； （2）解：∵，（m为常数）是一个“和谐等式组”， ∴ 整理得： ∴ 解得 ∴ 整理得：． 【变式7-3】（23-24七年级上·安徽池州·期中）观察下列等式：，，，…，我们称使等式成立的一对有理数x，y为“对等数对”，记为，例如数对，，都是“对等数对”．请解答下列问题： (1)数对是“对等数对”吗?并说明理由； (2)若是“对等数对”，且，求的值； (3)若是“对等数对”，求的值． 【答案】(1)数对不是“对等数对” (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、两个有理数的乘法运算、整式的加减中的化简求值、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据“对等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“对等数对”的定义得，从而可得到结论； （3）根据“对等数对”的定义列等式，得出，代入代数式即可得到结论． 【详解】（1）解：数对不是“对等数对”． 理由：因为，，而， 所以不是“对等数对”． （2）解：因为是“对等数对”，所以． 又因为，所以， 所以， 所以的值为． （3）解：因为是“对等数对”， 所以， 化简，得， 所以． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，求代数式的值，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则的应用与同类项的判断，注意合并后各项系数和为结果的系数，而字母与字母指数不变是解题关键．根据同类项的合并法则把系数相加即可求出答案． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式加减法，先把看成整体计算，再去括号即可． 【详解】解： 故选：A 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知和是同类项，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，求出的值，代入代数式进行求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是代数式求值，掌握添括号法则和整体代入思想是解题的关键． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，边长为和2的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．根据阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积，列出代数式并化简计算，即得答案． 【详解】阴影部分的面积的面积梯形的面积的面积 ． 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置于长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），则图1与图2长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分（阴影部分）周长的差为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的加减，利用平移求出阴影部分的周长，再列式计算解答． 【详解】解：设图1中未被这两张正方形纸片覆盖的部分的周长为，图2中未被这两张正方形纸片覆盖的部分的周长为， 由题意知：，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， 故． 故选：A． 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）一艘江轮在静水中的速度为，逆流速度为，则顺流速度为（顺流航行的速度=静水中速度+水流速度；逆流航行的速度=静水中速度水流速度）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减运算的运用，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 先根据题意列出代数式求出水流速度，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】解：由题意可得：水流速度为：， 所以顺流速度为：． 故选A． 二、填空题 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）一根铁丝的长为，剪下一部分围成一个长为，宽为的长方形，则这根铁丝还剩下 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，先表示出剪下的长方形的周长，再用铁丝的总长度减去长方形的周长即可得解． 【详解】解：由题意可得：剪下的长方形的周长为， ∴根铁丝还剩下， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：81． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）a、b在数轴上的对应点如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，减法运算的含义，合并同类项，根据数轴的知识点以及绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：由数轴可知， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 【答案】 7 【分析】本题考查新定义的数、列代数式、整式的四则混合运算的应用等知识点，理解“迥异数”的定义成为解题的关键． （1）根据题意直接将数值代入即可； （2）根据题意写出“迥异数”是含有m、n的式子，然后再根据题意列代数式化简即可． 【详解】解：（1）． 故答案为∶7． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则， 所以． 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，原式去括号，合并同类项即可得到结果． 【详解】解： 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；先去括号及合并同类项对整式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 把，代入得：原式． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知：，． (1)计算：； (2)若，满足，求（）中代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （）先由，求出，，然后代入即可求解； 本题考查了整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴ ． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据条件求出多项式，然后将和代入中即可求出答案． （2）将和代入中，合并同类项为，再根据的结果不含和项，即可得到，，求解即可得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键掌握整式的运算法则以及整体代入法求值． （1）根据合并同类项的法则进行求解即可； （2）把看作一个整体，再对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可； （3）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 17．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，下面是由两个大小相等的长方形窗框构成，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，窗户半圆部分和两个长方形部分都安装透明玻璃（本题中取，长度单位为米）． (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的代数式表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米（铝合金窗框宽度忽略不计）？（用含，的代数式表示） (3)某公司需要购进扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如下报价：甲厂商报价为铝合金每米元，透明玻璃不超过平方米的部分每平方米元，超过平方米的部分每平方米元；乙厂商报价为铝合金每米元，透明玻璃每平方米元．每购买米铝合金送平方米的透明玻璃、当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)； (2)； (3)该公司在乙厂购买窗户合算 【分析】（）根据图及题意列出代数式即可； （）根据题意列出代数式即可； （）先把，时，代入求值，然后分别算出甲、乙厂的报价，最后比较即可； 本题考查了列代数式，整式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由图及题意，得 ； （2）解： ； （3）解：当，时， ，， ∴个窗户的周长为，面积为， 由甲厂：（元）， 乙厂：（元）， ∵， ∴该公司在乙厂购买窗户合算． 18．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为． (1)若是“相伴数对”，求的值； (2)写出一个“相伴数对”，其中，且； (3)若是“相伴数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算、“相伴数对”的定义，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据“相伴数对”的定义代入计算； （2）根据“相伴数对”的定义写出一个“相伴数对”； （3）根据“相伴数对”的定义得到m、n 的关系，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵是“相伴数对”， ∴， 解得； （2）（答案不唯一）； 满足 （3）由是“相伴数对”可得，即， 即， 则原式． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 【答案】(1)3 (2)①；②的值为 【分析】（1）先求出，再根折叠后点与点重合求出折叠点为2，再根据与点重合的点到折叠点的距离等于点到折叠点的距离进行求解即可； （2）①分别表示出运动秒后点，点，点表示的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据数轴上两点距离计算公式和整式的加减计算法则求出或，由的值是一个定值，得到的结果与无关，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，， ∴， 则， ， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动秒后点，点，点分别表示的数为， ∵点在点右侧， ， 故答案为：； ②∵， 当时， ， 的值是个定值， 的结果与t无关， ， ． 当时， ∵的值是一个定值， ∴的结果与无关， ， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，数轴上两点的距离计算，最小的正整数，数轴上的动点问题等知识点，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$