精品解析： 河南省信阳市光山县2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年河南省信阳市光山县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个选项中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用普查是（ ） A. 了解全省初中生视力情况 B. 了解某品牌新能源汽车的抗撞击能力 C. 了解“北斗”导航系统在国内的使用情况 D. 了解“神舟十九号”载人飞船零部件的质量情况 3. 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA=36°则∠DOB的大小为（ ） A. 36° B. 54° C. 64° D. 72° 4. 某学校准备为七年级学生开设共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100 下列说法不正确的是（ ） A. 这次被调查的学生人数为400人 B. 对应扇形的圆心角为 C. 喜欢选修课人数为72人 D. 喜欢选修课的人数最少 5. 不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式组的解集是x＜2，则m的取值范围是（ ） A. m=2 B. m≥2 C. m＜2 D. m＞2 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数，在数轴上的对应点可能是点_____． 12. 若实数x，y满足，则的立方根为__________． 13. 如图，，平分，且．若，且，则的度数为_______°． 14. 若方程组的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是_______． 15. 如图，，A，B分别为直线上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间t(t＞0)为_________秒时，射线与射线互相平行． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. x取哪些整数时，不等式与都成立？ 四、解答题：本题共7小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：”“B组：”“C组：”“D组：”“E组：”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ___________，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 ___________度； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为 （3）点为轴上一动点，当三角形面积是4时，直接写出点的坐标． 20. 如图，点在线段上，点、在线段上，于点H，于点K，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 21. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常加法和乘法运算．已知，，那么________． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B 两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本) 销售时段 销售数量 销售收入 A型 B型 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台? （3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标? 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省信阳市光山县七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个选项中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，进行判断即可． 【详解】解：中，是无理数的是； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解全省初中生的视力情况 B. 了解某品牌新能源汽车的抗撞击能力 C. 了解“北斗”导航系统在国内的使用情况 D. 了解“神舟十九号”载人飞船零部件的质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此判断即可． 【详解】解：A．了解全省初中生的视力情况，最适合采用抽样调查，不符合题意； B．了解某品牌新能源汽车的抗撞击能力，最适合采用抽样调查，不符合题意； C．了解“北斗”导航系统在国内的使用情况，最适合采用抽样调查，不符合题意； D．了解“神舟十九号”载人飞船零部件的质量情况，最适合采用普查，符合题意； 故选：D． 3. 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA=36°则∠DOB的大小为（ ） A. 36° B. 54° C. 64° D. 72° 【答案】B 【解析】 【详解】∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，又∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∴∠DOB=180°-36°-90°=54°．故选B． 4. 某学校准备为七年级学生开设共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100 下列说法不正确的是（ ） A. 这次被调查的学生人数为400人 B. 对应扇形的圆心角为 C. 喜欢选修课的人数为72人 D. 喜欢选修课的人数最少 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格和扇形图，通过计算，对每个选项分别进行判断，即可得到答案. 【详解】解：这次被调查的学生人数为：60÷15%=400（人），故A正确； ∵D所占的百分比为：，A所占的百分比为：， ∴E对应的圆心角为：；故B错误； ∵喜欢选修课的人数为：（人），故C正确； ∵喜欢选修课C有：（人），喜欢选修课E有：（人）， ∴喜欢选修课的人数为40人，是人数最少的选修课；故D正确； 故选：B. 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 5. 不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1，再在数轴上表示出其解集可得． 【详解】解：去括号，得：-3x+6≤0， 移项，得：-3x≤-6， 系数化为1，得：x≥2， 在数轴上表示解集为： 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 6. 若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 又∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为． 故选：B． 7. 若不等式组的解集是x＜2，则m的取值范围是（ ） A. m=2 B. m≥2 C. m＜2 D. m＞2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出关于m的不等式，即可得出选项． 【详解】∵不等式的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式． 8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，由题意可得的坐标为（n为奇数），据此即可求解． 【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，，，，，……， ∴的坐标为（n为奇数）， ∵， ∴点的坐标为即， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 实数，在数轴上的对应点可能是点_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．根据无理数的估算可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则实数，在数轴上对应点可能是点， 故答案为：． 12. 若实数x，y满足，则的立方根为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的非负性，求立方根，正确把握相关定义是解题的关键． 利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵， ，， ，， ∴，64的立方根是4， 故答案为：4． 13. 如图，，平分，且．若，且，则度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和平行线的性质求出，然后可得，，再根据平行线的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 14. 若方程组的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是_______． 【答案】＜k＜1 【解析】 【分析】本题有两种方法：（1）解方程组求出x、y的值，代入0＜y﹣x＜1进行计算；（2）①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，将y﹣x看做一个整体来计算． 【详解】①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，于是：0＜2k﹣1＜1， 解得＜k＜1． 故答案为＜k＜1 【点睛】采用整体思想，虽然在认识上有一定难度，但计算量较小，建议同学们提高认识，以提高解题的效率． 15. 如图，，A，B分别为直线上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间t(t＞0)为_________秒时，射线与射线互相平行． 【答案】36或108 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差、旋转的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用分类思想进行求解是解题的关键． 设射线从开始绕点A按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况讨论，分别依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间即可． 【详解】解：设射线从开始绕点A按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． ①如图，当时，，， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得：； ②当时，，， ∴， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得：，此时，即（不符合题意）； ③如图，当时，，，， ∵，， ， ， ，， 当时，， ∴，解得（舍去）此时，即（不符合题意）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或108． 故答案为：36或108． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. x取哪些整数时，不等式与都成立？ 【答案】整数值是－2，－1，0，1，2，3 【解析】 【分析】联立不等式与得到不等式组，求出不等式组的解集，最后得出整数解即可． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴要使不等式与都成立，则， ∴x可取整数值是-2，-1，0，1，2，3． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的整数解，准确解出不等式组的解集，是解题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）  【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算和解二元一次方程组． （1）根据乘方的意义、绝对值的性质、立方根的定义和二次根式的性质进行计算即可； （2）先把方程组化成一般形式，然后利用加减消元法求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程组化简为：， ①②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 方程组的解为：． 18. 为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A组：”“B组：”“C组：”“D组：”“E组：”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ___________，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 ___________度； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）40，见解析 （2）72 （3）1520人 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 解：这次调查的样本容量是：， D组的人数为：， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100． 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，B组的圆心角是：． 故答案为：72． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1520人． 【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为 （3）点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）7 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据三角形面积公式，坐标特征，计算面积即可． （3）设，根据的面积为4，坐标特征，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，． 三角形中任意一点，平移后对应点为即向上平移2个单位，向左平移1个单后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故的面积为：． 【小问3详解】 解：设， ∵的面积为4，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故点的坐标为或． 20. 如图，点在线段上，点、在线段上，于点H，于点K，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，，易证，得到，由，等量代换推出，依据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）（2）由得，可得，根据角平分线的定义得，再由，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 21. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11 【解析】 【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解； （3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值． 【详解】（1） ①-②，得x-y=-1 ①+②，得3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则 ①×2，得40x+6y+4z=64③ ③-②，得x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 （3）∵ ∴①，②， ∴②-①，得③ ∴④ ①+②，得⑤ ⑤-④，得 ∴ 故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 22. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B 两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本) 销售时段 销售数量 销售收入 A型 B型 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台? （3）在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标? 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）A 种型号的电风扇最多能采购37台 （3）能；相应方案有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用；熟练掌握二元一次方程组以及一元一次不等式的知识是本题的解题关键． （1）根据题意列出二元一次方程组解答即可． （2）根据“不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台” 列出一元一次不等式解答即可． （3）根据题意列出一元一次不等式解出，又因为应为整数所以，或，即可解答． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得： ， 解得：， 即A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台，依题意得： ， 解得：， 即超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． 【小问3详解】 依题意得： ， 解得：， 因为， 所以， 又因为应为整数所以，或． 所以在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标，相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）； （2）与间的数量关系为，理由见解答； （3）射线与直线所夹锐角的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及平行线的拉皮筋模型中构造辅助线的方法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，从而可得； （2）过点B作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，，由已知，故，从而有； （3）根据点A始终在直线的上方可知，分两种情况：①边在直线上方时，，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为，②边再直线的下方，此时，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 与间的数量关系为，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 即； 【小问3详解】 由题意可知，分两种情况： ①当边在直线上方时，如图3，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， ②当边再直线的下方时，如图4，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， 综上所述，射线与直线所夹锐角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $