精品解析： 广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市花都区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 某班9名学生的身高（单位：）分别为：162，179，161，162，167，162，166，161，179，这组数据的众数是（    ） A. 161 B. 162 C. 167 D. 179 3. 下列运算结果等于的是（    ） A. B. C. D. 4. 将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（    ） A. B. C. D. 5. 已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（    ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 6. 正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，已知矩形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（    ） A ， B. C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（    ） A. 3 B. C. 5 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算结果是______． 12. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 13. 如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 14. 如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则：______． 15. 与最简二次根式同类二次根式，则______． 16. 某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号） 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：. 18. 如图，是对角线，，，垂足分别为、，求证：． 19. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表： 记录时间 0 1 2 3 … 水位高度 2 … （1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式； （2）当水位高度y为时，求此时的时间． 20. 正佳广场作为广州市的核心文商旅综合体地标，节假日日均客流量逾40万人次．如图为该商场某一段扶梯的示意图，已知扶梯的高度米，水平宽度米．扶梯运行速度为米/秒．若顾客站立于自动扶梯上（不主动行走），从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要多长时间？ 21. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录． 成绩/分 体能 技能 心理素质 甲 85 80 93 乙 78 94 82 （1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）； （2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，的占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明． （3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由． 22. 如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点 （1）求证：四边形矩形． （2）连接，若，，求四边形的面积． 23. 综合与实践 背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆． 素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加 问题解决 任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______； 任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆； 任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 24. 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方） （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长． 25. 在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合） （1）连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______． （2）若； ①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明． ②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市花都区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子一定是二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负,逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断其是否恒为非负数． 【详解】A、，被开方数为，显然为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式； B、，被开方数为，恒为正数，因此一定是二次根式； C、，被开方数为，当时有意义，但可能为负数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； D、，被开方数为，需满足即，但可能为正数（如），此时无意义，故不一定是二次根式； 故选：B． 2. 某班9名学生的身高（单位：）分别为：162，179，161，162，167，162，166，161，179，这组数据的众数是（    ） A. 161 B. 162 C. 167 D. 179 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，解题的关键是熟练掌握众数的定义． 根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可． 【详解】解：将数据按出现次数统计： 161出现2次， 162出现3次， 166出现1次， 167出现1次， 179出现2次， 其中162出现次数最多（3次），因此众数为162， 故选：B． 3. 下列运算结果等于的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算．解题关键在于熟练掌握合并同类二次根式，运用二次根式性质化简，二次根式的除法运算． 根据合并同类二次根式，二次根式性质，二次根式的除法，逐一计算各选项的结果，判断是否等于． 【详解】解：A：，结果不等于． B：，结果不等于． C：，结果为2，不等于． D：，结果等于． 故选：D． 4. 将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 直线平移时，沿y轴方向平移只需调整常数项，向上平移3个单位即在原解析式后加3． 【详解】解：原直线为，向上平移3个单位长度后，所有点的纵坐标增加3； 因此，平移后的解析式为， 故选：A． 5. 已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（    ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，二次根式的混合运算，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，，，最大边为5，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； B、，设三边为，最大边为，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； C、，，，最大边为，验证，满足勾股定理，能判断为直角三角形，不符合题意； D、，，，最大边为7，验证，不满足勾股定理，不能判断为直角三角形，符合题意， 故选：D． 6. 正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交． 7. 小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了剪纸问题，正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质展开空间想象． 利用正方形的性质和轴对称的性质可得结论． 【详解】解：展开正方形纸片得到： 故选：A． 8. 如图，已知矩形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据矩形的性质，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以得到的长． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（    ） A. ， B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，及一次函数图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质得到，则可对A、B选项进行判断；利用直线交点的横纵坐标满足其解析式可对C选项进行判断；结合函数图象，当时，直线在直线的上方，即，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限， ，所以A、B选项都不符合题意； 直线与交点的横坐标为2， 时，，所以C选项符合题意； 当时，，所以D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（    ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，确定点H的运动轨迹是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，可得，点H的横坐标为，则点H在直线移动，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于H， 四边形是平行四边形， ， ， 、C分别为位于主干道和上， 点H的横坐标为， 点H在直线移动， 的最小值为， 的最小值为5， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 12. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解． 【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小； ∴乙地的日平均气温的方差小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键． 13. 如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 14. 如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的判定和性质，连接顶点和对边中点的线段是三角形的中线，中线把三角形面积分成相等的两个部分；由中线可得与面积相等，与面积相等，即的面积是面积的． 【详解】解：、分别是的边、的中点， 是的中线，是的中线， ，， ． 故答案为： ． 15. 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 【详解】解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 16. 某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是_____（填入正确的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． ①观察图象即可；②根据速度路程时间和时间路程速度计算即可；③分别求出当时大巴士y与x的函数关系式和当时y与x的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可；④根据速度路程时间计算即可． 【详解】解：大巴士遇到交通管制时已经行驶了， ①正确，符合题意； 大巴士行驶速度为， ， ， ②不正确，不符合题意； 当时，大巴士y与x的函数关系式为， 当时，小巴士行驶速度为，则y与x的函数关系式为， 当两辆巴士相遇时，得， 解得， 时，两辆巴士相遇， ③正确，符合题意； 由②可知，小巴士返回的速度为， ④正确，符合题意． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减运算法则，准确计算． 18. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌． 19. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表： 记录时间 0 1 2 3 … 水位高度 2 … （1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式； （2）当水位高度y为时，求此时的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设一次函数的解析式为，把分别代入解析式解答即可； （2）根据解析式，令，求x值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 把分别代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得时，， 解得， 此时时间为． 20. 正佳广场作为广州市的核心文商旅综合体地标，节假日日均客流量逾40万人次．如图为该商场某一段扶梯的示意图，已知扶梯的高度米，水平宽度米．扶梯运行速度为米/秒．若顾客站立于自动扶梯上（不主动行走），从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要多长时间？ 【答案】16秒 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理，可求出的长，设需要x秒，利用路程速度时间，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，米，米， （米）． 设需要x秒， 根据题意得：， 解得：． 答：若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒． 21. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录． 成绩/分 体能 技能 心理素质 甲 85 80 93 乙 78 94 82 （1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）； （2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明． （3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由． 【答案】（1）甲 （2）乙的成绩更好，见解析 （3）甲、乙选手能入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、加权平均数，能够读懂统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 分别求出甲和乙的成绩，即可得出答案． 结合加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，即可得出结论． 由统计图可知，80到100分的人数有（人），可知甲和乙都排在前19名，进而可知甲、乙选手能入选． 【小问1详解】 解：由题意得，甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， 甲的成绩更好． 故答案为：甲． 【小问2详解】 解：由题意得，甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， 乙的成绩更好． 【小问3详解】 解：甲、乙选手能入选． 理由：由统计图可知，80到100分的人数有（人）， 甲的成绩为分，乙的成绩为分， 甲和乙都排在前19名， 优选拔20名滑雪竞技队员， 甲、乙选手能入选． 22. 如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点 （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 23. 综合与实践 背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆． 素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加 问题解决 任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______； 任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆； 任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 【答案】（1）（2）20（3）甲种纸箱30个、乙种纸箱40个，170元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据变量的变化规律写出h与n的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据变量的变化规律解答即可； （2）根据题意列关于n的一元一次不等式并求其解集即可； （3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设包装费用为y元，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可． 【详解】解：（1）， 与n的表达式为 故答案为： （2）根据题意，得， 解得， 每个甲种纸箱最多能装下20个塑料花盆． （3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个． 根据题意，得， 解得， 设包装费用y元，则， ， 随x的增大而增大， ， 当时y值最小，y最小， 个 答：选用甲种纸箱30个、乙种纸箱40个使得支出的包装费用最少，最少是170元． 24. 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方） （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长． 【答案】（1）， （2），点Q在直线上 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点求解即可； 过点Q作垂直于直线交于点G，证明，可求，再判定点Q在直线上； 由题可知M是的中点，设，则， ，求出直线的解析式为，M点在上，即可求m的值，从而确定点M的坐标，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得， ， 当时，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点Q是否在直线上，理由如下： 过点Q作垂直于直线交于点G， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 当时，， 点Q在直线上； 【小问3详解】 解：， ， ， 是的中点， 设，则， ， 根据题意， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得， ， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 25. 在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合） （1）连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______． （2）若； ①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明． ②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）①是等边三角形，见解析；② 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，分两种情形计算； （2）①连接AC，可证得≌，从而，进而得出，从而是等边三角形； ②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， 当时， 四边形是菱形，， ， ， ， 当点G在处时， ， ， ， 故答案为：或； 【小问2详解】 ①是等边三角形，理由如下： 连接，如图2， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理可得，是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图， 以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q， 设， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）， ， 当时，， 最小， 当或4时，， 最大， 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是建立坐标系，表示两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $