内容正文:
7 数上 练拔尖
拔尖 10 线段和角中的动态问题
类型一,线段中的动态问题
题型 1 与线段中点有关的动点问题
1.如图①,已知线段�� = 12,点�为线段�� 上的一点,点�,�分别是��和�� 的中点.
(1)若�� = 4,则�� 的长为___.
(2)若�� = �,则�� 的长为___.
(3)如图②,动点�,�分别从�,� 两点同时出发,相向而行,点�以每秒 3 个单位长度的
速度沿线段�� 向右匀速运动,点�以每秒 6 个单位长度的速度沿线段�� 向左匀速运动,设
运动时间为� s,问当�为多少时,�,� 之间的距离为 6?
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7 数上 练拔尖
题型 2 线段和差倍分关系中的动线段问题
2.如图,�是线段�� 上一点,�� = 24 cm,�,�两点分别从�,�出发以 1 cm/s,2 cm/s 的
速度沿直线��向左运动(�在线段��上,�在线段�� 上),设运动时间为� s .
(1)当� = 2 时,�� = 2��,则�� 的长为______;
(2)若�,�运动到任一时刻时,总有�� = 2�� ,请求出�� 的长;
(3)在(2)的条件下,�是直线�� 上一点,且 2�� − �� = 2��,求�� 的长.
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7 数上 练拔尖
题型 3 线段运动中的存在性探究问题
3.【背景知识】数轴是重要的数学学习工具,利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论:数轴
上点�,� 表示的数分别为�,�,则�,�两点之间的距离�� = |� − �|;线段�� 的中点表示
的数为�+�
2
.
【知识运用】(1)点�,�表示的数分别为�,�,若�与− 1
5
互为倒数,� 与−7 互为相反数,则
�,�两点之间的距离为____,线段�� 的中点表示的数为___.
【拓展迁移】(2)在(1)的条件下,动点�从点� 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向
左运动,同时动点�从点� 出发以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左运动,点�是线段��
的中点,设运动时间为� s .
①点�表示的数是_______.(用含� 的代数式表示)
②在运动过程中,若点�,�,� 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点,求� 的值.
③线段��,��的长度随运动时间的变化而变化,当点� 在点�左侧时,是否存在常数�,使
得��� + �� 为定值?若存在,求出常数� 及该定值;若不存在,请说明理由.
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7 数上 练拔尖
类型二,角中的动态问题
题型 1 求角度问题
4.小七同学最近在研究平面中的角,他发现各角通过运动会产生很多新的结论,于是他用几
何画板制作了一道关于角的动态问题,如图,平面上顺时针排列射线��,��, ��,��,∠��� =
90∘ ,∠���在∠��� 外部且为钝角,∠���: ∠��� = 7: 8 ,射线��,��分别平分∠���,∠���
(题目中所出现的角均大于0∘ 且小于180∘ ).请用学过的知识帮他求解以下问题.
(1)若∠��� = 120∘ ,则∠��� =____,∠��� = ______.
(2)7∠��� − ∠���的值是否随着∠��� 的变化而变化?若不变,直接写出该定值;若改变,
请说明理由.
(3)在(1)的条件下,将∠���绕点� 以每秒2∘ 的速度顺时针旋转得到∠�1��1(��,��的
对应边分别是��1 ,��1),若旋转时间为�秒(0 < � < 180) ,当∠�1�� + 6∘ = ∠�1��时,求出
� 的值.
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题型 2 定值问题
5.如图,∠��� = 90∘ ,∠��� = 40∘ ,角的顶点�互相重合,将∠���绕点� 旋转.
(1)当射线��,��重合时,∠��� =____ ∘ .
(2)在∠���绕点�旋转的过程中,若射线��,��与�� 中的某一条射线是另两条射线所夹
角的平分线,则∠��� 的度数为________________.
(3)在∠���绕点�旋转的过程中,若射线��始终在∠��� 的内部.
①善于思考的小明发现,在旋转过程中,∠��� − ∠��� 的值为定值,请你求出这个定值.
②作∠���和∠���的平分线��,��,在旋转过程中∠��� 的度数是否发生变化?若不变,
请求出这个度数,若变化,请求出变化的范围.
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7 数上 练拔尖
题型 3 存在性探究问题
6.如图①,点�,�,�依次在直线��上,现将射线��绕点� 沿顺时针方向以每秒4∘ 的速度
旋转,同时射线��绕点� 沿逆时针方向以每秒6∘ 的速度旋转,直线�� 保持不动,如图②,
设旋转时间为� s(� 的值在 0 到 30 之间).
(1)当� = 3 时,求∠��� 的度数.
(2)在旋转过程中,当∠���第二次达到60∘ 时,求� 的值.
(3)在旋转过程中是否存在这样的�,使得射线�� 与射线��的夹角为90∘ ?如果存在,请直
接写出� 的值;如果不存在,请说明理由.
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拔尖 10 线段和角中的动态问题
类型一,线段中的动态问题
题型 1 与线段中点有关的动点问题
1.如图①,已知线段�� = 12,点�为线段�� 上的一点,点�,�分别是��和�� 的中点.
(1)若�� = 4,则�� 的长为___.
答案:6
(2)若�� = �,则�� 的长为___.
答案:6
解析:因为�� = 12,�� = �,所以�� = 12 −� .因为点�,�分别是��和��的中点,所以�� =
1
2
�� = 6 − 1
2
� ,�� = 1
2
�� = �
2
.所以�� = �� + �� = 6.
(3)如图②,动点�,�分别从�,� 两点同时出发,相向而行,点�以每秒 3 个单位长度的
速度沿线段�� 向右匀速运动,点�以每秒 6 个单位长度的速度沿线段�� 向左匀速运动,设
运动时间为� s,问当�为多少时,�,� 之间的距离为 6?
解:由题意得�� = 3�,�� = 6�,�� = 6 , �� + �� + �� = 12 或�� + �� − �� = 12 ,所
以 3� + 6 + 6� = 12 或 3� + 6� − 6 = 12,解得� = 2
3
或� = 2 ,故当� = 2
3
或� = 2 时,�,� 之
间的距离为 6.
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7 数上 练拔尖
题型 2 线段和差倍分关系中的动线段问题
2.如图,�是线段�� 上一点,�� = 24 cm,�,�两点分别从�,�出发以 1 cm/s,2 cm/s 的
速度沿直线��向左运动(�在线段��上,�在线段�� 上),设运动时间为� s .
(1)当� = 2 时,�� = 2��,则�� 的长为______;
答案:8 cm
解析:当� = 2 时,根据�,� 的运动速度知:�� = 2� cm = 4 cm,�� = � cm = 2 cm,则�� =
2�� .因为�� = 2��,所以�� + �� = 2(�� + ��),即�� = 2�� .因为�� = 24 cm,�� =
�� + ��,所以�� = 8 cm .
(2)若�,�运动到任一时刻时,总有�� = 2�� ,请求出�� 的长;
解:由题意得�� = 2� cm,�� = � cm,所以�� = 2�� .
因为�� = 2��,所以�� + �� = 2(�� + ��),即�� = 2�� .
因为�� = 24 cm,�� = �� + ��,所以�� = 8 cm .
(3)在(2)的条件下,�是直线�� 上一点,且 2�� − �� = 2��,求�� 的长.
因为�� = 24 cm,�� = 8 cm,所以�� = 16 cm.�是直线�� 上一点,分四种情况:
①当点�在线段�� 上时,如图①.
因为 2�� − �� = 2��,�� = �� − �� = 16 − �� ,�� = 8 + ��,
所以 2(16 − ��) − (8 + ��) = 2�� ,所以�� = 24
5
cm ;
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②当点�在线段�� 上时,如图②.
因为 2�� − �� = 2�� ,
所以易得 2(16 + ��) − (8 − ��) = 2��,解得�� =− 24 cm (舍去);
③当点�在�� 的延长线上时,如图③.
因为 2�� − �� = 2�� ,
所以易得 2(16 + ��) − (�� − 8) = 2��,所以�� = 40 cm ;
④当点�在�� 的延长线上时,如图④.
因为 2�� − �� = 2�� ,所以易得 2(�� − 16) − (8 + ��) = 2��,
解得�� =− 40 cm (舍去).
综上所述,��的长为24
5
cm 或 40 cm .
题型 3 线段运动中的存在性探究问题
3.【背景知识】数轴是重要的数学学习工具,利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论:数轴
上点�,� 表示的数分别为�,�,则�,�两点之间的距离�� = |� − �|;线段�� 的中点表示
的数为�+�
2
.
【知识运用】
(1)点�,�表示的数分别为�,�,若�与− 1
5
互为倒数,� 与−7 互为相反数,则�,�两点之
间的距离为____,线段�� 的中点表示的数为___.
答案:12 , 1
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【拓展迁移】
(2)在(1)的条件下,动点�从点� 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动,同时
动点�从点� 出发以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左运动,点�是线段�� 的中点,设运
动时间为� s .
答案:1 − 4�
①点�表示的数是_______.(用含� 的代数式表示)
②在运动过程中,若点�,�,� 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点,求� 的值.
解:当点�为线段�� 的中点时,有 2( − 5 − 3�) = 7 − 5� − 5,
解得� =− 12 ,不合题意,舍去;
当点�为线段��的中点时,有 2 × ( − 5) =− 5 − 3� + 7 − 5� ,
解得� = 1.5;当点�为线段�� 的中点时,有 2 × (7 − 5�) =− 5 − 3� − 5,
解得� = 24
7
.综上,� 的值为 1.5 或24
7
.
③线段��,��的长度随运动时间的变化而变化,当点� 在点�左侧时,是否存在常数�,使
得��� + �� 为定值?若存在,求出常数� 及该定值;若不存在,请说明理由.
存在.当点�在点� 左侧时,�� =− 5 − 3� − (7 − 5�) = 2� − 12 ,
�� =− 5 − (1 − 4�) = 4� − 6 ,
所以��� + �� = �(2� − 12) + 4� − 6 = (2� + 4)� − 12� − 6.
根据题意得 2� + 4 = 0,解得� =− 2 .此时定值为−12 × ( − 2) − 6 = 18 .
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类型二,角中的动态问题
题型 1 求角度问题
4.小七同学最近在研究平面中的角,他发现各角通过运动会产生很多新的结论,于是他用几
何画板制作了一道关于角的动态问题,如图,平面上顺时针排列射线��,��, ��,��,∠��� =
90∘ ,∠���在∠��� 外部且为钝角,∠���: ∠��� = 7: 8 ,射线��,��分别平分∠���,∠���
(题目中所出现的角均大于0∘ 且小于180∘ ).请用学过的知识帮他求解以下问题.
(1)若∠��� = 120∘ ,则∠��� =____,∠��� = ______.
答案:80∘ ,140∘
(2)7∠��� − ∠���的值是否随着∠��� 的变化而变化?若不变,直接写出该定值;若改变,
请说明理由.
解:不变.该定值为900∘ .
解析:设∠��� = � .因为∠��� = 90∘ ,所以∠��� + ∠��� = 270∘ − � .
因为∠���: ∠��� = 7: 8,所以∠��� = 7
15
(270∘ − �) , ∠��� = 8
15
(270∘ − �) ,
所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 7
15
(270∘ − �) + 90∘ = 3 240
∘−7�
15
.
因为射线��,��分别平分∠���,∠��� ,
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所以∠��� = 1
2
∠��� = 3 240
∘−7�
30
,∠��� = 1
2
∠��� = �
2
.
所以∠��� = ∠��� + ∠��� = �
2
+ 8
15
(270∘ − �) = 4 320
∘−�
30
.
所以 7∠��� − ∠��� = 7 × 4 320
∘−�
30
− 3 240
∘−7�
30
= 900∘ ,
即 7∠��� − ∠���的值不会随着∠��� 的变化而变化,定值为900∘ .
(3)在(1)的条件下,将∠���绕点� 以每秒2∘ 的速度顺时针旋转得到∠�1��1(��,��的
对应边分别是��1 ,��1),若旋转时间为�秒(0 < � < 180) ,当∠�1�� + 6∘ = ∠�1��时,求出
� 的值.
易得∠��� = 70∘ ,∠��� = 80∘ ,
所以∠��� = 90∘ + 70∘ = 160∘ ,∠��� = 80∘ + 90∘ = 170∘ .
当∠�1�� = 160∘ − 2∘�,∠�1�� = 170∘ − 2∘� 时,如图①.
因为∠�1�� + 6∘ = ∠�1�� ,所以160∘ − 2∘� + 6∘ = 170∘ − 2∘� ,无解;
当∠�1�� = 2∘� − 160∘ ,∠�1�� = 170∘ − 2∘� 时,如图②.
因为∠�1�� + 6∘ = ∠�1�� ,所以2∘� − 160∘ + 6∘ = 170∘ − 2∘�,
解得� = 81 ;当∠�1�� = 2∘� − 160∘ ,∠�1�� = 2∘� − 170∘ 时,
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如图③.
因为∠�1�� + 6∘ = ∠�1�� ,所以2∘� − 160∘ + 6∘ = 2∘� − 170∘ ,无解;
当∠�1�� = 360∘ − (2∘� − 160∘) = 520∘ − 2∘� ,∠�1�� = 2∘� − 170∘ 时,
如图④.
因为∠�1�� + 6∘ = ∠�1�� ,所以520∘ − 2∘� + 6∘ = 2∘� − 170∘ ,解得� = 174 ;
当∠�1�� = 360∘ − (2∘� − 160∘) = 520∘ − 2∘� ,
∠�1�� = 360∘ − (2∘� − 170∘) = 530∘ − 2∘� 时,如图⑤.
因为∠�1�� + 6∘ = ∠�1�� ,所以520∘ − 2∘� + 6∘ = 530∘ − 2∘�,无解.
综上所述,� 的值为 81 或 174.
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题型 2 定值问题
5.如图,∠��� = 90∘ ,∠��� = 40∘ ,角的顶点�互相重合,将∠���绕点� 旋转.
(1)当射线��,��重合时,∠��� =____ ∘ .
答案:50
(2)在∠���绕点�旋转的过程中,若射线��,��与�� 中的某一条射线是另两条射线所夹
角的平分线,则∠��� 的度数为________________.
答案:20∘ 或40∘ 或80∘
解析:如图①,当��是∠��� 的平分线时,∠��� = 1
2
∠��� = 20∘ ;如图②,当��是∠���
的平分线时,∠��� = ∠��� = 40∘ ;
如图③,当��是∠���的平分线时,∠��� = 2∠��� = 80∘ .
综上所述,∠���的度数为20∘ 或40∘ 或80∘ .
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7 数上 练拔尖
(3)在∠���绕点�旋转的过程中,若射线��始终在∠��� 的内部.
①善于思考的小明发现,在旋转过程中,∠��� − ∠��� 的值为定值,请你求出这个定值.
解:因为∠��� = 90∘ ,∠��� = 40∘ ,
所以∠��� = 90∘ − ∠���,∠��� = 40∘ − ∠��� .
所以∠��� − ∠��� = 90∘ − ∠��� − 40∘ + ∠��� = 50∘
②作∠���和∠���的平分线��,��,在旋转过程中∠��� 的度数是否发生变化?若不变,
请求出这个度数,若变化,请求出变化的范围.
解:∠��� 的度数不发生变化.如图④.
因为∠��� = 90∘ ,∠��� = 40∘ ,
所以∠��� = 90∘ − ∠���,∠��� = 40∘ − ∠��� .
因为��,��分别是∠���和∠��� 的平分线,
所以∠��� = 1
2
∠��� = 45∘ − 1
2
∠��� ,∠��� = 1
2
∠��� = 20∘ − 1
2
∠���.
所以∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� = 45∘ − 1
2
∠��� + ∠��� + 20∘ − 1
2
∠��� = 65∘ .
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题型 3 存在性探究问题
6.如图①,点�,�,�依次在直线��上,现将射线��绕点� 沿顺时针方向以每秒4∘ 的速度
旋转,同时射线��绕点� 沿逆时针方向以每秒6∘ 的速度旋转,直线�� 保持不动,如图②,
设旋转时间为� s(� 的值在 0 到 30 之间).
(1)当� = 3 时,求∠��� 的度数.
解:当� = 3 时,∠��� = (4�)∘ = 12∘ ,∠��� = (6�)∘ = 18∘ ,
所以∠��� = 180∘ − 12∘ − 18∘ = 150∘ .
(2)在旋转过程中,当∠���第二次达到60∘ 时,求� 的值.
解:当∠���第二次达到60∘ 时,有 4� + 6� = 180 + 60 ,解得� = 24 .
(3)在旋转过程中是否存在这样的�,使得射线�� 与射线��的夹角为90∘ ?如果存在,请直
接写出� 的值;如果不存在,请说明理由.
解:存在,� 的值是 9 或 27.
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