内容正文:
7 数上 练拔尖
拔尖 9 线段和角中的数学思想
类型 1,方程思想
当题目中有比例式或倍数关系时,大胆地引入方程,可以使等量关系更加清楚.
1.如图,点�把线段��分成两部分,且��: �� = 5: 4,点� 是��的中点,�� = 2,求�� 的
长.
2. (1)已知��,��分别是∠���和∠��� 的平分线.
①如图①,若∠��� = 100∘ ,∠��� = 50∘ ,则∠��� 的度数为 ____ ;
②如图②,��是∠���内部的一条射线,若∠��� = 20∘ ,∠��� = 25∘ ,求∠��� 的度数.
(2)如图③,∠��� = 2∠��� ,∠��� = 1
2
∠���,若∠��� = 70∘ ,求∠��� 的度数.
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7 数上 练拔尖
类型 2,整体思想
根据问题结构特点,把局部的量放在整体中去观察分析,从宏观上寻求解决问题的方法.
3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中,对“线段中点”问题进行探究,已知线段�� =
20 cm,点�是直线�� 上的一点,点�,�分别是线段��,�� 的中点.
(1)如图①,若点�是线段��上任意一点,求线段�� 的长度;
(2)如图②,若点�是线段��延长线上的一点,求线段�� 的长度.
4.�为直线��上一点,在直线��同侧作射线��,�� ,使得∠��� = 90∘ .
(1)如图①,过点�作射线�� ,当��恰好为∠��� 的平分线时,另作射线��,使得��平分
∠��� ,则∠��� + ∠���的度数是____ ∘ ;
(2)如图②,过点�作射线��,当��恰好为∠��� 的平分线时,判断∠���与∠��� 的数量
关系.
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类型 3,分类讨论思想
此类题目一定要仔细读题,找准分类的原因,做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”,直线上
的点往往有“左右”之分.
5.如图,�是线段��上一点,�� = 8 cm,�� = 6 cm,点� 从�出发,以 2 cm/s 的速度沿��
向右运动,终点为�.设点� 的运动时间为� s,则当�为何值时,能使得�,�,� 这三个点中,
有一个点恰为另外两点所连线段的中点?
6.如图,点�在直线�� 上,�� = 1
2
�� .
(1)若点�在线段��上,且�� = 9,求线段�� 的长;
(2)若�是线段��的中点,�� = 3,直接写出线段�� 的长.
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7.如图,已知∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���: ∠��� = 2: 3: 4,��是∠��� 的平分线,
过点�在∠���内部作射线�� ,将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 ,求∠��� 的度数.
8.综合与实践.【特例感知】(1)如图①,已知线段�� = 14 cm,点�为线段�� 上的一个动点,
点�,�分别是��和�� 的中点.若�� = 6 cm ,则线段�� =___cm ;
【知识迁移】(2)我们发现角的很多规律和线段一样,如图②,若∠��� = 120∘ ,��是∠���
内部的一条射线,射线�� 平分∠���,射线��平分∠���,求∠��� 的度数;
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【拓展探究】(3)已知∠���在∠��� 内部的位置如图③所示,∠��� = � � < 180∘ ,∠��� =
30∘ ,且∠��� = 2∠��� ,∠��� = 2∠���,求∠��� 的度数(用含� 的式子表示).
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拔尖 9 线段和角中的数学思想
类型 1,方程思想
当题目中有比例式或倍数关系时,大胆地引入方程,可以使等量关系更加清楚.
1.如图,点�把线段��分成两部分,且��: �� = 5: 4,点� 是��的中点,�� = 2,求�� 的
长.
解:因为��: �� = 5: 4,所以设�� = 5�,则�� = 4� .
所以�� = 9�.因为点�是��的中点,所以�� = 1
2
�� = 9
2
� .
所以�� = �� −�� = 5� − 9
2
� = 1
2
�.又因为�� = 2 ,所以1
2
� = 2,
解得� = 4.所以�� = 9 × 4 = 36 .
2. (1)已知��,��分别是∠���和∠��� 的平分线.
①如图①,若∠��� = 100∘ ,∠��� = 50∘ ,则∠��� 的度数为 ____ ;
答案:75∘
②如图②,��是∠���内部的一条射线,若∠��� = 20∘ ,∠��� = 25∘ ,求∠��� 的度数.
解:因为��是∠���的平分线,∠��� = 25∘ ,
所以∠��� = 2∠��� = 50∘ .又因为∠��� = 20∘ ,
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所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 20∘ + 50∘ = 70∘. 因为��是∠��� 的平分线,
所以∠��� = ∠��� = 70∘ .所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 70∘ + 20∘ = 90∘ .
(2)如图③,∠��� = 2∠��� ,∠��� = 1
2
∠���,若∠��� = 70∘ ,求∠��� 的度数.
解:设∠��� = �∘ .因为∠��� = 2∠��� ,所以∠��� = 2�∘ .又因为∠��� = 70∘ ,
所以∠��� = ∠��� − ∠��� = 2� − 70 ∘ .因为∠��� = 1
2
∠��� ,
所以∠��� = 2∠��� = 4� − 140 ∘ .因为∠��� = ∠��� − ∠��� ,
所以70∘ = 4� − 140 ∘ − �∘ ,解得� = 70 .所以∠��� = 2� − 70 ∘ = 70∘ .
类型 2,整体思想
根据问题结构特点,把局部的量放在整体中去观察分析,从宏观上寻求解决问题的方法.
3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中,对“线段中点”问题进行探究,已知线段�� =
20 cm,点�是直线�� 上的一点,点�,�分别是线段��,�� 的中点.
(1)如图①,若点�是线段��上任意一点,求线段�� 的长度;
解:因为点�,�分别是线段��,�� 的中点,所以�� = 1
2
��,�� = 1
2
��.又因为�� + �� = �� =
20 cm ,所以�� = �� + �� = 1
2
�� + �� = 1
2
× 20 = 10 cm .故线段�� 的长度为 10 cm .
(2)如图②,若点�是线段��延长线上的一点,求线段�� 的长度.
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解: 因为点�,�分别是线段��,��的中点,所以�� = 1
2
�� , �� = 1
2
��.又因为�� − �� =
�� = 20 cm ,所以�� = �� − �� = 1
2
�� − �� = 10 cm.故线段�� 的长度为 10 cm .
4.�为直线��上一点,在直线��同侧作射线��,�� ,使得∠��� = 90∘ .
(1)如图①,过点�作射线�� ,当��恰好为∠��� 的平分线时,另作射线��,使得��平分
∠��� ,则∠��� + ∠���的度数是____ ∘ ;
答案:45
点拨:因为∠��� = 90∘ ,所以∠��� + ∠��� = 90∘ .
因为�� 为∠���的平分线,��平分∠��� ,所以∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠��� .
所以∠��� + ∠��� = 1
2
(∠��� + ∠���) = 1
2
× 90∘ = 45∘ .
(2)如图②,过点�作射线��,当��恰好为∠��� 的平分线时,判断∠���与∠��� 的数量
关系.
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解:因为∠��� = ∠��� + ∠��� = 90∘ ,所以∠��� = 90∘ −∠��� .
因为��为∠��� 的平分线,所以∠��� = 2∠��� = 2 × 90∘ − ∠��� = 180∘ − 2∠��� .
因为∠��� + ∠��� = 180∘ ,
所以∠��� = 180∘ − ∠��� = 180∘ − 180∘ + 2∠��� = 2∠��� ,即∠��� = 2∠��� .
类型 3,分类讨论思想
此类题目一定要仔细读题,找准分类的原因,做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”,直线上
的点往往有“左右”之分.
5.如图,�是线段��上一点,�� = 8 cm,�� = 6 cm,点� 从�出发,以 2 cm/s 的速度沿��
向右运动,终点为�.设点� 的运动时间为� s,则当�为何值时,能使得�,�,� 这三个点中,
有一个点恰为另外两点所连线段的中点?
解:①当点�是��的中点时,�� = �� = 6 cm ,
所以�� = �� − �� = 8 − 6 = 2 cm .所以� = 2
2
= 1.
②当点� 是��的中点时,�� = 1
2
�� = 3 cm ,
所以�� = �� + �� = 8 + 3 = 11 cm .所以� = 11
2
.
综上所述,当� = 1 或11
2
时,能使得�,�,� 这三个点中,
有一个点恰为另外两点所连线段的中点.
6.如图,点�在直线�� 上,�� = 1
2
�� .
(1)若点�在线段��上,且�� = 9,求线段�� 的长;
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解:如图①.
因为�� = 1
2
��,所以�� = 2��.因为�� = 9 ,
所以�� + �� = 9.所以 2�� + �� = 9,解得�� = 3 .所以�� = 2 × 3 = 6 .
(2)若�是线段��的中点,�� = 3,直接写出线段�� 的长.
解: 线段�� 的长为 18 或 2.
点拨:当点�在线段�� 上时,如图②.
因为�� = 1
2
��,所以易得�� = 3�� .
因为�是线段�� 的中点,所以�� = 1
2
�� = 3
2
�� .
因为�� = 3,所以��− �� = 3,即3
2
�� − �� = 3 ,解得�� = 6 .
所以�� = 3 × 6 = 18 ;
当点�在点� 的右边时,如图③.
因为�� = 1
2
��,所以�� = �� .
因为�是线段�� 的中点,所以�� = 1
2
�� = 1
2
�� .
所以�� = �� + �� = 3
2
�� = 3,解得�� = 2 .
所以�� = �� = 2 .
综上,线段�� 的长为 18 或 2.
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7.如图,已知∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���: ∠��� = 2: 3: 4,��是∠��� 的平分线,
过点�在∠���内部作射线�� ,将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 ,求∠��� 的度数.
解:设∠��� = 2� .因为∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���:∠��� = 2: 3: 4 ,
所以∠��� = 3�,∠��� = 4� ,∠��� = 2� − 14∘ .
因为∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 360∘ ,
所以 2� − 14∘ + 2� + 3� + 4� = 360∘ ,解得� = 34∘ .
所以∠��� = 2� − 14∘ = 54∘ ,∠��� = 2� = 68∘ .
因为��是∠��� 的平分线,所以∠��� = 1
2
∠��� = 27∘ .
因为射线��将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 ,
所以当∠���: ∠��� = 1: 3 时,∠��� = 68∘ × 1
4
= 17∘ ,
此时∠��� = ∠��� + ∠��� = 27∘ + 17∘ = 44∘ .
当∠���: ∠��� = 3: 1 时,∠��� = 68∘ × 3
4
= 51∘ ,
此时∠��� = ∠��� + ∠��� = 27∘ + 51∘ = 78∘ .
综上,∠���的度数为44∘ 或78∘
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8.综合与实践.【特例感知】(1)如图①,已知线段�� = 14 cm,点�为线段�� 上的一个动点,
点�,�分别是��和�� 的中点.若�� = 6 cm ,则线段�� =___cm ;
答案:7
【知识迁移】(2)我们发现角的很多规律和线段一样,如图②,若∠��� = 120∘ ,��是∠���
内部的一条射线,射线�� 平分∠���,射线��平分∠���,求∠��� 的度数;
解:因为��是∠��� 内部的一条射线,射线��平分∠���,射线�� 平分∠���,
所以∠��� = 1
2
∠��� ,∠��� = 1
2
∠���.因为∠��� = 120∘ ,
所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 1
2
∠��� + ∠��� = 1
2
∠��� = 60∘
【拓展探究】(3)已知∠���在∠��� 内部的位置如图③所示,∠��� = � � < 180∘ ,∠��� =
30∘ ,且∠��� = 2∠��� ,∠��� = 2∠���,求∠��� 的度数(用含� 的式子表示).
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解: 因为∠��� = � ,∠��� = 30∘ ,所以∠��� + ∠��� = � − 30∘
因为∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠��� ,
所以∠��� + ∠��� = 2
3
∠��� + ∠��� = 2
3
� − 20∘ .
所以∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� = 2
3
� + 10∘ .
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