拔尖9 线段和角中的数学思想-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖(人教版2024)

2025-08-25
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7 数上 练拔尖 拔尖 9 线段和角中的数学思想 类型 1,方程思想 当题目中有比例式或倍数关系时,大胆地引入方程,可以使等量关系更加清楚. 1.如图,点�把线段��分成两部分,且��: �� = 5: 4,点� 是��的中点,�� = 2,求�� 的 长. 2. (1)已知��,��分别是∠���和∠��� 的平分线. ①如图①,若∠��� = 100∘ ,∠��� = 50∘ ,则∠��� 的度数为 ____ ; ②如图②,��是∠���内部的一条射线,若∠��� = 20∘ ,∠��� = 25∘ ,求∠��� 的度数. (2)如图③,∠��� = 2∠��� ,∠��� = 1 2 ∠���,若∠��� = 70∘ ,求∠��� 的度数. 31/41 7 数上 练拔尖 类型 2,整体思想 根据问题结构特点,把局部的量放在整体中去观察分析,从宏观上寻求解决问题的方法. 3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中,对“线段中点”问题进行探究,已知线段�� = 20 cm,点�是直线�� 上的一点,点�,�分别是线段��,�� 的中点. (1)如图①,若点�是线段��上任意一点,求线段�� 的长度; (2)如图②,若点�是线段��延长线上的一点,求线段�� 的长度. 4.�为直线��上一点,在直线��同侧作射线��,�� ,使得∠��� = 90∘ . (1)如图①,过点�作射线�� ,当��恰好为∠��� 的平分线时,另作射线��,使得��平分 ∠��� ,则∠��� + ∠���的度数是____​ ∘ ; (2)如图②,过点�作射线��,当��恰好为∠��� 的平分线时,判断∠���与∠��� 的数量 关系. 32/41 7 数上 练拔尖 类型 3,分类讨论思想 此类题目一定要仔细读题,找准分类的原因,做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”,直线上 的点往往有“左右”之分. 5.如图,�是线段��上一点,�� = 8 cm,�� = 6 cm,点� 从�出发,以 2 cm/s 的速度沿�� 向右运动,终点为�.设点� 的运动时间为� s,则当�为何值时,能使得�,�,� 这三个点中, 有一个点恰为另外两点所连线段的中点? 6.如图,点�在直线�� 上,�� = 1 2 �� . (1)若点�在线段��上,且�� = 9,求线段�� 的长; (2)若�是线段��的中点,�� = 3,直接写出线段�� 的长. 33/41 7 数上 练拔尖 7.如图,已知∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���: ∠��� = 2: 3: 4,��是∠��� 的平分线, 过点�在∠���内部作射线�� ,将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 ,求∠��� 的度数. 8.综合与实践.【特例感知】(1)如图①,已知线段�� = 14 cm,点�为线段�� 上的一个动点, 点�,�分别是��和�� 的中点.若�� = 6 cm ,则线段�� =___cm ; 【知识迁移】(2)我们发现角的很多规律和线段一样,如图②,若∠��� = 120∘ ,��是∠��� 内部的一条射线,射线�� 平分∠���,射线��平分∠���,求∠��� 的度数; 34/41 7 数上 练拔尖 【拓展探究】(3)已知∠���在∠��� 内部的位置如图③所示,∠��� = � � < 180∘ ,∠��� = 30∘ ,且∠��� = 2∠��� ,∠��� = 2∠���,求∠��� 的度数(用含� 的式子表示). 35/41 7 数上 练拔尖 拔尖 9 线段和角中的数学思想 类型 1,方程思想 当题目中有比例式或倍数关系时,大胆地引入方程,可以使等量关系更加清楚. 1.如图,点�把线段��分成两部分,且��: �� = 5: 4,点� 是��的中点,�� = 2,求�� 的 长. 解:因为��: �� = 5: 4,所以设�� = 5�,则�� = 4� . 所以�� = 9�.因为点�是��的中点,所以�� = 1 2 �� = 9 2 � . 所以�� = �� −�� = 5� − 9 2 � = 1 2 �.又因为�� = 2 ,所以1 2 � = 2, 解得� = 4.所以�� = 9 × 4 = 36 . 2. (1)已知��,��分别是∠���和∠��� 的平分线. ①如图①,若∠��� = 100∘ ,∠��� = 50∘ ,则∠��� 的度数为 ____ ; 答案:75∘ ②如图②,��是∠���内部的一条射线,若∠��� = 20∘ ,∠��� = 25∘ ,求∠��� 的度数. 解:因为��是∠���的平分线,∠��� = 25∘ , 所以∠��� = 2∠��� = 50∘ .又因为∠��� = 20∘ , 37/54 7 数上 练拔尖 所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 20∘ + 50∘ = 70∘. 因为��是∠��� 的平分线, 所以∠��� = ∠��� = 70∘ .所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 70∘ + 20∘ = 90∘ . (2)如图③,∠��� = 2∠��� ,∠��� = 1 2 ∠���,若∠��� = 70∘ ,求∠��� 的度数. 解:设∠��� = �∘ .因为∠��� = 2∠��� ,所以∠��� = 2�∘ .又因为∠��� = 70∘ , 所以∠��� = ∠��� − ∠��� = 2� − 70 ∘ .因为∠��� = 1 2 ∠��� , 所以∠��� = 2∠��� = 4� − 140 ∘ .因为∠��� = ∠��� − ∠��� , 所以70∘ = 4� − 140 ∘ − �∘ ,解得� = 70 .所以∠��� = 2� − 70 ∘ = 70∘ . 类型 2,整体思想 根据问题结构特点,把局部的量放在整体中去观察分析,从宏观上寻求解决问题的方法. 3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中,对“线段中点”问题进行探究,已知线段�� = 20 cm,点�是直线�� 上的一点,点�,�分别是线段��,�� 的中点. (1)如图①,若点�是线段��上任意一点,求线段�� 的长度; 解:因为点�,�分别是线段��,�� 的中点,所以�� = 1 2 ��,�� = 1 2 ��.又因为�� + �� = �� = 20 cm ,所以�� = �� + �� = 1 2 �� + �� = 1 2 × 20 = 10 cm .故线段�� 的长度为 10 cm . (2)如图②,若点�是线段��延长线上的一点,求线段�� 的长度. 38/54 7 数上 练拔尖 解: 因为点�,�分别是线段��,��的中点,所以�� = 1 2 �� , �� = 1 2 ��.又因为�� − �� = �� = 20 cm ,所以�� = �� − �� = 1 2 �� − �� = 10 cm.故线段�� 的长度为 10 cm . 4.�为直线��上一点,在直线��同侧作射线��,�� ,使得∠��� = 90∘ . (1)如图①,过点�作射线�� ,当��恰好为∠��� 的平分线时,另作射线��,使得��平分 ∠��� ,则∠��� + ∠���的度数是____​ ∘ ; 答案:45 点拨:因为∠��� = 90∘ ,所以∠��� + ∠��� = 90∘ . 因为�� 为∠���的平分线,��平分∠��� ,所以∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠��� . 所以∠��� + ∠��� = 1 2 (∠��� + ∠���) = 1 2 × 90∘ = 45∘ . (2)如图②,过点�作射线��,当��恰好为∠��� 的平分线时,判断∠���与∠��� 的数量 关系. 39/54 7 数上 练拔尖 解:因为∠��� = ∠��� + ∠��� = 90∘ ,所以∠��� = 90∘ −∠��� . 因为��为∠��� 的平分线,所以∠��� = 2∠��� = 2 × 90∘ − ∠��� = 180∘ − 2∠��� . 因为∠��� + ∠��� = 180∘ , 所以∠��� = 180∘ − ∠��� = 180∘ − 180∘ + 2∠��� = 2∠��� ,即∠��� = 2∠��� . 类型 3,分类讨论思想 此类题目一定要仔细读题,找准分类的原因,做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”,直线上 的点往往有“左右”之分. 5.如图,�是线段��上一点,�� = 8 cm,�� = 6 cm,点� 从�出发,以 2 cm/s 的速度沿�� 向右运动,终点为�.设点� 的运动时间为� s,则当�为何值时,能使得�,�,� 这三个点中, 有一个点恰为另外两点所连线段的中点? 解:①当点�是��的中点时,�� = �� = 6 cm , 所以�� = �� − �� = 8 − 6 = 2 cm .所以� = 2 2 = 1. ②当点� 是��的中点时,�� = 1 2 �� = 3 cm , 所以�� = �� + �� = 8 + 3 = 11 cm .所以� = 11 2 . 综上所述,当� = 1 或11 2 时,能使得�,�,� 这三个点中, 有一个点恰为另外两点所连线段的中点. 6.如图,点�在直线�� 上,�� = 1 2 �� . (1)若点�在线段��上,且�� = 9,求线段�� 的长; 40/54 7 数上 练拔尖 解:如图①. 因为�� = 1 2 ��,所以�� = 2��.因为�� = 9 , 所以�� + �� = 9.所以 2�� + �� = 9,解得�� = 3 .所以�� = 2 × 3 = 6 . (2)若�是线段��的中点,�� = 3,直接写出线段�� 的长. 解: 线段�� 的长为 18 或 2. 点拨:当点�在线段�� 上时,如图②. 因为�� = 1 2 ��,所以易得�� = 3�� . 因为�是线段�� 的中点,所以�� = 1 2 �� = 3 2 �� . 因为�� = 3,所以��− �� = 3,即3 2 �� − �� = 3 ,解得�� = 6 . 所以�� = 3 × 6 = 18 ; 当点�在点� 的右边时,如图③. 因为�� = 1 2 ��,所以�� = �� . 因为�是线段�� 的中点,所以�� = 1 2 �� = 1 2 �� . 所以�� = �� + �� = 3 2 �� = 3,解得�� = 2 . 所以�� = �� = 2 . 综上,线段�� 的长为 18 或 2. 41/54 7 数上 练拔尖 7.如图,已知∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���: ∠��� = 2: 3: 4,��是∠��� 的平分线, 过点�在∠���内部作射线�� ,将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 ,求∠��� 的度数. 解:设∠��� = 2� .因为∠��� − ∠��� = 14∘ ,∠���: ∠���:∠��� = 2: 3: 4 , 所以∠��� = 3�,∠��� = 4� ,∠��� = 2� − 14∘ . 因为∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� = 360∘ , 所以 2� − 14∘ + 2� + 3� + 4� = 360∘ ,解得� = 34∘ . 所以∠��� = 2� − 14∘ = 54∘ ,∠��� = 2� = 68∘ . 因为��是∠��� 的平分线,所以∠��� = 1 2 ∠��� = 27∘ . 因为射线��将∠���分成两个角,其度数之比为 1: 3 , 所以当∠���: ∠��� = 1: 3 时,∠��� = 68∘ × 1 4 = 17∘ , 此时∠��� = ∠��� + ∠��� = 27∘ + 17∘ = 44∘ . 当∠���: ∠��� = 3: 1 时,∠��� = 68∘ × 3 4 = 51∘ , 此时∠��� = ∠��� + ∠��� = 27∘ + 51∘ = 78∘ . 综上,∠���的度数为44∘ 或78∘ 42/54 7 数上 练拔尖 8.综合与实践.【特例感知】(1)如图①,已知线段�� = 14 cm,点�为线段�� 上的一个动点, 点�,�分别是��和�� 的中点.若�� = 6 cm ,则线段�� =___cm ; 答案:7 【知识迁移】(2)我们发现角的很多规律和线段一样,如图②,若∠��� = 120∘ ,��是∠��� 内部的一条射线,射线�� 平分∠���,射线��平分∠���,求∠��� 的度数; 解:因为��是∠��� 内部的一条射线,射线��平分∠���,射线�� 平分∠���, 所以∠��� = 1 2 ∠��� ,∠��� = 1 2 ∠���.因为∠��� = 120∘ , 所以∠��� = ∠��� + ∠��� = 1 2 ∠��� + ∠��� = 1 2 ∠��� = 60∘ 【拓展探究】(3)已知∠���在∠��� 内部的位置如图③所示,∠��� = � � < 180∘ ,∠��� = 30∘ ,且∠��� = 2∠��� ,∠��� = 2∠���,求∠��� 的度数(用含� 的式子表示). 43/54 7 数上 练拔尖 解: 因为∠��� = � ,∠��� = 30∘ ,所以∠��� + ∠��� = � − 30∘ 因为∠��� = 2∠���,∠��� = 2∠��� , 所以∠��� + ∠��� = 2 3 ∠��� + ∠��� = 2 3 � − 20∘ . 所以∠��� = ∠��� + ∠��� + ∠��� = 2 3 � + 10∘ . 44/54

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