拔尖8 几何计数的常见类型-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖（人教版2024）

7 数上 练拔尖 拔尖 8 几何计数的常见类型 类型 1，线段计数问题 1.（1）如图①，直线� 上有 2 个点，则图中有 2 条可用图中字母表示的射线，有 1 条线段； （2）如图②，直线� 上有 3 个点，则图中有___条可用图中字母表示的射线，有___条线段； （3）如图③，直线�上有� 个点，则图中有_________条可用图中字母表示的射线，有______ ____条线段； （4）应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有 6 个班进行足球比赛，准备进行循环 赛（即每两个班之间赛一场），预计全部赛完共需____场比赛. 类型 2，平面内直线相交所得交点与平面的计数问题 2.为了探究同一平面内的� 条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分， 我们从最简单的情形入手，如图所示.列表如下： 直线条数 最多交点的个数 把平面最多分成的部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … （1）当直线条数为 5 时，最多有____个交点，可写成和的形式为_____________；把平面最多 分成____部分，可写成和的形式为____________________. 29/41 7 数上 练拔尖 （2）当直线条数为 10 时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分. （3）当直线条数为� 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 类型 3，有关角的个数的计数问题 3. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点.以∠���的顶点� 为端点： （1）如图①，在角的内部作 1 条射线，那么图中一共有___个角. （2）如图②，在角的内部作 2 条射线，那么图中一共有___个角. （3）如图③，在角的内部作 3 条射线，那么图中一共有____个角. （4）在角的内部作� 条射线，那么一共有几个角？ 30/41 7 数上 练拔尖 拔尖 8 几何计数的常见类型 类型 1，线段计数问题 1.（1）如图①，直线� 上有 2 个点，则图中有 2 条可用图中字母表示的射线，有 1 条线段； （2）如图②，直线� 上有 3 个点，则图中有___条可用图中字母表示的射线，有___条线段； 答案：4 , 3 点拨：射线有射线�1�2，射线�2�3，射线�2�1，射线�3�1 ，共 4 条;线段有线段�1�2，线段�1�3， 线段�2�3 ，共 3 条. （3）如图③，直线�上有� 个点，则图中有_________条可用图中字母表示的射线，有______ ____条线段； 答案：(2� − 2) , �(�−1) 2 点拨：根据规律，可用图中字母表示的射线是每个点作为端点用两次，但第一个点和最后一个 点作为端点只用一次，�为直线上的点数，可得射线有(2� − 2) 条；线段是从所有点中任取两 个，所以有� 个点的直线上有线段 1 + 2 + 3 + ⋯+ (� − 1) = �(�−1) 2 （条）. （4）应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有 6 个班进行足球比赛，准备进行循环 赛（即每两个班之间赛一场），预计全部赛完共需____场比赛. 34/54 7 数上 练拔尖 答案：15 点拨：假设 6 个班为一条直线上的 6 个点，则计算直线上的线段数，将� = 6 代入�(�−1) 2 即可求 得结果为6×5 2 = 15 . 类型 2，平面内直线相交所得交点与平面的计数问题 2.为了探究同一平面内的� 条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分， 我们从最简单的情形入手，如图所示.列表如下： 直线条数 最多交点的个数 把平面最多分成的部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … （1）当直线条数为 5 时，最多有____个交点，可写成和的形式为_____________；把平面最多 分成____部分，可写成和的形式为____________________. 答案：10 , 1 + 2 + 3 + 4 , 16 , 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 （2）当直线条数为 10 时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分. 答案：45 ，56 35/54 7 数上 练拔尖 （3）当直线条数为� 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 解：当直线条数为� 时，最多有 1 + 2 + 3 + ⋯+ (� − 1) = �(�−1) 2 （个）交点，把平面最多分成 1 + 1 + 2 + 3 + ⋯+ � = [ �(�+1) 2 + 1] 部分. 类型 3，有关角的个数的计数问题 3. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点.以∠���的顶点� 为端点： （1）如图①，在角的内部作 1 条射线，那么图中一共有___个角. 答案：3 （2）如图②，在角的内部作 2 条射线，那么图中一共有___个角. 答案：6 （3）如图③，在角的内部作 3 条射线，那么图中一共有____个角. 答案：10 （4）在角的内部作� 条射线，那么一共有几个角？ 解：如果在角的内部作� 条射线，那么一共有 1 + 2 + 3 + ⋯+ � + (� + 1) = (�+1)(�+2) 2 （个） 角. 36/54