拔尖4 字母表示数在表示排列规律中的应用-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖（人教版2024）

7 数上 练拔尖 拔尖 4 字母表示数在表示排列规律中的应用 应用 1，用字母表示数式的排列规律 1.观察下列式子： 第 1 个式子：32 − 4 × 12 = 4 × 1 + 1 ； 第 2 个式子：52 − 4 × 22 = 4 × 2 + 1 ； 第 3 个式子：72 − 4 × 32 = 4 × 3 + 1 ； 第 4 个式子：92 − 4 × 42 = 4 × 4 + 1 ；… 请你按照上述规律，回答下列问题： （1）写出第 5 个式子：_______________________； （2）写出第� 个式子：________________________（用含� 的式子表示）； （3）请你按照规律计算 2 0252 − 4 × 1 0122 的值. 2.观察下列等式： ① 3 2 = 1 1 + 1 2 ；② 3 5 = 1 2 + 1 10 ；③ 3 8 = 1 3 + 1 24 ；④ 3 11 = 1 4 + 1 44 ；… 根据上述等式的规律，解答下列问题： （1）写出第⑤个等式：___________； （2）写出第 个等式：________________（用含有�的式子表示）； （3）应用你发现的规律，计算：3 5 + 3 17 + 3 35 − 1 10 − 1 102 − 1 420 . 12/41 7 数上 练拔尖 应用 2，用字母表示数据的排列规律 3. 已知�1 = 3，�2 = 1 1−�1 ，�3 = 1 1−�2 ，�4 = 1 1−�3 ，⋯ ，以此类推，则�2 025 等于( ) A. − 1 2 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4. 已知下列一组数：1，3 4 ，5 9 ， 7 16 ， 9 25 ，⋯ ，用代数式表示第�个数，则第� 个数是( ) A. 2�−1 3�−2 B. 2�−1 �2 C. 2�+1 3�−2 D. 2�+1 �2 应用 3，用字母表示数阵的排列规律 5. 如图，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数 6 为第 2 行、从左向 右第 2 个数；数−24 为第 4 行、从左向右第 3 个数，那么第 11 行、从左向右第 5 个数为( ) A. 210 B. 230 C. −210 D. −230 6.将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列（如图）： （1）第 8 行的最后一个数是____，它是自然数___的平方，第 8 行共有____个数； （2）用含 2�的式子表示：第 2� 行的第一个数是_________________，最后一个数是______， 第� 行共有_________个数. 13/41 7 数上 练拔尖 应用 4，用字母表示图阵中点的排列规律 7. 如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）上有�(� > 1) 个点， 每个图形总的点数是�，当� = 40 时，� 的值是( ) A. 120 B. 117 C. 123 D. 126 8.观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第�（� 为正整数）个图形 中的点的个数是_______. 应用 5，用字母表示图形个数的排列规律 9.用小木棒按如图中的方式搭图形.按上述信息解答下列各题： 图形 第 1个 第 2个 第 3个 第 4个 第 5个 … 小木棒根数 6 11 16 � � … （1）� =____，� = ____； （2）按照这种方式搭下去，则搭第� 个图形需要小木棒的根数为_______；（用含� 的代数 式表示） （3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第 2 025 个图形需要的小木棒根数. 14/41 7 数上 练拔尖 10.学校餐厅中，一张桌子可坐 6 人，现有如图所示的两种摆放方式： （1）当有 5 张桌子时，第一种方式能坐____人，第二种方式能坐____人. （2）当有� 张桌子时，第一种方式能坐_________人，第二种方式能坐_________人. （3）新学期有 200 人在学校就餐，但餐厅只有 60 张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你 打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由. 15/41 7 数上 练拔尖 拔尖 4 字母表示数在表示排列规律中的应用 应用 1，用字母表示数式的排列规律 1.观察下列式子： 第 1 个式子：32 − 4 × 12 = 4 × 1 + 1 ； 第 2 个式子：52 − 4 × 22 = 4 × 2 + 1 ； 第 3 个式子：72 − 4 × 32 = 4 × 3 + 1 ； 第 4 个式子：92 − 4 × 42 = 4 × 4 + 1 ；… 请你按照上述规律，回答下列问题： （1）写出第 5 个式子：_______________________； 答案：112 − 4 × 52 = 4 × 5 + 1 （2）写出第� 个式子：________________________（用含� 的式子表示）； 答案：(2� + 1)2 − 4�2 = 4� + 1 （3）请你按照规律计算 2 0252 − 4 × 1 0122 的值. 解：当� = 1 012 时，2� + 1 = 2 025 , 则 2 0252 − 4 × 1 0122 = 4 × 1 012 + 1 = 4 049 . 2.观察下列等式： ① 3 2 = 1 1 + 1 2 ；② 3 5 = 1 2 + 1 10 ；③ 3 8 = 1 3 + 1 24 ；④ 3 11 = 1 4 + 1 44 ；… 根据上述等式的规律，解答下列问题： （1）写出第⑤个等式：___________； 13/54 7 数上 练拔尖 答案： 3 14 = 1 5 + 1 70 ， （2）写出第 个等式：________________（用含有�的式子表示）； 答案： 3 3�−1 = 1 � + 1 �(3�−1) （3）应用你发现的规律，计算：3 5 + 3 17 + 3 35 − 1 10 − 1 102 − 1 420 . 解：3 5 + 3 17 + 3 35 − 1 10 − 1 102 − 1 420 = ( 1 2 + 1 10 ) + ( 1 6 + 1 102 ) + ( 1 12 + 1 420 ) − 1 10 − 1 102 − 1 420 = 1 2 + 1 6 + 1 12 = 3 4 . 应用 2，用字母表示数据的排列规律 3. 已知�1 = 3，�2 = 1 1−�1 ，�3 = 1 1−�2 ，�4 = 1 1−�3 ，⋯ ，以此类推，则�2 025 等于( ) A. − 1 2 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 答案：C 解析：因为�1 = 3，所以�2 = 1 1−3 =− 1 2 ，所以�3 = 1 1−(−12) = 2 3 ，所以�4 = 1 1−23 = 3，所以�5 = 1 1−3 = − 1 2 ，⋯ ，所以按照上面呈现的规律可知，�� 每 3 项循环一次.因为 2 025 ÷ 3 = 675，故�2 025 = �3 = 2 3 ，故选 C. 4. 已知下列一组数：1，3 4 ，5 9 ， 7 16 ， 9 25 ，⋯ ，用代数式表示第�个数，则第� 个数是( ) A. 2�−1 3�−2 B. 2�−1 �2 C. 2�+1 3�−2 D. 2�+1 �2 答案：B 14/54 7 数上 练拔尖 应用 3，用字母表示数阵的排列规律 5. 如图，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行.图中数 6 为第 2 行、从左向 右第 2 个数；数−24 为第 4 行、从左向右第 3 个数，那么第 11 行、从左向右第 5 个数为( ) A. 210 B. 230 C. −210 D. −230 答案：A 解析：观察数阵可知，所有数的绝对值是从 2 开始的连续偶数，且第�行有(2� − 1) 个 数，所以前 10 行一共有 1 + 3 + 5 + ⋯+ 19 = 100 （个）数.又因为从 2 开始的第 100 个偶数 是 200，即第 10 行最后一个数的绝对值是 200.所以第 11 行第 1 个数的绝对值是 202.又因为奇 数行第 1 个数为正，偶数行第 1 个数为负，且所有行都为正负数相间排列，所以第 11 行、从 左向右第 5 个数为 210. 6.将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列（如图）： （1）第 8 行的最后一个数是____，它是自然数___的平方，第 8 行共有____个数； 15/54 7 数上 练拔尖 答案：64 ， 8 ， 15 （2）用含 2�的式子表示：第 2� 行的第一个数是_________________，最后一个数是______， 第� 行共有_________个数. 答案：(2� − 1)2 +1 ，(2�)2 ， (2� − 1) 应用 4，用字母表示图阵中点的排列规律 7. 如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）上有�(� > 1) 个点， 每个图形总的点数是�，当� = 40 时，� 的值是( ) A. 120 B. 117 C. 123 D. 126 答案：B 8.观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第�（� 为正整数）个图形 中的点的个数是_______. 答案：6� + 4 解析：由所给图形可知，第 1 个图形中的点的个数为 10 = 1 × 6 + 4；第 2 个图形中的点的个数为 16 = 2 × 6 + 4 ；第 3 个图形中的点的个数为 22 = 3 × 6 + 4；…；所以第� 个图形中的点的个数为 6� + 4 . 16/54 7 数上 练拔尖 应用 5，用字母表示图形个数的排列规律 9.用小木棒按如图中的方式搭图形.按上述信息解答下列各题： 图形 第 1个 第 2个 第 3个 第 4个 第 5个 … 小木棒根数 6 11 16 � � … （1）� =____，� = ____； 答案：21 ， 26 （2）按照这种方式搭下去，则搭第� 个图形需要小木棒的根数为_______；（用含� 的代数 式表示） 答案：5� + 1 （3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第 2 025 个图形需要的小木棒根数. 解：当� = 2 025 时，5� + 1 = 10 126（根）， 所以第 2025 个图形需要的小木棒根数为 10126. 10.学校餐厅中，一张桌子可坐 6 人，现有如图所示的两种摆放方式： 17/54 7 数上 练拔尖 （1）当有 5 张桌子时，第一种方式能坐____人，第二种方式能坐____人. 答案：22 ， 14 （2）当有� 张桌子时，第一种方式能坐_________人，第二种方式能坐_________人. 答案：(4� + 2) ， (2� + 4) （3）新学期有 200 人在学校就餐，但餐厅只有 60 张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你 打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由. 解：选择第一种方式.理由如下: 第一种方式：60 张桌子一共可以坐 60 × 4 + 2 = 242 （人）; 第二种方式：60 张桌子一共可以坐 60 × 2 + 4 = 124 （人）. 又因为 242 > 200 > 124 ， 所以选择第一种方式来摆放餐桌. 18/54