拔尖2 有理数混合运算的应用技巧-2025-2026学年新教材七年级数学上册练拔尖（人教版2024）

7 数上 练拔尖 拔尖 2 有理数混合运算的应用技巧 技巧 1，凑整法 凑整法 , 就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质 , 把其凑成整十、 整百、整千…的数 , 从而达到计算简便、迅速的一种方法. 1.计算： （1） − 23 × 7 × −1.25 × − 1 7 ； （2）2 7 × − 5 12 − 5 7 × 5 12 − 5 3 × 1 4 . 技巧 2，分组法 2.计算：1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ⋯ + 2 025 − 2 026 . 6/41 7 数上 练拔尖 技巧 3，拆分法 遇到与带分数有关的混合运算，将带分数的整数部分和分数部分进行拆分以达到简化计算的目 的，这种方法叫作拆分法. 3.计算：49 24 25 × −5 . 技巧 4，裂项法 4.计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 2 027×2 028 . 技巧 5，倒数法 在有理数混合运算中，当直接求解原算式变得棘手时，我们可以运用一种巧妙的策略——“倒 数法”.这种方法的核心在于巧妙利用倒数的性质，即任何非零数与其倒数的乘积恒等于 1.具体 地，如果原算式直接求解较为繁琐，我们可以先求出其倒数的值，随后对得到的结果再取倒数， 最终就能获得原算式的解. 5.阅读下列材料. 计算：50 ÷ 1 3 − 1 4 + 1 12 . 解法 1：原式= 50 ÷ 1 3 − 50 ÷ 1 4 + 50 ÷ 1 12 = 50 × 3 − 50 × 4 + 50 × 12 = 550 . 解法 2：原式的倒数= 1 3 − 1 4 + 1 12 ÷ 50 = 1 3 × 1 50 − 1 4 × 1 50 + 1 12 × 1 50 = 1 300 ，故原式= 300 . （1）以上两种解法中，解法___是正确的； 7/41 7 数上 练拔尖 （2）请你计算： − 7 8 ÷ 1 3 4 − 7 8 − 7 12 . 技巧 6，整体设元法 整体设元法的核心思想在于，将一串有理数的代数和视作一个不可分割的整体，并巧妙地用一 个特定的字母来代替这一整体.这样就使原本冗长复杂的算式瞬间变得简洁明了. 6.计算 1 + 4 + 42 + 43 +⋯+ 42 024 + 42 025 . 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的 4 倍，如果将上式各项都乘以 4，所得新 算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算. 解：设 S = 1 + 4 + 42 + 43 +⋯+ 42 024 + 42 025 ，① 则 4S = 4 + 42 +⋯+ 42 025 + 42 026 ，② ②−①，得 3S = 42 026 − 1，则 S = 4 2 026−1 3 ，即原式= 4 2 026−1 3 . 请你尝试用上面的方法计算 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯+ 1 32 025 . 8/41 7 数上 练拔尖 拔尖 2 有理数混合运算的应用技巧 技巧 1，凑整法 凑整法 , 就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质 , 把其凑成整十、 整百、整千…的数 , 从而达到计算简便、迅速的一种方法. 1.计算： （1） − 23 × 7 × −1.25 × − 1 7 ； 解：原式= −8 × 7 × −1.25 × − 1 7 = −8 × −1.25 × 7 × − 1 7 =− 10 . （2）2 7 × − 5 12 − 5 7 × 5 12 − 5 3 × 1 4 . 解：原式=− 5 12 × 2 7 + 5 7 + 1 =− 5 6 . 技巧 2，分组法 2.计算：1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ⋯ + 2 025 − 2 026 . 解：原式= 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8) + ⋯ + (2 025 − 2 026 = −1 × 1 013 =− 1 013. 技巧 3，拆分法 遇到与带分数有关的混合运算，将带分数的整数部分和分数部分进行拆分以达到简化计算的目 的，这种方法叫作拆分法. 3.计算：49 24 25 × −5 . 解：原式= 50 − 1 25 × −5 = 50 × −5 − 1 25 × −5 =− 250 + 1 5 =− 249 4 5 . 技巧 4，裂项法 4.计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 2 027×2 028 . 6/54 7 数上 练拔尖 解：原式= 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 2 027 − 1 2 028 = 1 − 1 2 028 = 2 027 2 028 . 技巧 5，倒数法 在有理数混合运算中，当直接求解原算式变得棘手时，我们可以运用一种巧妙的策略——“倒 数法”.这种方法的核心在于巧妙利用倒数的性质，即任何非零数与其倒数的乘积恒等于 1.具体 地，如果原算式直接求解较为繁琐，我们可以先求出其倒数的值，随后对得到的结果再取倒数， 最终就能获得原算式的解. 5.阅读下列材料. 计算：50 ÷ 1 3 − 1 4 + 1 12 . 解法 1：原式= 50 ÷ 1 3 − 50 ÷ 1 4 + 50 ÷ 1 12 = 50 × 3 − 50 × 4 + 50 × 12 = 550 . 解法 2：原式的倒数= 1 3 − 1 4 + 1 12 ÷ 50 = 1 3 × 1 50 − 1 4 × 1 50 + 1 12 × 1 50 = 1 300 ，故原式= 300 . （1）以上两种解法中，解法___是正确的； 答案：2 （2）请你计算： − 7 8 ÷ 1 3 4 − 7 8 − 7 12 . 解：原式的倒数= 1 3 4 − 7 8 − 7 12 ÷ − 7 8 = 7 4 − 7 8 − 7 12 × − 8 7 = 7 4 × − 8 7 − 7 8 × − 8 7 − 7 12 × − 8 7 =− 2+ 1 + 2 3 =− 1 3 , 故原式=− 3 . 技巧 6，整体设元法 整体设元法的核心思想在于，将一串有理数的代数和视作一个不可分割的整体，并巧妙地用一 个特定的字母来代替这一整体.这样就使原本冗长复杂的算式瞬间变得简洁明了. 6.计算 1 + 4 + 42 + 43 +⋯+ 42 024 + 42 025 . 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的 4 倍，如果将上式各项都乘以 4，所得新 算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算. 7/54 7 数上 练拔尖 解：设 S = 1 + 4 + 42 + 43 +⋯+ 42 024 + 42 025 ，① 则 4S = 4 + 42 +⋯+ 42 025 + 42 026 ，② ②−①，得 3S = 42 026 − 1，则 S = 4 2 026−1 3 ，即原式= 4 2 026−1 3 . 请你尝试用上面的方法计算 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯+ 1 32 025 . 解：设 S = 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯+ 1 32 025 ，① 则1 3 S = 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯+ 1 32 025 + 1 32 026 ，② ①−② , 得2 3 S = 1 − 1 32 026 ， 则 S = 3− 1 32 025 2 ， 即原式= 3− 1 32 025 2 . 8/54