专题05 函数三大基础性质归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题05 函数三大基础性质题型归类 目录 专题05 函数三大基础性质题型归类 类型一、定义域：解不等式型 类型二、定义域：抽象函数型 类型三、定义域：复合型抽象函数 类型四、解析式：待定系数型 类型五、解析式：复合换元型 类型六、解析式：凑配型 类型七、解析式：函数方程型 类型八、解析式：内外嵌入型 类型九、值域：反比例分式复合型 类型十、值域：根式换元型 类型十一、值域：对勾型 对勾函数的函数特征 对勾函数：图像特征 类型十二、值域：分式同除型 类型十三、 值域：抽象函数型 类型十四、值域：分段函数型 类型十五、函数值域求参 压轴专练 类型一、定义域：解不等式型 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； ⑥正切函数（且，）. 例1．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式1-1． （24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 变式1-2．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3． （23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型二、定义域：抽象函数型 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 例2、（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式2-1． （24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式2-2． （24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 变式2-3． （24-25高二下·山西运城·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 类型三、定义域：复合型抽象函数 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 例3．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1． （24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-2． （21-22高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-3． （20-21高一·全国·单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型四、解析式：待定系数型 待定系数法 ：针对已知函数类型； 对于一次函数和二次函数，可以用待定系数法来求解析式。 例4．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4-2． （24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 变式4-3． （24-25高一上·浙江·期中）已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（   ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D．为偶函数 类型五、解析式：复合换元型 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围 例5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 变式5-2． （24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 变式5-3．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 类型六、解析式：凑配型 配凑法 ：针对复合函数，如果换元无法反解出来，则可以用凑配法来求解析式 例6．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 变式6-1． （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2． （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （23-24高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 类型七、解析式：函数方程型 方程组法：针对f(x)与f()或f(－x)形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察凑配来设置。 例7．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 变式7-1．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 变式7-3．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型八、解析式：内外嵌入型 方程组法：同一的出现不同形式的代数式. 例8．（2021·浙江·二模）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（    ） A．2 B．5 C． D．3 变式8-1．（23-24高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数是R上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（） A．0 B． C． D．1 变式8-3． （22-23高一上·湖北武汉·期末）已知单调函数f（x）满足，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 类型九、值域：反比例分式复合型 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。 例9．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 变式9-1． （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 变式9-2．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 变式9-3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 类型十、值域：根式换元型 二次根式函数求值域用：换元法. 解析式含有无理根式形求值域，如果函数不具有单调性，或者无法看出单调性， 例10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 变式10-1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 变式10-2． （24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 变式10-3． （2024·河北唐山·一模）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 类型十一、值域：对勾型 对勾函数的函数特征 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1. 奇函数 2. 有“渐近线”：y=ax 3.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 例11．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式11-1． （23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式11-2． （24-25高二下·江西·期末）已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 变式11-3． （22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，定义域为，则函数（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值3 D．有最大值3 类型十二、值域：分式同除型 例12．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式12-1． （24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式12-2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 变式12-3． （23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 类型十三、 值域：抽象函数型 抽象函数f（x）与f（x+a）是平移关系，所以在定义域内平移，不改变函数的值域。 例13．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式13-1． （22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 变式13-2． ．（21-22高三上·江苏扬州·阶段练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D． 变式13-3． （24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 类型十四、值域：分段函数型 分段函数值域，是每一段函数的值域，再取并集，如果能画出图像，尽可能的借助图像来辅助求解 例14．（24-25高三下·江西·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 变式14-1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式14-2． （24-25高一上·云南保山·期末），用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（    ） A． B．6 C． D．3 变式14-3． （24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 类型十五、函数值域求参 例15．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式15-1．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式15-2．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 故选：A 变式15-3． （23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽黄山·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·广东汕头·期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于4 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，则 D．函数在上单调递增，则的取值范围是 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数是同一函数 B．已知函数满足，则（） C．已知，为正实数，，则的最小值为 D．是定义域在R上的偶函数，且，若时，，则的值为 11．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 14．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数三大基础性质题型归类 目录 专题05 函数三大基础性质题型归类 类型一、定义域：解不等式型 类型二、定义域：抽象函数型 类型三、定义域：复合型抽象函数 类型四、解析式：待定系数型 类型五、解析式：复合换元型 类型六、解析式：凑配型 类型七、解析式：函数方程型 类型八、解析式：内外嵌入型 类型九、值域：反比例分式复合型 类型十、值域：根式换元型 类型十一、值域：对勾型 对勾函数的函数特征 对勾函数：图像特征 类型十二、值域：分式同除型 类型十三、 值域：抽象函数型 类型十四、值域：分段函数型 类型十五、函数值域求参 压轴专练 类型一、定义域：解不等式型 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； ⑥正切函数（且，）. 例1．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式列不等式，再利用对数函数性质和指数函数不等式求解即可. 【详解】由题意，所以，即，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 变式1-1． （24-25高一上·全国·课前预习）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【详解】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 变式1-2．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合A，B，根据交集运算即可得解. 【详解】因为且， ， 所以. 故选：C 变式1-3． （23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 类型二、定义域：抽象函数型 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 例2、（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 变式2-1． （24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 变式2-2． （24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据的定义域、对数函数的真数、偶次根式被开方式，以及分式函数分母不为零，列出不等式组求解集可得定义域. 【详解】要使函数有意义，则， ，取交集得.故答案为：. 变式2-3． （24-25高二下·山西运城·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 类型三、定义域：复合型抽象函数 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 例3．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则，即函数的定义域为， 令，解得，因为，所以解得， 因为，解得，则的定义域为，故C正确. 故选：C 变式3-1． （24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 变式3-2． （21-22高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可. 【详解】∵函数的定义域为，即， ∴， 又∵，解得， ∴的定义域为, 故选：. 变式3-3． （20-21高一·全国·单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知函数的定义域有，即可求复合函数的定义域. 【详解】由题意得：，即，又， ∴． 故选：B 类型四、解析式：待定系数型 待定系数法 ：针对已知函数类型； 对于一次函数和二次函数，可以用待定系数法来求解析式。 例4．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 变式4-1．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 变式4-2． （24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 变式4-3． （24-25高一上·浙江·期中）已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（   ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】对于A，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C、D，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，令， 则，解得，故A正确； 对于B，由，令， 则，化简可得， 设二次函数，则， 化简可得，可得，所以， 由，解得，所以， 由函数，则其对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由B可知，则其对称轴为， 所以函数是偶函数，故C正确； 对于D，由B可知， 则其对称轴为，所以函数为偶函数，故D正确. 故选：B. 类型五、解析式：复合换元型 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围 例5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式． 【详解】令，则，， 由， ∴， ∴． 故选：B． 变式5-1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值. 【详解】当时，，令，则，， 因此当时，，由函数是上的奇函数，， 得，则，解得， 所以. 故选：C 变式5-2． （24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 变式5-3．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 类型六、解析式：凑配型 配凑法 ：针对复合函数，如果换元无法反解出来，则可以用凑配法来求解析式 例6．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 变式6-1． （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式. 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 变式6-2． （24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解. 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 变式6-3． （23-24高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 类型七、解析式：函数方程型 方程组法：针对f(x)与f()或f(－x)形成的表达式 ,一些比较复杂的形式，需要观察凑配来设置。 例7．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以．故选：D． 变式7-1．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据方程组的方法求函数是解析式，再根据不等式恒成立转化为，再转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】， 函数在区间单调递减，所以的最大值为， 对任意的，均有成立， 对任意的恒成立，对任意的恒成立， ，解得：.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键一是求函数的解析式，关键二是利用不等式恒成立，转化为求的最值. 变式7-2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得，即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得,所以，故选：D 变式7-3．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值. 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以.故选：B. 类型八、解析式：内外嵌入型 方程组法：同一的出现不同形式的代数式. 例8．（2021·浙江·二模）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（    ） A．2 B．5 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意由带入，可得：整理化简可得，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解. 【详解】由任意的，均有，由带入可得： ，所以 所以，由为减函数，所以 变式8-1．（23-24高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数是R上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】采用换元法可构造方程，进而求得解析式，代入即可得到结果. 【详解】由是上的单调函数，可设，则恒成立， 由得：，，解得：， ，. 故选：. 【点睛】本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式. 变式8-2．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值. 【详解】根据题意，令，为常数， 可得，且， 所以时有， 将代入，等式成立， 所以是的一个解， 因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数， 所以可知函数有唯一解， 又因为， 所以，即， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性和函数的表示方法，属于中档题. 变式8-3． （22-23高一上·湖北武汉·期末）已知单调函数f（x）满足，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得函数的解析式，再利用零点存在定理即可求得函数的零点所在区间. 【详解】设，则， 则， 又是定义在上的单调函数， 则，解之得，则 则， 则函数的零点所在区间为. 故选：D 类型九、值域：反比例分式复合型 反比例与分式型函数 解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解 形如：。对称中为P，其中 。 例9．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由函数解析式得到，再通过换元结合基本不等式求解即可； 【详解】，， 所以， 设，由，可得：， 则，所以，，则 ，当且仅当，即，即时等号成立． 故选：D． 变式9-1． （24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 变式9-2．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的基本性质可求得的值域，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，因为，，B错； 对于C选项，因为， 当时，，则，则， 当时，， 当时，则，则，此时，， 综上所述，函数的定义域为，C错； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因为函数有两个零点，则的取值范围是，D对. 故选：D. 变式9-3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可. 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 类型十、值域：根式换元型 二次根式函数求值域用：换元法. 解析式含有无理根式形求值域，如果函数不具有单调性，或者无法看出单调性， 例10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数分段考虑，利用换元法分别求每段函数的值域，再求其并集即得. 【详解】当时，设，，则, , 因，则； 当时，设，则, 因，则. 综上，函数的值域为. 故选：A. 变式10-1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元，令，，结合二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】由题意， 令，，则， 由一元二次函数的图象和性质可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即函数的值域为， 故选：A 变式10-2． （24-25高一上·江苏·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法和二次函数的性质即可求解. 【详解】，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以，， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，最大值为， 则由二次函数的图象与性质知，函数的值域为， 即函数的值域为. 故选：D. 变式10-3． （2024·河北唐山·一模）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】由已知得， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值为. 故选：C. 类型十一、值域：对勾型 对勾函数的函数特征 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1. 奇函数 2. 有“渐近线”：y=ax 3.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 例11．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域. 【详解】根据题意，当时，，令，可得， 所以，因此可得， 由二次函数性质可得，当时，取得最大值， 此时； 当时，，当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为20，因此； 综上可得，函数的值域为. 故选：A. 变式11-1． （23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 变式11-2． （24-25高二下·江西·期末）已知函数的最小值为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以．易知的定义域为， 当时，，则；当时，，则， 所以的值域为． 故选：A． 变式11-3． （22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，定义域为，则函数（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】B 【分析】化简得，利用基本不等式可求得答案. 【详解】， ，， 由基本不等式，，当且仅当时，即时等号成立， ∴， 即，最大值为1. 故选：B. 类型十二、值域：分式同除型 例12．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 变式12-1． （24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】由，令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最大值为. 故选：C. 变式12-2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 变式12-3． （23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 类型十三、 值域：抽象函数型 抽象函数f（x）与f（x+a）是平移关系，所以在定义域内平移，不改变函数的值域。 例13．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 变式13-1． （22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到值域不变即可得到答案. 【详解】解：由函数的值域为，的图象向左平移2个单位得到， 所以的值域为，的最大值为2， 所以函数的最大值为． 故选：B． 变式13-2． ．（21-22高三上·江苏扬州·阶段练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可推得的定义域与值域，然后即可得出，根据交集的运算得出答案. 【详解】由已知的定义域为，值域为， 可得的定义域为，值域为， 所以， 所以，所以，. 所以，. 故选:C. 变式13-3． （24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 类型十四、值域：分段函数型 分段函数值域，是每一段函数的值域，再取并集，如果能画出图像，尽可能的借助图像来辅助求解 例14．（24-25高三下·江西·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义，先求函数的值域即可求解. 【详解】当时，，此时，或1； 当时，，此时0，或1； 当时，， 此时，所以的值域为. 故选：A. 变式14-1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个函数在时的图像画在同一个平面直角坐标系中，可得的图像，根据图像即可求得的最大值. 【详解】作出的图像， 由图像可知， ， 由图可知 的最大值为. 故选：D. 变式14-2． （24-25高一上·云南保山·期末），用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况，解不等式，可求得的解析式，进而可求得的最大值. 【详解】①当时，，， 由，可得， 解得，又，所以，所以当时，，所以， 当时，，所以， ②当时，由，可得， 解得，又，所以， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述：， 当时，，所以，所以， 当时，， 当，， 综上所述：，所以函数的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分类讨论，求得函数的解析式，再求得函数的最大值求解. 变式14-3． （24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 类型十五、函数值域求参 例15．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 变式15-1．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 变式15-2．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 变式15-3． （23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即可求解. 【详解】因为，所以. 又①， ②， 由①②得，， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为即，函数（）在上单调递减， 所以，即，所以. 故选：B. 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽黄山·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解对数不等式可求得的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的性质求的定义域，再由复合函数定义域的求法求的定义域. 【详解】由题设，即的定义域为， 对于，有，则，即定义域为. 故选：D 3．（23-24高一上·广东珠海·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【详解】因为 所以 所以，即. 故选：C. 7．（22-23高一上·广东汕头·期中）函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据复合函数的定义域和值域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即，即函数的定义域. 因为函数的定义域为，值域为，又， 所以函数的值域为. 故选：C 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高一下·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于4 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，则 D．函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】由扇形的面积公式可得A错误；由抽象函数的定义可得B正确；由换元法令可得C错误；由指数型复合函数的单调性可得D正确. 【详解】对于A，设扇形圆心角为，半径为， 由扇形面积，解得，所以扇形的弧长，故A错误； 对于B，由，得，所以的定义域为，故B正确； 对于C，令，，则， 由，得，， 所以，，故C错误； 对于D，因为在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 因为二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 所以，解得，即的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）下列命题中，正确的有（   ） A．函数与函数是同一函数 B．已知函数满足，则（） C．已知，为正实数，，则的最小值为 D．是定义域在R上的偶函数，且，若时，，则的值为 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据同一函数的定义进行判断；对于选项B，将等式进行变换，然后组成方程组求出；对于选项C，根据等式用关于的表达式表示出，然后化简，最后根据基本不等式求出最小值即可；对于选项D，根据偶函数和周期性即可求出结果. 【详解】对于选项A：函数的定义域为， 而函数的定义域为， 所以这两个函数不是同一函数，所以A错误； 对于选项B：因为①， 所以②， 将②中代入①中，得， 解得，所以B正确； 对于选项C：因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 取得最小值10，所以C正确； 对于选项D：因为为偶函数，所以， 因为，所以函数周期为4， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】令求出，再代入计算判断A，根据的取值特征判断B，求出函数的定义域，再分离常数，即可判断C，根据绝对值三角不等式求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：因为，令，解得， 所以，故A正确； 对于B：因为，所以能够取到所有的正数， 所以，即的值域为，故B正确； 对于C：定义域为， 又， 因为且，所以且， 所以且， 所以的值域为，故C错误； 对于D：因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即的值域为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 13．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】通过换元，令，将求函数的值域转化为求函数，的值域，再根据当时，的单调性求解即可. 【详解】设，则， 因为，所以． 函数可化为，， 因为当时是减函数，又， 所以函数在上是减函数， 于是，即， 所以函数的值域是． 故答案为：. 14．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案. 【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$