专题01 等式与不等式的性质（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 等式与不等式的性质 题型一：等式的性质与方程的解 题型二：解含参数的一元一次不等式 题型三：根据一元二次方程根的个数求参数 题型四：根与系数关系的应用 题型五：一元二次方程实根分布问题 题型六：代数式比较大小 题型七：由不等式的性质证明不等式 题型八：由不等式性质求代数式范围 题型一：等式的性质与方程的解 1．已知关于的方程的解集为，则实数的值（    ） A．0 B．1 C． D． 2．已知等式恒成立，则 ． 3．若对任意实数，等式恒成立，则 ， . 4．已知等式对任意实数都成立，则 . 题型二：解含参数的一元一次不等式 5．不等式的解集为，则 ． 6．已知不等式与ax-6>5x同解，则实数a的值是 . 7．若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 8．已知关于的函数， （1）求关于的不等式的解集：； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 9．解关于的不等式． 10．解下列关于x的不等式： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 题型三：根据一元二次方程根的个数求参数 11．已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； 14．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； 题型四：根与系数关系的应用 15．已知、是方程的两个实数根. (1)求的取值范围； (2)求、.（结果用表示） (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 16．设函数，若， (1)求证：方程有实根. (2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围. 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 18．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值： （1）； （2） （3）． 19．已知关于x的方程有两个实数根. （1）求实数k的取值范围; （2）若满足，求实数k的值. 题型五：一元二次方程实根分布问题 20．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 21．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 22．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 23．已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 24．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 25．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型六：代数式比较大小 26．完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 27．（1）设，，比较与的大小； 28．已知，试比较与的大小. 29．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 30．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 题型七：由不等式的性质证明不等式 31．设，求证. 32．（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 33．（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 34．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 35．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 题型八：由不等式性质求代数式范围 36．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知实数x、y满足:则 的取值范围是 38．已知，，则的取值范围是 . 39．已知且，则的取值范围是 ． 40．已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 41．已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等式与不等式的性质 题型一：等式的性质与方程的解 题型二：解含参数的一元一次不等式 题型三：根据一元二次方程根的个数求参数 题型四：根与系数关系的应用 题型五：一元二次方程实根分布问题 题型六：代数式比较大小 题型七：由不等式的性质证明不等式 题型八：由不等式性质求代数式范围 题型一：等式的性质与方程的解 1．已知关于的方程的解集为，则实数的值（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值 【详解】由，得， 因为关于的方程的解集为， 所以，得， 故选：C 2．已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 3．若对任意实数，等式恒成立，则 ， . 【答案】 3 2 【分析】对应系数相等即可直接求出结果. 【详解】对应系数相等可得， 故答案为：3；2. 4．已知等式对任意实数都成立，则 . 【答案】 【分析】根据等式对任意实数都成立，得对应项系数相等，求出可得结果. 【详解】因为等式对任意实数都成立， 所以，所以. 故答案为：. 题型二：解含参数的一元一次不等式 5．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可知，为方程的根，带入计算即可得出值. 【详解】由题意得是关于的方程的根，所以，即． 故答案为：−5 6．已知不等式与ax-6>5x同解，则实数a的值是 . 【答案】2 【分析】由求得，将x=-2代入，即可求得结果. 【详解】因为不等式与ax-6>5x同解，不等式的解为x<-2， 则x<-2也是ax-6>5x的解集，把x=-2也是ax-6=5x，则a=2. 故答案为：2 7．若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 8．已知关于的函数， （1）求关于的不等式的解集：； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）对分类讨论，解不等式即可得到答案； （2）分三种情况，求一次型函数的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 当即时，； 当即时，； 当即时，； 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，. （2）由（1）知，时，满足题意； 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 综上所述：. 9．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】由可得，然后分，，，共三种情况讨论，即可求解. 【详解】由，可得， 当时，即，此时，则不等式的解集为； 当时，即，此时，解得； 当，即，此时，解得. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 10．解下列关于x的不等式： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】由不等式性质，即可求解（1）（2）；分类讨论和，结合不等式的性质求解即可． 【详解】（1）， 由得，，故． （2）， 由得，，故． （3）， 由得，当时，； 当时，． 题型三：根据一元二次方程根的个数求参数 11．已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的判别式与根的关系解得答案； 【详解】由已知条件可知， 一元二次方程有实数根的判别式， 解之得， 故答案为：. 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 14．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； 【答案】(1) (2)不存在符合条件的k的值，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，解不等式即得参数范围； （2）先由韦达定理以及题设条件，求得的值，再结合（1）的范围进行检验，即得结论. 【详解】（1）∵方程有两个不等的实数根， 由 ，解得 ，    的取值范围是 题型四：根与系数关系的应用 15．已知、是方程的两个实数根. (1)求的取值范围； (2)求、.（结果用表示） (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得出且，可求出实数的取值范围； （2）根据韦达定理可得出、关于的表达式； （3）根据结合韦达定理定理可得出关于的等式，求出的值，结合可得出结论. 【详解】（1）解：因为、是方程的两个实数根， 则，且，解得. 所以，实数的取值范围是. （2）解：因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，， 所以，， . （3）解：若存在实数，使， 即，解得，不合乎题意，舍去. 因此，不存在实数的值，使得. 16．设函数，若， (1)求证：方程有实根. (2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，再利用判别式法可判断出方程有实根； （2）利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）证明：若，由可得， 所以，，与已知条件矛盾，所以，， 对于方程，， 所以，方程必有实根. （2）解：由韦达定理可得，， 因为，则， 所以， ， 因此，. 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1) 关于的一元二次方程有两个实数根，由即可解得的取值范围； (2)利用韦达定理，把转化为含的方程，解方程即可得到答案. 【详解】（1）因为关于的一元二次方程有两个实数根和， 所以， 所以； （2）根据题意可得， 因为， 又， 所以即，解得或， 因为，所以. 18．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值： （1）； （2） （3）． 【答案】（1）；（2）11；（3）-36. 【分析】求出，，然后由代数式的变形用，表示出，，后即可求值． 【详解】由题意，， （1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查一元二次方程的韦达定理，考查代数式的变形．属于基础题． 19．已知关于x的方程有两个实数根. （1）求实数k的取值范围; （2）若满足，求实数k的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据条件可知，即可解出的范围； （2）利用韦达定理即可建立等量关系，解出. 【详解】（1）关于x的方程有两个实数根， ，解得， 实数k的取值范围为； （2）根据韦达定理可得，， ，即， 解得或 (不符合题意，舍去)， 实数k的值为. 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题. 题型五：一元二次方程实根分布问题 20．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 21．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 22．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可. 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 23．已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案. 【详解】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 24．关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件合理构造出，再利用韦达定理得到，求解参数范围即可. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 25．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型六：代数式比较大小 26．完成如下三个小题并写出必要过程 (1)设，，比较的大小． (2)已知，求证：； (3)已知，设；，比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由作差法得到，即可比较； （2）由则，由同向不等式的可加性可得； （3）由作差法得到，即可比较. 【详解】（1）因为， . （2）因为，所以，由同向不等式的可加性可得. （3）因为，，，所以， 所以. 27．（1）设，，比较与的大小； 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据条件得到，再通过作商法，即可求解； 【详解】（1）因为，， 则， 故，当且仅当时取等号. 28．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 29．（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 30．（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 题型七：由不等式的性质证明不等式 31．设，求证. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证. 【详解】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 32．（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）可用反证法，分析法，综合法的任意1个方法证明； （2）结合先把1换成，再化简，结合基本（均值）不等式证明. 【详解】证明：（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2）由题意知，故 . 33．（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 34．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 35．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 题型八：由不等式性质求代数式范围 36．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，再根据不等式性质即可求解. 【详解】设，所以解得 所以， 又，所以，则. 故选：B. 37．已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 38．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，可得结果. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 即，即. 故答案为：. 39．已知且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，求出，结合不等式性质可求结论. 【详解】设，则， 所以， 故，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 40．已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 41．已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性即可求解； （2）根据同向不等式的可乘性即可求解范围； （3）利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； （2）因为所以，又因为，所以; （3）令， 则，解得， 又因为，所以， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$