专题03 基本不等式及其应用（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题03基本不等式及其应用 题型一：对基本不等式的辨析 题型二：利用基本不等式求积最大值 题型三：利用基本不等式求和的最小值 题型四：利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 题型五：利用基本不等式求条件等式求最值 题型六：基本不等式中的恒成立问题 题型七：绝对值三角不等式 题型一：对基本不等式的辨析 1．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 2．下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误. 故选：B 3．若正实数满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值2 D．有最小值 【答案】A 【解析】A.根据正实数满足，由判断.B..由判断.C.由，判断.D.由判断. 【详解】因为正实数满足 所以，当且仅当，，即取等号，故A正确. ，当且仅当，，即取等号，故B错误. ，当且仅当，，即取等号，故C错误. ，当且仅当，，即取等号，故D错误. 故选:A 【点睛】本题主要考查基本不等式的变形以及应用，变形灵活，特别注意使用条件，属于中档题. 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由均值不等式取等号的条件判断即可 【详解】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 5．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得. 【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误． 故选：B. 题型二：利用基本不等式求积最大值 6．若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 7．已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，为正数，由基本不等式可得，所以， 当且仅当，即当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为： 8．函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先确定函数的定义域，分、、三种情况讨论，时，利用基本不等式求最值，比较函数值即可求解. 【详解】根据函数解析式有：，解得， 当时，有， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，， 当时，， 综上所述，当时，取得最大值. 故答案为： 9．已知，，且满足，则的最大值是 . 【答案】3 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为，，且满足，得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值是3. 故答案为：3. 10．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 【答案】100 【分析】利用基本不等式的变形，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 11．若正实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即， 令，则有， 解得， 又因为正实数，所以， 所以，即，所以， 故答案为: . 题型三：利用基本不等式求和的最小值 12．已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 13．若正数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为18. 故答案为：. 14．已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】由题意得，结合基本不等式即可得解. 【详解】已知正实数满足，则 ，等号成立当且仅当， 所以的最小值为18. 故答案为：18. 15．若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 16．已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 17．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 题型四：利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 18．函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 19．函数的值域是 . 【答案】 【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 所以， 所以函数的值域是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 20．当时，函数的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 22．的最大值为 . 【答案】 【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 题型五：利用基本不等式求条件等式求最值 23．若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 24．已知正实数x，y满足，则的取值范围 . 【答案】 【分析】令，则，应用基本不等式，将已知条件化为，注意等号成立条件，即可求范围. 【详解】由题设，令，则， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，则，即，可得， 时，，则时取得；时，，则时取得； 综上，. 故答案为： 25．设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，又，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】， ，当且仅当即，时等号成立， 则xy的最大值是, ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：； 26．已知，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题巧设，将题中复杂的二元问题巧妙进行了换元和消元成一元问题，即将所求因式变形为，再使用基本不等式即可求解. 【详解】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 27．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 28．已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，当且仅当时取等号， 即，时，有最小值. 故答案为：. 题型六：基本不等式中的恒成立问题 29．已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 .（写出一个即可） 【答案】1（，，，任一个都行，答案不唯一）. 【分析】先对进行变形，然后利用基本不等式求出其最小值，再根据恒成立的条件确定的取值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是， 因为恒成立，所以，， 又因为是正整数，所以，，. 故答案为：1（，，，任一个都行，答案不唯一）. 30．若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为、为正实数，所以， 所以由，可得， 又，当且仅当，即时取等号， 因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 31．若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先对一切正数x，y恒成立，进一步恒成立且不妨让，从而只需求出的最大值即可. 【详解】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立， 令，所以恒成立， 所以不妨让， 则 ，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，有最大值1， 所以的取值范围为. 故答案为：. 32．已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 33．存在正数，使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】分离参数再构造出，最后利用基本不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 故答案为：. 34．若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的最大值，由，运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值， 由 ，（当且仅当取得等号）， 则， 当，即时，， 故的最大值为． 即有． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：，根据得. 题型七：绝对值三角不等式 35．若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 36．若函数的最小值3，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】利用含绝对值三角不等式，即可求解. 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 37．关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 38．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案. 【详解】因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得： 则实数的取值范围是. 故答案为： 39．已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，由绝对值不等式可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为对一切实数x都成立，即， 又，所以，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 40．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03基本不等式及其应用 题型一：对基本不等式的辨析 题型二：利用基本不等式求积最大值 题型三：利用基本不等式求和的最小值 题型四：利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 题型五：利用基本不等式求条件等式求最值 题型六：基本不等式中的恒成立问题 题型七：绝对值三角不等式 题型一：对基本不等式的辨析 1．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 3．若正实数满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值2 D．有最小值 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 5．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 题型二：利用基本不等式求积最大值 6．若正实数，满足，则的最大值是 ． 7．已知正数，满足，则的最小值是 . 8．函数的最大值为 . 9．已知，，且满足，则的最大值是 . 10．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 11．若正实数满足，则的取值范围为 ． 题型三：利用基本不等式求和的最小值 12．已知，则函数的最小值为 ． 13．若正数满足，则的最小值为 ． 14．已知正实数满足，则的最小值为 ． 15．若，，且，则的最小值是 . 16．已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 17．已知，，且，则的最小值为 . 题型四：利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 18．函数的最小值为 . 19．函数的值域是 . 20．当时，函数的最小值为 . 21．求的最小值 . 22．的最大值为 . 题型五：利用基本不等式求条件等式求最值 23．若实数，满足，则的最大值为 . 24．已知正实数x，y满足，则的取值范围 . 25．设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 26．已知，则的最小值为 . 27．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 28．已知，，，则的最小值为 . 题型六：基本不等式中的恒成立问题 29．已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 .（写出一个即可） 30．若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 31．若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 32．已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 33．存在正数，使得不等式成立，则的最大值是 . 34．若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 题型七：绝对值三角不等式 35．若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 36．若函数的最小值3，则实数的值为 . 37．关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 38．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 39．已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 40．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$