专题01 不等式及其应用（比大小、求范围）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册

专题01 不等式及其应用（比大小、求范围） 目录 典例详解 类型一、判断不等式是否正确 类型二、利用作差法/作商法比较大小 类型三、利用不等式性质比较大小 类型四、利用不等式性质求范围 类型五、不等式的证明 压轴专练 类型一、判断不等式是否正确 判断不等式是否正确的步骤: 1．举反例； 2．利用不等式的性质比较大小。 例1.已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】 对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 变式1-1若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】 若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 变式1-2. 对于实数x，y，z，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例判断选项A、B、C不正确，由不等式的性质判断选项D，即可得正确选项. 【详解】 对于A：当时，可得不成立，故选项A不正确； 对于B：取，，满足，，故选项B不正确； 对于C：取，，满足，但，故选项C不正确； 对于D：因为，，所以.又因为，，所以， 所以，故选项D正确， 故选：D. 类型二、利用作差法/作商法比较大小 比较大小的步骤: 1．审清题意，明确作差法/作商法/中介法； 2．通分，比较大小。 例2．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)>，理由见解析 【分析】 （1）作差法比较大小； （2）作商法比较大小； 【详解】 （1） 理由：， 估算是，估算是， 所以， 因此. （2）> 理由： 因为 所以>. 变式2-1．若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D， 再用作差法比较B、C的大小，可得答案. （2）也可以令，取特殊值进行验证排除. 【详解】 方法一：∵且，∴，可排除A； 又，排除D； ∵， 即，排除B. 故选：C. 方法二：因为且，可取，. 则：，，因为. 故选：C. 变式2-2．已知实数x，y，z满足y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2，则x，y，z的大小关系是(　　) A． z≥y>x　　　 B．x>z≥y C．z>y>x     D．x>z>y 【答案】A 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】z－y＝4－4x＋x2＝(2－x)2≥0， 所以z≥y，将题中两式作差得2y＝2＋2x2，即y＝1＋x2. 因为1＋x2－x＝(x－)2＋>0，所以1＋x2>x， 所以y＝1＋x2>x.所以z≥y>x，选择A 类型三、利用不等式性质比较大小 不等式的性质： 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 a＋b>c⇔c－b<a 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 同正 例3．设，则下列选项中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】 对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：B 变式3-1．下列命题为真命题的是(　 　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【分析】利用不等式的性质推理判断BC；举例说明判断AD. 【详解】对于A，若a>b，取a＝1，b＝－2.则a2<b2错误． 对于B，若a>b，c<0.则ac<bc错误． 对于C，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d正确． 对于D，若a>b，c>d，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则ac＝bd错误．故选C. 变式3-2．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】 对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 类型四、利用不等式性质求范围 利用不等式解决范围问题 (1)减法转化为加相反数，除法转化为乘以倒数． (2)已知两个代数式的范围，可利用待定系数法和不等式的可加性求解． 例4．已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 变式4-1．已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为： . 变式4-2．已知实数a，b，满足，，则的范围是 【答案】 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得，所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 类型五、不等式的证明 不等式的证明 (1)利用作差法证明不等式． (2)利用作商法证明不等式．． 例5.不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可； （2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济. 【详解】（1）该不等式为 证明：因为，所以，于是. （2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为， 若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为， 又 ， 所以当时，两种方案一样； 当时，第二种方案比较经济. 一、解答题 1．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2.（2024高三·全国·专题练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 【答案】B 【分析】利用作差法分析判断即可 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 4.如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质依次判断即可 【详解】由，，可知，所以选项A正确； 由，得，无法比较与的大小，所以与无法比较大小，选项B错误； 由，，无法比较与的大小，所以也不一定成立，选项C，D错误． 故选：A 5. 下列几种说法中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 6.若，则在以下不等关系中：①；②；③；④.正确的有 .（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对于①②③，利用不等式性质和赋值法即可判断是否正确；对于④，利用作差法即可判断是否正确. 【详解】因为，，所以，故①正确； 由，不妨令，，则此时，故②错误； 由，(i)若，则成立； (ii)若，显然成立； (iii)若，则，从而成立；故③正确； 因为，所以， 故④正确. 故答案为：①③④ 7.对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 【答案】②③⑥⑦⑧ 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法、作差法逐项判断，可得出结果. 【详解】对于①，取，则，①错； 对于②，若，则，由不等式的基本性质可得，②对； 对于③，若，则，，即，③对； 对于④，若，则，由不等式的基本性质可得，即，④错； 对于⑤，若，则，即，⑤错； 对于⑥，若，则，即，⑥对； 对于⑦，因为，则，， 所以，，即，⑦对； 对于⑧，若，，所以，，则，⑧对. 故答案为：②③⑥⑦⑧. 8.已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】由作差法比较大小即可. 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 9．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式式性质计算即可. 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 10.已知实数a，b满足，，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即． 11.已知实数a，b满足，，则a+b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可. 【详解】设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 13．（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据不等式的基本性质求证即可； （2）利用作差法比较大小即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 又，所以. （2）由题意， ， 因为，， 所以，，，， 所以， 即，当且仅当时，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式及其应用（比大小、求范围） 目录 典例详解 类型一、判断不等式是否正确 类型二、利用作差法/作商法比较大小 类型三、利用不等式性质比较大小 类型四、利用不等式性质求范围 类型五、不等式的证明 压轴专练 类型一、判断不等式是否正确 判断不等式是否正确的步骤: 1．举反例； 2．利用不等式的性质比较大小。 例1.已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 变式1-1若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． B． C． D． 变式1-2. 对于实数x，y，z，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型二、利用作差法/作商法比较大小 比较大小的步骤: 1．审清题意，明确作差法/作商法/中介法； 2．通分，比较大小。 例2．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 变式2-1．若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 变式2-2．已知实数x，y，z满足y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2，则x，y，z的大小关系是(　　) A． z≥y>x　　　 B．x>z≥y C．z>y>x     D．x>z>y 类型三、利用不等式性质比较大小 不等式的性质： 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 a＋b>c⇔c－b<a 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 同正 例3．设，则下列选项中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3-1．下列命题为真命题的是(　 　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若a>b，c>d，则ac>bd 变式3-2．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 类型四、利用不等式性质求范围 利用不等式解决范围问题 (1)减法转化为加相反数，除法转化为乘以倒数． (2)已知两个代数式的范围，可利用待定系数法和不等式的可加性求解． 例4．已知，则代数式的取值范围为 ． 变式4-1．已知，则代数式的取值范围为 ． 变式4-2．已知实数a，b，满足，，则的范围是 类型五、不等式的证明 不等式的证明 (1)利用作差法证明不等式． (2)利用作商法证明不等式．． 例5.不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题： (1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式 (2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由. 一、解答题 1．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（2024高三·全国·专题练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，大小不确定 3．（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 4.如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5.下列几种说法中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.若，则在以下不等关系中：①；②；③；④.正确的有 .（填序号） 7.对于实数、、中，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则﹔ ⑥若，则﹔ ⑦若﹐则； ⑧若，，则，． 其中正确的命题是 ． 8.已知，，设，，则与的大小关系为 ． 9．若，则的取值范围为 ． 10.已知实数a，b满足，，则a的取值范围为 ． 11.已知实数a，b满足，，则a+b的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 13．（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$