第2章 常用逻辑用语（复习讲义）数学苏教版2019必修第一册

第二章 常用逻辑用语（复习讲义） 1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立； 数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立； 数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 判断命题的真假 【例1】（多选）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 【变式1-1】给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 题型二 根据命题的真假求参数 【例2】在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题． 设全集是实数集R,，， (1)当时，求、； (2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分． 【变式2-1】（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式2-3】已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 题型三 判断充分性与必要性 【例3】“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式3-1】已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 根据充分性与必要性求参数 【例4】已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式4-1】已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式4-2】已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式4-3】已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 题型五 判断全称（存在）量词命题真假 【例5】．下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．④⑤ 【变式5-1】若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【变式5-2】已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【变式5-3】设有下面四个命题： 是质数； ： ； . 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 全称（存在）量词命题的否定 【例6】已知命题：，则命题的否定为（ ） A． B． C． D．， 【变式6-1】已知命题：，，那么是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 题型七 根据命题的真假求参数 【例7】存在，使得，则的最大值为 ． 【变式7-1】已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若命题“”是真命题，则不能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-3】若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【变式7-4】若命题为真命题，则m的取值范围为 . 基础巩固通关测 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 9．（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 11．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 12．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 13．已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 能力提升进阶练 1．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 3．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 4．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 5．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 7．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 8．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 常用逻辑用语（复习讲义） 1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立； 数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立； 数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 判断命题的真假 【例1】（多选）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 【答案】BC 【分析】根据已知若p ,则q 为真命题，再结合集合间的基本关系判断各个选项即可. 【详解】设p:语文好，q:上本科， 由题意，若p ,则q 为真命题， 如果将语文好的学生定义为集合P ,上本科的学生定义为集合Q，则是的子集，A选项错误； 或许存在，但不在集合内，即上本科语文不一定好， B 正确；语文不好，上本科,D错误； 因为是的子集，则的补集是补集的子集，因此可以说不上本科的语文一定不好，C 正确； 故选：BC . 【变式1-1】给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 【变式1-2】下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含与不包含的定义，利用反例，可得答案. 【详解】对于①，因集合A，B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题； 对于②，因集合A，B满足⊈B，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题； 对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题. 所以①②是真命题. 故选：B. 【变式1-3】下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 题型二 根据命题的真假求参数 【例2】在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题． 设全集是实数集R,，， (1)当时，求、； (2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2)若选①；若选② 【分析】（1）基本的集合的交集，并集运算； （2）若选①，即，则； 若选②，即，，则． 【详解】（1），． 当时， 则，． （2）若选①，即，则， 若选②，则，则，， 则． 【变式2-1】（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 【变式2-2】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-3】已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 题型三 判断充分性与必要性 【例3】“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】求解不等式，根据充分必要条件的定义求解即可. 【详解】由，解得或， 所以能得出，但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【变式3-1】已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 【变式3-2】已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式3-3】如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 题型四 根据充分性与必要性求参数 【例4】已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【变式4-1】已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【变式4-2】已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 【变式4-3】已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 题型五 判断全称（存在）量词命题真假 【例5】．下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．④⑤ 【答案】B 【分析】对于①⑥，利用分析判断，对于②③④⑤举例判断即可. 【详解】对于①，因为时，，所以，所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，所以③正确； 对于④，，所以④错误； 对于⑤，当时，，所以⑤错误； 对于⑥，，所以⑥错误. 故选：B 【变式5-1】若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【详解】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 【变式5-2】已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【答案】B 【分析】由可得是假命题，进而由存在量词的否定可得. 【详解】因为， 所以方程无实数根，则是假命题， ，． 故选：B 【变式5-3】设有下面四个命题： 是质数； ： ； . 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据量词的意义，分别判断命题. 【详解】：当时，为质数，故是真命题； 当时，，故是假命题； 不存在，，故是假命题； 当时，，故是假命题. 故选：A 题型六 全称（存在）量词命题的否定 【例6】已知命题：，则命题的否定为（ ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出结论即可. 【详解】命题：，是一个全称量词命题， 说明对任意的正数，使成立， 则它的否定是：存在正数，使成立， 所以，命题的否定为为：，. 故选：D. 【变式6-1】已知命题：，，那么是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定形式是全称量词命题，即可求解. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：，，那么是，. 故选：B 【变式6-2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知： 命题“”的否定是. 故选：B. 【变式6-3】命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的否定的定义判断即可． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题“”的否定为. 故选：B． 题型七 根据命题的真假求参数 【例7】存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过构造二次函数，根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置求出二次函数的最大值，结合存在命题的性质进行求解即可. 【详解】设，因为存在，使得， 所以当时，函数的最大值为非负实数， 该二次函数的对称轴为， （1）若时，即时， 函数在上，随的增大而减小， 所以有，即函数有最大值， 即，即； （2）若时，即时， 函数在上，随的增大而增大， 所以有，即函数有最大值， 即，而，此时没有满足条件的实数； （3）若时，即时， 若时，即时， 此时当时，函数有最大值，则有，即； 若时，即时， 此时当时，函数有最大值，则有，即， 综上所述：，因此的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据所给的区间和二次函数对称轴的相对位置进行分类讨论求二次函数的最大值. 【变式7-1】已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】若命题“”是真命题，则不能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据命题为真分离参数求得在上的最大值，可得结果. 【详解】由，可得， 即. 故选：D. 【变式7-3】若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 【变式7-4】若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 基础巩固通关测 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 2．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 4．某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合， 故. 故选：C 5．命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 6．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分或分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 7．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 8．（多选）下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 9．（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 10．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求解含绝对值的不等式，根据充分不必要条件得到集合之间的包含关系，再列式求解参数范围即可. 【详解】不等式，即，因此解集为， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意. 故答案为：. 11．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 12．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，再由真子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. （3）由命题“，则”是真命题可得，分类讨论和，再由子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 又，， 因此或， 解得:. 所以实数的取值范围为. （3）命题“，则”是真命题，则有, 当时，，解得，符合题意，因此 当时，而， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 13．已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 能力提升进阶练 1．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 2．已知A，B为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有.对于下列两个命题：①若，则；②若，则其中判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】由已知，设，， 若，此时(没有满足对任意，有)，而， 若(仅满足)，但，所以不包含，故命题①错误； 设，，，此时满足， 若(和均满足)，但，所以不包含于， 故命题②错误. 故选：B． 3．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 4．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 5．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于，定义， ∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确； 对于②，若，则，则且，或且，或且；； 若，则，则且； ； ∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确； 对于③，例如：，当时，；；； 故③错误； ∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 7．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 8．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$