第2章 常用逻辑用语（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

第二章 常用逻辑用语 清单01 命题、定理、定义 1.命题的定义：在数学中，我们把用 叫作命题． 注：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 真命题： 假命题： 3.命题的一般形式： “若p，则q”，其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 ． 注：确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 4.定理的概念： 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 5.定义的概念： 在数学中，定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 定义的特点：用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别。如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述。 清单02充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 清单03充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的 ； （3）若且，则是的 ； （4） 若，则是的 ； （5）若且，则是的 . 清单04从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 清单05全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言： . ②全称量词命题的否定： . 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言： . ②存在量词命题的否定： . 易错点1 充分必要性中“的”字倒装 错误：的充分不必要条件是，容易弄混了谁推出谁 注意：的充分不必要条件是且 例题1-1“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 例题1-2（多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 易错点2最高项系数含参数，容易忽略系数为0 错误：对于不等式，容易忽略考虑 注意：，要注意考虑全面①② 例题2-1已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2-2．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 易错点3给定的区间是非区间，不能用判别法 错误：若一元二次不等式在某个区间上恒成立或有解时，容易直接用法致错 注意：若一元二次不等式在某个区间上恒成立或有解时，建议优先考虑变量分离法 例题3-1已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 例题3-2若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 1．使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 3．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 5．命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 9．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 10．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 11．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 常用逻辑用语 清单01 命题、定理、定义 1.命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 注：命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 2.命题的分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 3.命题的一般形式： “若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． 注：确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 4.定理的概念： 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 5.定义的概念： 在数学中，定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 定义的特点：用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别。如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述。 清单02充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 清单03充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 清单04从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 清单05全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 易错点1 充分必要性中“的”字倒装 错误：的充分不必要条件是，容易弄混了谁推出谁 注意：的充分不必要条件是且 例题1-1“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 例题1-2（多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【分析】先化简不等式，再根据充分不必要条件判断即可. 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 易错点2最高项系数含参数，容易忽略系数为0 错误：对于不等式，容易忽略考虑 注意：，要注意考虑全面①② 例题2-1已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 例题2-2．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 【答案】 【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围即可. 【详解】由题意可知，命题“”的否定是“”， 且是真命题，所以或解得， 所以实数的取值集合是． 故答案为： 易错点3给定的区间是非区间，不能用判别法 错误：若一元二次不等式在某个区间上恒成立或有解时，容易直接用法致错 注意：若一元二次不等式在某个区间上恒成立或有解时，建议优先考虑变量分离法 例题3-1已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可. 【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题， 即在上恒成立，令，则， ，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 故选：A 例题3-2若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若",使得成立"是假命题，即"，使得成立"是假命题，因此命题的否定"，使得成立"是真命题，根据基本不等式即可求出的最小值，由此可得的取值范围. 【详解】若",使得成立"是假命题, 即"，使得成立"是假命题, 故恒成立, 因此只需 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以 故选:. 1．使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误. 【详解】已知，化简得或， 解得， 则使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集， 则只有符合题意. 故选：D. 2．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 3．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 4．“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 5．命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 6．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 7．命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原命题否定，然后由此命题为真命题可求出的取值范围所组成的集合，再求出此集合的真子集即可. 【详解】命题“，”为假命题， 命题“，”为真命题， 当时，成立； 当时，需满足，方程的，解得， 故的取值范围是，要满足题意，则选项是集合的真子集，故选项B满足题意. 故选：B. 8．若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将真命题转化为恒成立问题，结合基本不等式得出参数的最大值即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以恒成立， 所以， 因为，当且仅当时，的最小值为， 所以， 所以实数的最大值为. 故选：C. 9．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可． 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小值是． 故选：D. 10．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 11．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 12．（多选）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$