精品解析：广东省深圳市龙华区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

龙华区中小学2024-2025学年第二学期期末学业质量评估试卷 八年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 对称性不仅是数学的美学体现，更是生物适应环境的“最优解”．下列生物的外轮廓同时具备轴对称性和中心对称性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列的值是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（ ） A. 三条中线交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条边垂直平分线的交点 6. 藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想．如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（ ） A B. C. D. 7. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面内将一块含三角板向右平移得到，若，则边扫过的面积与边扫过的面积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 因式分解：______． 10. 已知A、B两地相距10千米，甲从A地到B地步行需要小时，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时，则乙的速度可表示为__ 千米/时． 11. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 12. 如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，．若，则的长度为_______． 13. 如图，是等边内一点，，，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解不等式组． （2）先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段的两个端点都在小方格的格点上，根据下列要求用无刻度直尺作图： （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段； （2）平移线段至线段，使得点A与点重合，连接，； （3）直线将四边形分成了全等的两个部分，这样的直线还有很多，请再画出两条符合条件的直线． 16. 如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 17. 小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． （1）科普书和文学书的单价各是多少元？ （2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 18. 如图，在中，于点．请用尺规作图在上求作一点，连接，，使得四边形是平行四边形． （1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在上作．点即所求． 过点作于点．点即为所求． 作图痕迹 我选择思路_____，理由如下： （2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． 19. 数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当时，． 【提出问题】当时，与存在怎样的大小关系? 【特例分析】（1）给分别赋予不同的数值，通过计算，判断与的大小关系． 请完成下面的表格： ... 3 4 5 ... ... 3 5 6 ... _____（填“>”，“<”，“=”） ... < _____ < ... 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当时，_______． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设，其中，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证． 如图，在长方形中，．请在长方形中，用画阴影的方法表示面积为的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到… 思路二：对多项式进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙华区中小学2024-2025学年第二学期期末学业质量评估试卷 八年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 对称性不仅是数学的美学体现，更是生物适应环境的“最优解”．下列生物的外轮廓同时具备轴对称性和中心对称性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，结合图形找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：A、有对称轴，具备轴对称性，没有对称中心，不具备中心对称性，不符合题意； B、没有对称轴，不具备轴对称性，没有对称中心，不具备中心对称性，不符合题意； C、有对称轴，具备轴对称性，没有对称中心，不具备中心对称性，不符合题意； D、有对称轴，具备轴对称性，有对称中心，具备中心对称性，符合题意； 故选：D ． 2. 下列的值是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法，解不等式，即可求解，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法． 【详解】解：， 解得：． 则是不等式的解． 故选：A． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令分式的分子为0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，解题的关键是熟练掌握“分式的值为0，则分子等于0，分母不为0”． 4. 将图①沿虚线剪开后，拼成如图②所示的长方形，据此写出一个多项式的因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果． 【详解】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式， 故可排除选项C，D； 由图①的面积为，图②的面积为， 则， ∴可排除选项B； 故选：A． 5. 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 6. 藻井作为中国传统建筑中独特的穹顶装饰构件，其造型融合宇宙观，仅用于最高等级建筑，并巧妙结合五行思想．如图是外轮廓为正八边形的“蟠龙藻井”图案，这个正八边形的每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键；根据多边形内角和公式列式计算即可解答． 【详解】解：“蟠龙藻井”的图案其外轮廓为正八边形， 这个正八边形的每个内角的度数为． 故选：D． 7. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 8. 如图，在平面内将一块含的三角板向右平移得到，若，则边扫过的面积与边扫过的面积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，过点B作于点G，延长交于点H，根据平移的性质可得，求出，根据，求出，进而得到，设，根据直角三角形的性质求出，再计算出边扫过的面积与边扫过的面积即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点G，延长交于点H， 由平移的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴边扫过的面积为，边扫过的面积为，， ∴边扫过的面积与边扫过的面积之比为． 故选：B． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键． 10. 已知A、B两地相距10千米，甲从A地到B地步行需要小时，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时，则乙的速度可表示为__ 千米/时． 【答案】 【解析】 【详解】根据“速度=路程时间”列出代数式即可． 解：A、B两地之间的距离是：10千米， 乙骑自行车需要的时间是：（t−1）小时， 则乙的速度可表示为：千米/时． 故答案是：. 11. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据不等式组的解集可知，据此可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴， ∴符合条件的a的值为：1， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，将两个完全相同直角三角形纸板叠放在一起，．若，则的长度为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题知，则可得，进而可得，在中，，则，设，则，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． 本题主要考查了直角三角形的性质：三角形中的角所对的边等于斜边的一半，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴． 故答案为：1． 13. 如图，是等边内一点，，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕着C点顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，则可得，进而可得，，由此得，进而可得，求出的面积即可知的面积． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转构造法，三角形的面积计算．通过旋转构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕着C点顺时针旋转至，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵又， ∴， 作于F点， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解不等式组． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1） 解不等式①得 解不等式②得 原不等式组的解集为； （2） 当时，原式． 15. 如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段的两个端点都在小方格的格点上，根据下列要求用无刻度直尺作图： （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段； （2）平移线段至线段，使得点A与点重合，连接，； （3）直线将四边形分成了全等的两个部分，这样的直线还有很多，请再画出两条符合条件的直线． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）以点B为旋转中心，将线段逆时针旋转，即可得到线段； （2）将线段平移至线段，使得点A与点重合，确定点C的位置，再连接，即可； （3）连接交于O点，则四边形是平行四边形，过O点任意作两条直线、即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 小问3详解】 解：如图，直线、即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移作图、旋转作图以及平行四边形性质：过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线将平行四边形分成了面积相等的两部分．熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】解法一：过点A作交于点．根据“等腰三角形三线合一”可得，，进而可得 ； 解法二：根据等边对等角可得，，进而可得，再根据证明即可得． 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 【详解】猜想：； 解法一：过点A作交于点． ，， ． ，， ， ， ． 解法二：， ， ， ， ， 即． 在和中 ， ， ． 17. 小亮计划去书店为全班50名同学各买一本课外书，从书店店员处了解到，科普书的单价是文学书的单价的1.5倍，若用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本． （1）科普书和文学书的单价各是多少元？ （2）若小亮可以使用的经费不超过700元，则至多购买多少本科普书？ 【答案】（1）文学书的单价为10元，科普书的单价为15元 （2）40本 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设文学书的单价为元，则科普书的单价为元．用150元分别购买这两种书，所买的科普书比所买的文学书少5本．据此列出分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购买a本科普书．小亮可以使用的经费不超过700元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设文学书的单价为元，则科普书的单价为元． 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． ． 答：文学书的单价为10元，科普书的单价为15元． 【小问2详解】 解：设购买a本科普书． 依题意得：， 解得：， 是非负整数， 的最大值为40． 答：至多购买40本科普书． 18. 如图，在中，于点．请用尺规作图在上求作一点，连接，，使得四边形是平行四边形． （1）某数学小组经过讨论，得到如下两种作法，请选择其中一种作法说明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 在上作．点即为所求． 过点作于点．点即为所求． 作图痕迹 我选择思路_____，理由如下： （2）请你用不同于（1）中的尺规作图方法求作出点（保留作图痕迹，不写作法），并说明作法的正确性． 【答案】（1）详见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图等知识，关键是掌握基本的尺规作图，平行四边形的判定与性质； （1）思路一：根据平行四边形的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； 思路二：先证明，然后根据证明，得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）答案一：连接交于点O，以O为圆心，为半径画弧，交于Q，连接，，即可；根据平行四边形的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； 答案二：以C为顶点，为边，在左侧作，交于Q，连接，，即可；根据证明，得出，，然后证明，最后根据平行四边形的判定即可得证. 【小问1详解】 解：选择思路一，理由如下： 连接交于点O， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ， 四边形为平行四边形； 选择思路二：理由如下： ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， （）， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：答案一：如图，连接交于点O， 由作图痕迹可知：， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形. 答案二： 解：如图，由作图痕迹可知：， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当时，． 【提出问题】当时，与存在怎样的大小关系? 【特例分析】（1）给分别赋予不同的数值，通过计算，判断与的大小关系． 请完成下面的表格： ... 3 4 5 ... ... 3 5 6 ... _____（填“>”，“<”，“=”） ... < _____ < ... 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当时，_______． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设，其中，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形面积关系来直观验证． 如图，在长方形中，．请在长方形中，用画阴影的方法表示面积为的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到… 思路二：对多项式进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；②见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，多项式乘多项式与图形面积，因式分解，分式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）将代入计算出和，比较大小即可； （2）根据特例分析进行猜想即可； （3）①利用多项式乘多项式法则计算出，比较大小即可；②根据多项式乘多项式与图形面积的关系求解； （4）利用不等式的性质、因式分解、分式的性质分别计算即可． 【详解】解：（1）时，，， ， 故答案为：； （2）根据特例分析，猜想：当时，， 故答案为：； （3）①，且， ， 即. ②答案一： 答案二： 答案三： 答案四： 答案五： 答案六： （说明：答案不唯一，除上述六种答案外还有其他正确做法，任画一种均可.阴影部分只需表示出，无论是涂黑、点、斜线之类均可.） （4）思路一： ， ， ， ， ， ； 思路二： ， ， ， ， ， 即， ； 思路三： ， ， ， ， ，即， ， ． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【解析】 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$