第一章 空间向量与立体几何（单元测试·提升卷）数学高二人教A版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 2．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（  ） A．存在点，使平面MBN B．MN与PB为异面直线 C．线段QR的最小值是2 D．经过M，B，C，N四点的球的表面积为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 13．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分） 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 19．（17分） 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 2．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（  ） A．存在点，使平面MBN B．MN与PB为异面直线 C．线段QR的最小值是2 D．经过M，B，C，N四点的球的表面积为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 13．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分） 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 19．（17分） 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 2．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 3．已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 4．已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：   ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 5．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 6．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 7．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 8．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（  ） A．存在点，使平面MBN B．MN与PB为异面直线 C．线段QR的最小值是2 D．经过M，B，C，N四点的球的表面积为 【答案】ABD 【分析】对A，为的中点，根据以及线面平行判定定理可得；对B，通过，而可得；对C，建系，求解线段的长度；对D，建系，求得球心的坐标，然后根据球的表面积公式计算即可. 【详解】对A，存在，当为的中点时，平面MBN，如图，连接， 由M，N，P分别是的中点，所以， 由平面，平面，所以平面，正确； 对B，如图，连接 由，而，分别在两个平行的平面内，所以MN与PB为异面直线，正确； 对C，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设点，，则，，， 所以点的坐标为， 所以， 所以当，时，取最小值，最小值为，C错误； 对D，设经过M，B，C，N四点的球的球心坐标为， 所以， 所以球的半径为， 所以球的表面积为，正确. 故选：ABD 11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 13．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对①，根据高和底面均为定值可判断；对②，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对③，建系，利用夹角公式进行判断；对④，表示出点到直线的距离，然后用面积公式计算判断. 【详解】对①，点到平面的距离是定值，为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确； 对②，将平面沿着旋转到平面，如图： ，，则， 所以，， 所以， ，正确； 对③，建立空间直角坐标系： ，设， 所以， 若与所成的角为45°，则（舍）， 所以存在点E，使得与所成的角为45°，错误； 对④，设，， 所以，点到直线的距离为， 由，当时，有；当时，有. 所以面积，正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 16．（15分） 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，即证，利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，最后由利用夹角公式即可求解． 【详解】（1）取的中点为，连接， 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形， 所以，，， 所以，，所以， 所以平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以， 所以， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得到结果. （2）利用面面夹角的向量求法即可求得结果. 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 18．（17分） 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值； （3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得. 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 19．（17分） 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【详解】（1）因为， 所以圆台的侧面积为； （2）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3）延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A A B D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，.（2分） 因为，， 所以，.（4分） 因为，平面，，（5分） 所以平面.（6分） （2）由（1）得是平面的一个法向量，.（8分） 设直线与平面所成的角为， 则，（11分） 故，（12分） 则直线与平面所成角的正弦值为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）取的中点为，连接，（1分） 由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形，（2分） 所以，，，（3分） 所以，，所以，（4分） 所以平面平面，（5分） 所以平面，（6分） 又平面，所以平面平面；（7分） （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（8分） 当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上，（10分） 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以，（11分） 所以，（12分） 设直线与直线所成角为， 所以，（14分） 所以直线与直线所成角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形，（1分） 则，，又，故，（3分） 因为平面，平面，所以，（4分） 又因为，，平面，平面，（5分） 所以平面，（6分） 又平面，所以平面平面（7分） （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，，（8分） 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，，（10分） 故平面的一个法向量为，（11分） 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故，（13分） 设平面与平面的夹角为，则，（14分） 综上，平面与平面的夹角的余弦值为（15分） 18．（17分） 【详解】（1）取中点为，连接，， ，，（1分） ，，（2分） 又，、平面， 平面，又平面，（3分） ．（4分） （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，（6分） ，，，，， ，，，（7分） 设平面的法向量为，则， 取，得，（9分） ，（10分） 设直线与平面所成角为，则，（11分） 又， 直线与平面所成角的余弦值为.（12分） （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，，（13分） 设，则，则，，（14分） 故，（15分） 或（舍），（16分） 又， ．（17分） 19.（17分） 【详解】（1）因为，（1分） 所以圆台的侧面积为；（3分） （2）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以，（4分） 在等腰梯形中，，（5分） 所以， 所以四边形为平行四边形，（6分） 所以，又平面，平面，（7分） 所以平面；（8分） （3）延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则，（8分） 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则，（9分） 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，（11分） 则有：，（13分） 令，则，（14分） 当时，，此时，（15分） 当时，，（16分） 当且仅当，即时取等号，（17分） 综上所述，的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$