第一章 三角形（复习课件）数学鲁教五四制2024版七年级上册

单元复习课件 第一章 三角形 鲁教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3.理解并灵活运用三角形全等的知识解决复杂问题，设计和实施测量方案，培养解决实际问题的能力，总结学习方法和解题技巧，提升综合运用知识的能力。 2.掌握三角形全等的条件，能够判断和证明三角形全等，利用全等三角形的性质进行几何证明和计算，解决实际问题，如测量距离。 1.了解三角形的基本概念和性质，掌握三角形的分类（按边和角分类）及其基本性质。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 三角形及其内角和定理 考点二 三角形三边关系 考点三 三角形的中线、角平分线、高 考点四 全等三角形的性质及其判定 考点五 三角形的尺规作图 考点六 利用三角形全等测距离 考点串讲 顶点 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 1.三角形： 2.三角形要素： 角 边 3.三角形内角和的证明： A B C 2 4 1 5 3 　 l 一 . 三角形及其内角和定理 直角三角形两锐角互余 （1）直角三角形性质、判定 三角形两锐角互余，则三角形为直角三角形 A B C （2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. A B C D ( ( ( 4. 三角形的分类 腰和底不等的等腰三角形 按边分 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 按角分 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 考点二 三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边. 三角形任意两边的差小于第三边. C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 考点三 三角形的中线、角平分线、高 2、三角形的三条角平分线线交于一点 1.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 3、锐角三角形的三条高交于同一点，在三角形的内部. 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，在三角形的外部. 考点四 全等三角形的性质 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2、全等三角形的对应角相等. 3、全等三角形边上的高、中线、对应角的角平分线相等. 4、全等三角形的周长、面积相等. 考点串讲 考点四 全等三角形的判定 条件个数 条件类型 图形举例 三角形是否一定全等 只给一个条件 一个角 一条边 只给两个条件 一边一角 两条边 两个角 不一定 不一定 不一定 不一定 不一定 只给三个条件 三条边 两角一边 两边一角 考点四 全等三角形的性质及其判定 不一定 一定全等 一定全等 一定全等 一定全等 不一定 考点五 三角形的尺规作图 尺规作图的一般步骤： （1）已知，即将条件具体化； （2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； （3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出 草图）； （4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次 叙述作图过程. （5）说明，即验证所作图形的正确性；通常省略不写． 考点六 利用三角形全等测距离 题型一 三角形及其内角和定理 例1、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1:2:3，试判断△ABC 的形状，并说明理由。 解:△ABC 是直角三角形。理由如下: 因为∠A ：∠B ：∠C = 1 : 2 : 3，所以可以设∠A ，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°。 因为∠A +∠B+∠C=180°， 所以x + 2x + 3x = 180， 解得x = 30。所以 ∠A =30°，∠B=60°，∠C=90°， 所以 △ABC 是直角三角形。 题型剖析 题型一 三角形及其内角和定理 例2 在△ABC中,∠A-∠B=30°,∠C=4∠B,求∠A,∠B,∠C的度数. 【解析】设∠B=x,则∠C=4x, 因为∠A-∠B=30°,所以∠A=30°+x①, 因为∠A+∠B+∠C=180°, 所以∠A+x+4x=180°②, 由①②得,30°+x+x+4x=180°, 解得x=25°, 所以∠A=30°+25°=55°, ∠B=25°,∠C=4x=4×25°=100°. 题型剖析 例3 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 题型一 三角形及其内角和定理 题型剖析 题型二 三角形三边关系 例1 现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 B 题型剖析 题型二 三角形三边关系 例2．（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 . 解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6， ∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15； ②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立； ∴此等腰三角形的周长是15． 15 题型剖析 （2）一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两边长. 解：①底边长为6cm，则腰长为：（20-6）÷2=7，所以另两边的长为7cm，7cm，能构成三角形； ②腰长为6cm，则底边长为：20-6×2=8，底边长为8cm，另一个腰长为6cm，能构成三角形． 因此另两边长为8cm、6cm或7cm、7cm． 答：这个等腰三角形的其它两边的长为8cm、6cm或7cm、7cm． 题型三 三角形的中线、角平分线、高 例1 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝ ∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 D 题型剖析 例2 如图 AD, 是△ABC 的中线，AF⊥BC，垂足是点 F。 （1）AF 是图中哪几个三角形的高？ （2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由。 解：（1）AF 是△ABC ，△ABD，△ABF，△ADF， △ADC 和 △AFC 的高。 （2）△ABD 与△ACD 的面积相等。理由如下： 因为 BD = DC， 所以 BD·AF = DC·AF。 由三角形的面积公式可知，△ABD 与△ACD 的面积相等 A B C F D 题型剖析 例3 在中，为边上的高， ， ，则 的度数是___________。 解：根据题意，分两种情况讨论： ①高在三角形内部，如图①所示： 因为为边 上的高， ， 所以 。 因为 ， 所以 ； ②高在三角形外部，如图②所示： 为边 上的高， ， 所以 。 因为 ， 所以 或 题型剖析 题型四 全等三角形的性质 例1 如图，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2． （1）求AC的长度； （2）试说明CE∥BF． 解：（1）∵△ACE≌△DBF， ∴AC=BD，则AB=DC， ∵BC=2，∴2AB+2=8. ∴AB=3，∴AC=3+2=5. （2）∵△ACE≌△DBF， ∴∠ECA=∠FBD， ∴CE∥BF． 题型剖析 题型五 全等三角形的判定 例1 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． B C A D 分析：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定． 证明： 在△ABC和△DCB中， ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. 题型剖析 例2 如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加条件 ，所以 △AOC≌△BOD 理由是 . A O D C B ∠C=∠D AAS 或∠AOC=∠BOD 或ASA 题型剖析 例1 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形. 已知：线段 c，∠α ，∠β. β 求作△ABC，∠A =∠α ，∠B =∠β，AB = c. α 题型六 三角形的尺规作图 题型剖析 作法： （1）作∠DAF=∠α． A F D （2）在射线AF上截取线段AB=c； A D F B （3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C，连接BC．则△ABC就是所求作的三角形． C A B D F E 题型剖析 题型七 利用三角形全等测距离 利用三角形全等测量池塘两端的距离 A B D C 在△ADB和△CDB中 方案一： ∵ ∠ADB = ∠CDB BD = BD ∠DBA =∠DBC ∴ △ADB≌△CDB(ASA) ∴ AB = BC 方法： 通过垂直构造全等三角形 题型剖析 利用三角形全等测量池塘两端的距离 方案二： · C D · B A 在△ABC和△DEC中 (SAS) 方法 通过等倍延长线构造全等三角形 题型剖析 利用三角形全等测量池塘两端的距离 A B A · · C D 方案三： 方法 通过平行线性质构造全等三角形 题型剖析 1、如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. A B C D 针对训练 2、如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 针对训练 3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 针对训练 【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A ． 针对训练 4、如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°， ∠ACP＝30°，求∠A的度数． E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 针对训练 5、如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（    ） A．6 B．13 C．14 D．15 C 6、 已知△ABC中的两条边长分别为3和5，则第三边c的取值范是________ 2＜c＜8 7、在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为　　． 9cm 针对训练 8、AM是△ABC的中线，求证：AM＜ 证明：延长AM到点D，使MD＝AM，连接BD， 易证△AMC与△BMD全等， ∴BD＝AC， 在△ABD中，AD＜AB+BD， ∴2AM＜AB+BD， ∴2AM＜AB+AC， ∴AM＜ 针对训练 9、下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 针对训练 10、△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　）             B． A．            D． B． C． D 针对训练 11、如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（       ）   A．点D B．点E C．点F D．点G A 针对训练 12.如图，在中， ， 。 （1）试说明：是 的高； （2）如果，，，求 的长。 (1)解：因为 ， 所以 。 所以 ，即 。 所以是 的高。 (2)解：因为 ， 是 的高， 所以 。 因为，， ， 所以 针对训练 13、如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°． （1）求∠B； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由． 解：（1）∵△ABD≌△ACD， ∴∠B=∠C， 又∵∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°； （2）AD⊥BC． 理由：∵△ABD≌△ACD， ∴∠BDA=∠CDA， ∵∠BDA+∠CDA=180°， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AD⊥BC． 针对训练 14、已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( ) A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B. ∠A= ∠ D，∠ B= ∠ E，AC=DF C.AB=DE，AC=DF，∠A= ∠D D.AB=DE，BC=EF，∠ C= ∠ F D 针对训练 15、如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是 _____________。(只需添加一个你认为适合的条件) AB=DC ∠A=∠D ∠1=∠2 SAS AAS ASA 针对训练 16.(1)如图所示，已知∠B=∠C ，请你添加一个条件 ，依据 使得△ABC≌△ABD E D C B A AB=AC SAS 针对训练 (2)如图所示，已知∠B=∠C ，请你添加一个条件 ，依据 使得△ABC≌△ABD E D C B A AB=AD AAS 针对训练 (3)如图所示，已知∠B=∠C ，请你添加一个条件 ，依据 使得△ABC≌△ABD E D C B A BD=CE AAS 针对训练 (4)如图所示，已知∠B=∠C ，请你添加一个条件 ，依据 使得△ABC≌△ABD E D C B A ASA ∠ACE=∠ABD 针对训练 17.利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ） A.已知三边 B.已知两边及夹角 C.已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角 D 针对训练 18.利用尺规不可作的直角三角形是（ ） A.已知斜边及一条直角边 B.已知两条直角边 C.已知两锐角 D.已知一锐角及一直角边 C 针对训练 19.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9 cm，则容器的内径A′B′为( ) A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 11 cm B 针对训练 20、为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，使点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角 ∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得旗杆与楼之间距离DB=33米，楼高AB= 米. 8米 8米 38° 52° 25米 33米 25 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $$