精品解析：四川省成都市高新区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准者证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员收回答题卡． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列正多边形中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值是0，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 7. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 7 C. 5 D. 3.5 8. 下列说法正确的是（ ） A. 六边形的外角和大于五边形的外角和 B. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段可能垂直 C. 三角形的三条角平分线和交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中有一个内角大于60° 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 在平面直角坐标系中，点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是_________． 10. 若分式有意义，则的取值范围是_________． 11. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 12. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 13. 如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. （1）解不等式组 （2）解方程：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，顶点A，B，C的坐标分别为，，． （1）将沿射线BA的方向平移线段BA的长度，画出平移后的（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应）； （2）将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的（点A与点M对应，点C与点N对应）； （3）求点F与点M之间的距离． 17. 如图，在中，O是对角线的中点，在的延长线上取点E，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长及的面积． 18. 在，，，点D在平面内，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到． （1）如图1，当时，点D、E都在边上，求证：； （2）点D在内，点E在外，连接，，F为中点，连接． i）如图2，求证：； ii）令，当A，F，D三点在同一直线上时，，，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，且，则代数式的值为_________． 20. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为_________． 21. 如图，在中，，，．的平分线交于点D，过点D作的垂线，垂足为E，过点C作的平行线交于点F，则的长为_________． 22. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是_________． 23. 如图，在中，，，，连接，将绕平面内一点P旋转，边的对应边在的垂直平分线上，点C的对应点为E．若E为中点，则的长为_________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． （1）求A型无人机的单价是多少万元； （2）某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线交于点C．点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接．记的面积为，的面积为． （1）当时，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当，过点A作平行于的直线，直线（）与直线交于点M，与x轴于点N．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 26. 在中，E，F分别是边，上的点，与相交于点M． （1）如图1，若，，，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，，．若，以，，三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形？请说明理由； （3）如图2，当，，连接，若，求线段的长（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准者证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员收回答题卡． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0．5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列正多边形中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形， 故选：B． 2. 若分式的值是0，则的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】分式的值为0， ∴且． 解得：． 故选：A． 3. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查不等式的性质，根据不等式的性质分别判断即可 【详解】选项A：， 由，两边同时减1，不等号方向不变，得，故A错误； 选项B：， 由，两边同时加5，不等号方向不变，得，故B错误； 选项C：， 由，两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，故C正确； 选项D：， 由，两边同时乘负数，不等号方向改变，得，故D错误； 综上，正确答案为C 4. 如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解∶A．当，时， 四边形可能为等腰梯形，故不能判断四边形为平行四边形； B．当时， ，故不能判断四边形为平行四边形； C．当，时，不满足一组对边平行且相等， 故不能判断四边形为平行四边形； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断四边形为平行四边形； 故选：D． 5. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】A．左边为单项式，右边是与的积，但分解对象应为多项式，不符合因式分解定义； B．左边是乘积形式，右边展开为，属于整式乘法而非因式分解； C．因为展开后为，所以左边无法分解为，故不属于因式分解； D．左边是完全平方式，可分解为，符合因式分解的定义， 故选D． 6. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 7 C. 5 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据D，E，F分别是边的中点，可得是的中位线，进而根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别是边的中点，，，， 由中位线的定义可知：是的中位线， ∴， ∴四边形的周长． 故选∶B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 六边形的外角和大于五边形的外角和 B. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段可能垂直 C. 三角形的三条角平分线和交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 D. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中有一个内角大于60° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法，熟知以上知识是解题的关键．分别根据多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、六边形的外角和等于五边形的外角和，原说法错误，不符合题意； B、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行，原说法错误，不符合题意； C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，正确，符合题意； D、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中三个内角都大于，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 在平面直角坐标系中，点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点的平移规律是解决本题的关键． 根据直角坐标系中，点的平移规律“上下平移时，横坐标不变，纵坐标改变，且上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：由直角坐标系中点的平移规律可知， 点向下平移2个单位长度得到的点的坐标为 ． 故答案为： ． 10. 若分式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于 0 是解题的关键；根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得的长度，再由平行四边形的对角线互相平分这一性质可得的长度，由此可计算三角形的面积． 【详解】解：在中，， ∴， 且，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：13 ． 12. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 13. 如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．解决本题的关键是对因式分解基本方法的掌握，以及观察式子结构、选择合适分解方法的能力． （1）可利用提取公因式法求解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 15. （1）解不等式组 （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确计算是解题的关键． （1）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，顶点A，B，C的坐标分别为，，． （1）将沿射线BA的方向平移线段BA的长度，画出平移后的（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应）； （2）将绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的（点A与点M对应，点C与点N对应）； （3）求点F与点M之间的距离． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、勾股定理、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 点F与点M之间的距离为． 17. 如图，在中，O是对角线的中点，在的延长线上取点E，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长及的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2），的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由的性质证明，则，再由，即可证明其为平行四边形； （2）过点作于点，可得，则，由勾股定理得到，可得为等腰直角三角形，则，再由求解，再根据即可求解面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴． 18. 在，，，点D在平面内，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到． （1）如图1，当时，点D、E都在边上，求证：； （2）点D在内，点E在外，连接，，F为中点，连接． i）如图2，求证：； ii）令，当A，F，D三点在同一直线上时，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）i）证明见解析；ii） 【解析】 【分析】（1）先推出是等边三角形，进而得到，即可证明； （2）i）先证明，再证得，推出，即可证明；ii）由i）可知，结合，求出的长度，根据可得，即可得到，再求出的长度，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 i）证明：延长至点G，使，连接， ∵F为中点， ∴ ∵，且， ∴， ∴，且， ∴， 由旋转性质，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ii）解：当时，是等腰直角三角形，，旋转角， 根据题意可知，且， 由i）知，且， ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，且，则代数式的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键． 先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 21. 如图，在中，，，．的平分线交于点D，过点D作的垂线，垂足为E，过点C作的平行线交于点F，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明出使用勾股定理是解决本题的关键． 本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再证明与全等，由全等的性质可得，设出未知数使用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，． 根据勾股定理． ∵，， 是的平分线， ∴，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴， 设， 则， 又∵， 则， 在中，， ∴，解得， ∴的长为． 故答案为：． 22. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出，，得出直线与坐标轴正半轴交点为，直线与直线互相平行，过点作交直线于点，过点作交直线于点，求出点和点的横坐标，即可解答． 【详解】解：如图，在直线中， 令，则，令，则， 则，直线与坐标轴正半轴交点为， 在直线中，令，则，故， 根据题意直线与直线互相平行， 过点作交直线于点，过点作交直线于点， 则，， 则， ∴， 即点B位置固定，， ∴， ∴， ∴，， 将代入直线中得， 根据图象当点C位于点和之间时，为锐角三角形， 此时点C的横坐标m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】该题考查了一次函数的图象和性质，一次函数几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图象，求出临界点． 23. 如图，在中，，，，连接，将绕平面内一点P旋转，边的对应边在的垂直平分线上，点C的对应点为E．若E为中点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取，的中点，，作直线与交于点，连接，，取的中点，连接，，，延长交于，证明是的垂直平分线，为旋转中心，在中，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取，的中点，，作直线与交于点，连接，，取的中点，连接，，，延长交于， ∵在中，，，， ∴，，，， ∴，，， ∴，都是等边三角形，四边形，都是菱形， ∴，，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∵为中点，为的中点， ∴，， ∴在的垂直平分线上， 由旋转可得：，而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 同理：， ∴，而， ∴， ∴，，而， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴在的垂直平分线上， ∴为旋转中心， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，化为最简二次根式，线段的垂直平分线的判定与性质，矩形的性质与判定，本题的难度很大，作出图形与辅助线是解本题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 作为低空经济的核心载体，我国无人机产业规模正持续增长．某科研公司在售的A型，B型两种无人机，已知B型无人机单价是A型无人机单价的，用万元购买A型无人机比用万元购买B型无人机的数量多2架． （1）求A型无人机的单价是多少万元； （2）某商家计划用不超过10万元购买A、B两种型号的无人机，且购买A型无人机的数量比B型无人机的数量多2架，求该商家最多购买多少架A型架无人机？ 【答案】（1）A型无人机的单价为 万元 （2）该商家最多购买 15 架A型架无人机 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元，根据用 万元购买型无人机比用 万元购买型无人机的数量多 2 架，列出分式方程，解方程即可； （2）设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机，根据某商家计划用不超过 10 万元购买两种型号的无人机，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设型无人机的单价是万元，则型无人机的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型无人机的单价为万元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，B型无人机的单价为， 设该商家购买架型架无人机，则购买架型架无人机， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为 15 ， 答：该商家最多购买 15 架型架无人机． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线交于点C．点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接．记的面积为，的面积为． （1）当时，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当，过点A作平行于的直线，直线（）与直线交于点M，与x轴于点N．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值是定值，为2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组，即可求解； （2）连接，根据轴，可得，从而得到，然后求出点，可得的长，即可解答； （3）根据，同理（2）可得：，求出点，可得点C的坐标为，再由点C在上，可得，然后求出直线的解析式，可求出点M的坐标为，再求出点N的坐标为，然后用a表示出，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 联立得：，解得：， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 即， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∵点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：的值是定值，为2，理由如下： 如图， ∵， 同理（2）得：， 当时，，当时，， ∴点， ∵， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， 解得：， ∴直线，点C的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点N的坐标为， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用、待定系数法求一次函数的解析式，根据轴，得到是解题的关键． 26. 在中，E，F分别是边，上的点，与相交于点M． （1）如图1，若，，，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，，．若，以，，三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形？请说明理由； （3）如图2，当，，连接，若，求线段的长（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见详解 （2）直角 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点D作交的延长线于点H，在中，，证明四边形是矩形，得出，结合，得出，证明，即可证出； （2）根据勾股定理得出，根据，得出，根据四边形是矩形，得出，结合，得出，则，，设，则，勾股定理得出，，根据，即可证明以，，三条线段为边构成的三角形是直角三角形． （3）如图，延长至，使，连接，设，则，证明是等边三角形，得出，再证明是等边三角形，，从而证出是等边三角形，得出，从而证明，得出，，，如图，过点作，过点作，过点作，则，证明，再证明，得出，则，表示出，则，即可求出． 【小问1详解】 证明：如图1，过点D作交的延长线于点H， 在中，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 以，，三条线段为边构成的三角形是直角三角形． 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接， 设，则， ， 是等边三角形， ， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作，过点作，过点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 则， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识点．解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $