第11章 简单几何体（知识清单）高二数学沪教版2020必修第三册

第11章 简单几何体 一．多面体、旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：两个面的公共边； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、多面体的结构特征 1．棱柱的结构特征 (1)定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(2)相关概念：底面：两个互相平行的面(它们是全等的多边形)； 侧面：其余各面(它们都是平行四边形)； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点． (3)图形及表示：如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′. (4)分类：按底面多边形的边数来分可以分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2．几个特殊的棱柱 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)； (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)； (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)； (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)． 2.棱锥的结构特征 棱锥 图形及表示 定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念：底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类：(1)按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 3.棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 相关概念：上底面：平行于原棱锥底面的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上、下底面的公共顶点 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 4.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 三、旋转体的结构特征 1．圆柱的概念及结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 2．圆锥的概念及结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表 示为圆锥SO 相关概念：圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3.圆台的概念及结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念：圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4.球的概念及结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相关概念：球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 5.圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝2πr2； 侧面积：S侧＝2πrl； 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝πrl； 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 6.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h S为底面积，h是高，r是底面半径 圆台 V圆台＝ (S′＋＋S)h ＝π(r′2＋r′r＋r2)h S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径 7.球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝πR3. 一、几何体结构特征理解易错点： 棱柱概念：不能简单地把 “有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形” 的几何体判定为棱柱，易忽略 “相邻两个四边形的公共边都互相平行” 这一条件。例如，两个底面是平行四边形，侧面是梯形的几何体，虽满足前一条件但不是棱柱。 特殊棱柱区分：正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，要注意底面是正多边形且侧棱垂直底面这两个条件需同时满足。平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，容易与其他特殊棱柱混淆，要明确其底面特征。 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）五棱柱有 个顶点. 【答案】10 【详解】五棱柱上下底面均为五边形，故有10个顶点. 故答案为：10. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 3．下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 【答案】D 【详解】对选项A：由棱柱的定义知：棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A错误； 对选项B：由棱柱的定义知：棱柱的侧棱相等，故B错误； 对选项C：如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故C错误； 对选项D：由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行， 所以至少有两个面互相平行，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 【答案】 【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为， 连接，过作，垂足为， 则， 据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化， 由图2可知，当点与点重合时，， 此时取得最大值为， 如图3所示，当点与点重合时，， 此时取得最小大值为， 综上所述，面积的范围为. 故答案为： 二、圆柱、圆锥、球的相关易错点： 圆柱：圆柱是矩形绕其一边所在直线旋转一周形成的，易忽略 “绕一边所在直线” 这一关键条件。另外，圆柱的母线都与轴平行且长度相等，在计算圆柱表面积和体积时，要注意母线长与高的关系，有时题目中给出的母线长可能就是高。 圆锥：圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的。圆锥的母线是斜边旋转而成，所有母线相交于顶点，且每条母线与轴的夹角都相等。在计算圆锥侧面积时，公式为S=πrl（其中r是底面半径，l是母线长），容易混淆母线长和底面半径。 球：要注意球面和球的区别，半圆绕直径旋转一周形成的是球面，球面所围成的几何体才是球。球的截面性质中，球心和截面圆心的连线垂直于截面，且满足r=R2−d2​（其中R是球半径，d是球心到截面的距离，r是截面圆半径），容易记错公式或混淆各量。 5．（21-22高二上·上海浦东新·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 【答案】 【详解】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 . 【答案】8 【详解】设圆柱的母线长为，则，， 故答案为：8. 7．（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，由题有，解得. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】圆锥的高为， 因为，且为锐角， 所以，所以， 不妨设任意两条母线的夹角为， 则截面面积， 当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为， 所以， 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 10．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 11．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【详解】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 三、几何体表面积与体积计算易错点： 公式应用：不同几何体的表面积和体积公式不同，容易记错。例如，棱柱体积公式V=Sh（S是底面积，h是高），圆锥体积公式V=Sh，容易忘记圆锥体积公式中的。 单位换算：在计算过程中，若题目所给长度单位不一致，需要先统一单位再计算，否则容易得出错误结果。 隐藏条件：有些题目中，几何体的某些关键尺寸可能没有直接给出，需要通过其他条件推导得出，如根据几何体的棱长关系、角度关系等求出高、底面半径等，若忽略这些隐藏条件，会导致无法正确计算。 12．（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【答案】 【详解】由轴截面是边长为2的正方形可得，圆柱底半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    【答案】/0.1875 【详解】连接,分别取其中点，连接，如图，    则，且，可得几何体是三棱柱， 又，且，于是平面， 而平面，则，同理，又平面， 因此平面，即三棱柱是直三棱柱， 由正方体的棱长为1，得， 所以直三棱柱的体积为. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若将矩形绕直线旋转一周，则可得到以为底面半径以为高的圆柱， 因为，所以, 该圆柱体的体积为； （2） 过B作的垂线，垂足为M,,延长使交于, 过D作的垂线，垂足为N,延长使交于, 因为,以为斜边的直角三角形， 斜边上的高，, 若将矩形绕直线旋转一周，旋转一周， 所得几何体为相同的两个圆锥，几何体的底面半径为，两个圆锥的高为， 四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积为四边形绕直线旋转一周得出的圆柱体积减去三角形绕直线旋转一周得出的圆锥体积， 四边形绕直线旋转一周得出以为底面半径，高为的圆柱, 在中，, 绕直线旋转一周得出为底面半径，高为的圆锥， 所得几何体体积为. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 2．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球半径为，则． 故选：A． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点， 所以都为等边三角形，且边长均为1， 所以三棱锥为正四面体，且棱长为1， 所以点在底面的投影为等边的中心，设为，则 ， 在中，，所以， 正三棱锥外接球的球心必在上，设球心为， 则，设外接球的半径为，则 ， 则在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的体积为 . 故选：C 5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 二、填空题 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 7．已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为 ． 【答案】3 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，如图， 当截面平行于平面时，截面面积最小， 当截面为平面时，截面面积最大， 因为过点且与直线平行的平面截该正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和， 所以，解得，于是正四棱柱的体积为． 故答案为：3 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 【答案】 【详解】取半球的球心为，三个小球的球心分别为， 则有，取的重心，则可有， 在中，， 则有， 则，解得. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】根据题意分别以为棱长构造长方体如下图所示： 易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设其半径为， 因此， 所以球的表面积为. 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【详解】如图所示，将正四面体放入一个正方体中，    因为、到的距离分别为3、9，距离之和为12， 即正方体的棱长为12，因为球心是正方体的中心， 故球心到平面的距离为， 又球的直径，所以， 所以所截得的截面圆的半径， 故球被平面所截得的圆的面积． 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为 ． 【答案】/ 【详解】如图，是点关于的对称点，交于， 作于点，于点，， ，，    设、、绕直线旋转所成旋转体的体积 分别为，、，则有，， 所求体积． 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为 . 【答案】 【详解】设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积，解得， 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为 . 【答案】 【详解】取中点，延长交于点， 如图，四边形的面积即为所求，是一个等腰梯形，由几何关系可得为的中位线， 则，，， 设梯形的高为则， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期中）小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球．无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为 ．（结果中保留） 【答案】 【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图， 所以8个顶点部分体积为， 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图， 12条棱部分不能到达的体积是， 所以不能到达的体积为. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则 . 【答案】 【详解】假设半径为1的两球球心分别为，半径为2的两球心分别为， 连接四个球心如下图所示，则有， 取的中点，易知， 则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面， 则可知平面平分线段，平面平分线段， 又平面平面，可知第五个球心G为于上， 可满足， 设，则，解之得. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为， 在原图中，所以周长的最小值为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    【答案】 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：.    三、解答题 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 【详解】（1）由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； （2）由题意可得该蒙古包的体积为. 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点. (1)求该圆柱的表面积和体积 (2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高， ， （2）取弧的中点，连接、、， 易知面，所以为直线与圆柱底面所成的角， 因为，所以，又， 所以. （3）因为，所以或其补角是直线与所成角， 由（2）知，， 在中，，所以. 所以异面直线与所成角的大小为. 20．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 【详解】（1）连接，因为，所以异面直线CD与所成角等于直线与所成角， 在中，， 因为，所以， ，， 所以异面直线CD与所成角的大小； （2）长方体，， 所以长方体的对角线长为. 因为长方体的对角线为球O的直径， 所以球O的半径为， 所以球的表面积是. 21．（24-25高二上·上海·期中）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 【详解】（1）由题意知长方体中，底面为边长为2的正方形， 点在棱上，故M到平面的距离为2， 则； （2）连接，长方体中，平面， 故即为直线与平面所成角； 由于， ，故, 在中，， 故. （3）过线段作一个与底面成角的截面， 当时，截面即为底面四边形，面积为4； 设交于O，因为，故在中，， 故； 当时，不妨设截面与交于点N，连接， 则，而，故为截面与底面所成二面角的平面角， 即，故，则截面面积为； 当时，则截面为如图所示四边形，为等腰梯形， 设EF中点为P，连接，则，则， PO为梯形的高，， 由题意可知为等腰直角三角形，故， 故截面面积为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 简单几何体 一．多面体、旋转体 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个 围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、多面体的结构特征 1．棱柱的结构特征 (1)定义：一般地，有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(2)相关概念：底面：两个互相 的面(它们是全等的多边形)； 侧面：其余各面(它们都是平行四边形)； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：侧面与底面的 ． (3)图形及表示：如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′. (4)分类：按底面多边形的边数来分可以分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 2．几个特殊的棱柱 (1)直棱柱： 的棱柱叫做直棱柱(如图①③)； (2)斜棱柱： 的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)； (3)正棱柱：底面是正多边形的 叫做正棱柱(如图③)； (4)平行六面体：底面是 的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)． 2.棱锥的结构特征 棱锥 图形及表示 定义：一般地，有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念：底面： 面； 侧面：有公共顶点的各个 面； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：各侧面的 分类：(1)按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； (2)底面是 ，并且顶点与底面中心的连线 底面的棱锥叫做正棱锥 3.棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义：用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 相关概念：上底面：平行于原棱锥底面的 ； 下底面：原棱锥的 ； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上、下底面的公共顶点 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 4.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的 ，h为棱台的高 三、旋转体的结构特征 1．圆柱的概念及结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：圆柱的轴： ； 圆柱的底面： 的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面： 的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置， 的边 2．圆锥的概念及结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表 示为圆锥SO 相关概念：圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 3.圆台的概念及结构特征 圆台 图形及表示 定义：用 的平面去截圆锥， 之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 相关概念：圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 4.球的概念及结构特征 球 图形及表示 定义： 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相关概念：球心：半圆的 ； 半径：连接 和球面上任意一点的 ； 直径：连接球面上两点并经过球心的 5.圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝ ； 侧面积：S侧＝ ； 表面积：S＝ 圆锥 底面积：S底＝ ； 侧面积：S侧＝ ； 表面积：S＝ 圆台 上底面面积：S上底＝ ； 下底面面积：S下底＝ ； 侧面积：S侧＝ ； 表面积：S＝ 6.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆锥 V圆锥＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆台 V圆台＝ (S′＋＋S)h ＝ S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径 7.球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝ (R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝ 一、几何体结构特征理解易错点： 棱柱概念：不能简单地把 “有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形” 的几何体判定为棱柱，易忽略 “相邻两个四边形的公共边都互相平行” 这一条件。例如，两个底面是平行四边形，侧面是梯形的几何体，虽满足前一条件但不是棱柱。 特殊棱柱区分：正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，要注意底面是正多边形且侧棱垂直底面这两个条件需同时满足。平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，容易与其他特殊棱柱混淆，要明确其底面特征。 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）五棱柱有 个顶点. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 3．下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱中至少有两个面平行 4．（24-25高二上·上海松江·期中）圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是 . 二、圆柱、圆锥、球的相关易错点： 圆柱：圆柱是矩形绕其一边所在直线旋转一周形成的，易忽略 “绕一边所在直线” 这一关键条件。另外，圆柱的母线都与轴平行且长度相等，在计算圆柱表面积和体积时，要注意母线长与高的关系，有时题目中给出的母线长可能就是高。 圆锥：圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的。圆锥的母线是斜边旋转而成，所有母线相交于顶点，且每条母线与轴的夹角都相等。在计算圆锥侧面积时，公式为S=πrl（其中r是底面半径，l是母线长），容易混淆母线长和底面半径。 球：要注意球面和球的区别，半圆绕直径旋转一周形成的是球面，球面所围成的几何体才是球。球的截面性质中，球心和截面圆心的连线垂直于截面，且满足r=R2−d2​（其中R是球半径，d是球心到截面的距离，r是截面圆半径），容易记错公式或混淆各量。 5．（21-22高二上·上海浦东新·期中）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 . 7．（24-25高二上·上海·期中）某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 ． 8．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ． 9．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 10．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 三、几何体表面积与体积计算易错点： 公式应用：不同几何体的表面积和体积公式不同，容易记错。例如，棱柱体积公式V=Sh（S是底面积，h是高），圆锥体积公式V=Sh，容易忘记圆锥体积公式中的。 单位换算：在计算过程中，若题目所给长度单位不一致，需要先统一单位再计算，否则容易得出错误结果。 隐藏条件：有些题目中，几何体的某些关键尺寸可能没有直接给出，需要通过其他条件推导得出，如根据几何体的棱长关系、角度关系等求出高、底面半径等，若忽略这些隐藏条件，会导致无法正确计算。 12．（24-25高二上·上海·期中）若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 13．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为    14．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 15．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 16．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 2．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 7．已知正四棱柱中，与的交点为，与的交点为，连接，点为的中点．过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 . 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ． 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为 ． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为 . 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）正方体的棱长为x，点M是棱的中点，过三点作正方体的截面，则该截面的面积为 . 14．（24-25高二上·上海·期中）小玲在一个棱长为的密封正方体盒子中，放入一个半径为的小球．无论她怎么摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积为 ．（结果中保留） 15．（24-25高二上·上海·期中）空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为，则 . 16．（24-25高二上·上海·期中）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为 . 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 .    三、解答题 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是弧的中点. (1)求该圆柱的表面积和体积 (2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值 (3)求异面直线与所成角的余弦值. 20．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 21．（24-25高二上·上海·期中）长方体中，底面为边长为2的正方形，，点在棱上，且． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)过线段作一个与底面成角大小的截面，求截面的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$