2026届高三数学一轮复习优生加练41：正弦定理、余弦定理

第41练　爪形三角形问题 (分值：40分) “爪形”三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上任意一点所构成的图形，如图. “爪形”在解三角形的问题中经常出现，求解“爪形”问题的主要思考途径如下. 1.一对邻补角余弦的关系式 ∠ADB+∠ADC=π⇒cos∠ADB+cos∠ADC=0. 2.两个三角形面积的关系式 ==. 3.张角定理 记AC=b，AB=c，AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，则有+=. 4.六边的关系式(斯特瓦尔特(Stewart)定理) AD2·BC=AB2·DC+AC2·DB-BC·DB·DC. 5.三个直角三角形Rt△AED，Rt△AEB，Rt△AEC的边角关系如图，过点A作BC边上的高AE，可以得到以下结论. AE2=AD2-DE2=AB2-BE2=AC2-CE2， AE=AB·sin B=AC·sin C=AD·sin∠ADE. 6.三个向量间的关系式 如果=λ，即-=λ-λ，那么=+. 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设|PF1|=m，|PF2|=n，m>n，则由双曲线的定义可得m-n=2. 因为|F1F2|=2c=4，∠F1PF2=120°， 在△F1PF2中，由余弦定理得16=m2+n2-2mncos 120°=(m-n)2+3mn=4+3mn， 则mn=4，即m=+1，n=-1， 因为∠F1PF2=120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，由张角定理， 可得+=， 所以|PA|=. 2.如图，在△ABC中，cos∠BAC=，点D在线段BC上，且BD=3DC，AD=，则△ABC的面积的最大值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 答案　C 解析　由BD=3DC，即=3，得-=3(-)， 从而=+， 故||2=||2+·+||2=||2+||×||cos∠BAC+||2， 即=||2+||×||+||2≥2×||×||+||×||=||×||， 所以||×||≤8，当且仅当AB=3AC时等号成立， 即AB·AC≤8， 由cos∠BAC=，得sin∠BAC=， 故S△ABC=AB·ACsin∠BAC≤×8×=. 二、填空题(每小题5分，共15分) 3.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上一点，AD平分∠BAC.若AD=2，则△ABC的面积为　　　.  答案　 解析　如图，由张角定理可得， +=， 即+=， 得+=，即AB+AC=AC·AB， 又由余弦定理得AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=BC2， 所以AC2+AB2-AC·AB=9，即(AC+AB)2-3AC·AB=9， 令x=AC·AB，则x2-4x-12=0，解得x=6(x=-2舍去). 故S△ABC=AC·ABsin∠BAC=. 4.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当取得最小值时，BD=　　　　.  答案　-1 解析　设BD=k(k>0)，则CD=2k. 根据题意作出大致图形，如图. 在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·=k2+2k+4. 在△ACD中，由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4， 则== =4-=4- =4-. ∵k+1+≥2，当且仅当k+1=， 即k=-1时等号成立， ∴≥4-=4-2=(-1)2， ∴当取得最小值-1时，BD=k=-1. 5.在△ABC中，已知∠BAC=，∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为　　　　　　.  答案　6+4 解析　如图，S△ABD+S△ACD=S△ABC， AB×ADsin +AD×ACsin =AB×ACsin ， 化简得2(AB+AC)=AB×AC， 所以+=， 由于AB+2AC=2(AB+2AC)≥6+4，当且仅当AB=AC时等号成立. 三、解答题(共15分) 6.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b；(6分) (2)若AD=2DC，求cos∠ABC.(9分) (1)证明　由题设，BD=， 由正弦定理知=， 即=. ∴BD=，又b2=ac， ∴BD=b，得证. (2)解　方法一　由题意知BD=b，AD=，DC=， ∴cos∠ADB==， 同理cos∠CDB==， ∵∠ADB=π-∠CDB， ∴=， 整理得2a2+c2=，即11b2=3c2+6a2. 因为b2=ac， 所以6a2-11ac+3c2=0，(3a-c)(2a-3c)=0， 解得c=3a或c=a，当c=3a时，b2=3a2.由余弦定理，得cos∠ABC==(不符合题意，舍去).当c=a时，b2=a2，由余弦定理，得cos∠ABC==. 所以cos∠ABC=. 方法二　在△ABC中，=+，平方得||2=b2=a2+c2+accos∠ABC， ① 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC. ② 联立①②两式得11b2=3c2+6a2. 下同方法一. 方法三　由斯特瓦尔特定理，得BD2=BA2·+BC2·-AC2··， 由BD=b及AD=2DC， 得b2=c2+a2-b2， 化简变形，得11b2=6a2+3c2. 下同方法一. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第41练　爪形三角形问题 “爪形”三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上任意一点所构成的图形，如图. “爪形”在解三角形的问题中经常出现，求解“爪形”问题的主要思考途径如下. 1.一对邻补角余弦的关系式 ∠ADB+∠ADC=π⇒cos∠ADB+cos∠ADC=0. 2.两个三角形面积的关系式 ==. 3.张角定理 记AC=b，AB=c，AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，则有+=. 4.六边的关系式(斯特瓦尔特(Stewart)定理) AD2·BC=AB2·DC+AC2·DB-BC·DB·DC. 5.三个直角三角形Rt△AED，Rt△AEB，Rt△AEC的边角关系如图，过点A作BC边上的高AE，可以得到以下结论. AE2=AD2-DE2=AB2-BE2=AC2-CE2， AE=AB·sin B=AC·sin C=AD·sin∠ADE. 6.三个向量间的关系式 如果=λ，即-=λ-λ，那么=+. 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|等于(　　) A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，cos∠BAC=，点D在线段BC上，且BD=3DC，AD=，则△ABC的面积的最大值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 二、填空题(每小题5分，共15分) 3.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上一点，AD平分∠BAC.若AD=2，则△ABC的面积为　　　.  4.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当取得最小值时，BD=　　　　.  5.在△ABC中，已知∠BAC=，∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2，则AB+2AC的最小值为　　　　　　.  三、解答题(共15分) 6.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b；(6分) (2)若AD=2DC，求cos∠ABC.(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $$