训练26 正弦定理、余弦定理-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

1 到品≤<需周为∈Z:所以 k=-1,w=4. 12.2sim(2z+若）[号， ππ 解析：将函数f(x)=2sinx的图象 上的每一个点的横坐标缩短为原来 的一半，可得y=2sin2x的图象，再 向左平移器个单位长度得到gx) 2sin(2x十若）的图泉.若画数gx) 上单调递 2×号+≤ 3 增，则 2×2a+≥ ,解得≤ 2 a≤受，则实数a的取值范国 [后] 13.解：(1)由题意，得风机的角速度w= 红弧度/秒，当t=0秒时，h=60米， 5 A+B=140, A=40, ,A十B=60,解得B=100, Asin +B =60, 9=- h)=40sin(经-）+10 (0t≤5). (2)令h(t)≥80，则h(t)= 40sin(5-5)+100≥80， 即os25:≤号， 1 ·当风机叶片端点P从离地面最低 位置开始，在转动一周的过程中，点P 离地面的高度不低于80米的时长为 训练26正弦定理，余弦定理 1.B由余弦定理得b2=a2十c2 2 accos B,即9=3+c2-2X√5XcX c0s吾c2-5c-6=0,解得c= 2√3（负值舍去）.故选B. 2.D要使得△ABC有两组解，则b· snA<a<6又A=吾6=3，得到 35 2 <a<3.故选D. 3.B由题意可知ac=20,2b=a十c,由 余弦定理可得b2=a2十c2-2ac· cosB=(a十c)2-2ac-2 accos B,即 532红对闪·讲与练·高三数学· 6=4h-40-2×20×专=46 72,解得b=2√6.故选B. 4.C设AB=x,又BC=8,AC=10, COS∠BAC= ，根据余孩定理BC 3 AC2+AB2-2AC·AB .cos∠BAC,得 8=102-2-2×10Xx×号，即 x2-12x十36=0，解得x=6.由于 BC2+AB2=64+36=100=AC2,故 △ABC为直角三角形，则△ABC的面 积S=2X6X8=24.故选C 5.D在△ABC中，由余弦定理，得 cOS∠ABC=BA+BC-AC 2BA·BC 2+42-(27)2 2×2×4 ，所以 1 ∠ABC= 2.因为AB⊥BD,所 3 以∠CBD= 6,在△BCD中， ∠BDC=元- _7π，由正孩定 BD 理，得sin/BCD BC sin∠BDC,所以 BD BCsin,∠BCD 4十 2 sin∠BDC √6+2 4 4√3-4.故选D. 6B因为Qc 2R =(a-b)sinB,由 sinB=2R得a2-c2=ab-b,由余 b 孩定理得c0sC=Q十b2-c2 1 2ab 2 所以由0<C<π得C=3,因为 sinB=2sinA,所以b=2a.因为c= 2,由余弦定理得22=a2十4a2-2·a· 2acos 工=3a2,解得a2= 3,所 4 1 以S△ae=2 absin3 ·2a2. 5_25.故选B. 3 7.BC由正弦定理，得a b sin A sin B,则 1 sin B= =>1，此 4 时△ABC无解，故A错误；函数y= cosx在(0，π)上单调递减，则A>B 时，c0sA<cOsB,故B正确；因为 cos Acos Bcos C>0,角A,B,C为 /c0sA>0, △ABC的内角，所以cosB>0,知 cos C>0, A,B,C均为锐角，则△ABC为锐角三 角形，故C正确；因为a一b=ccos B一 cc0sA,由余弦定理，得a一b=c· a2十c2-b2 2ac b十一a,整理 --c· 2bc 基础版 得(a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a b=0或a2十b2-c2=0,即a=b或 a2+b2=c2,所以△ABC为等腰三角 形或直角三角形，故D错误.故选BC. 1 8.AC因为cosA=3A为三角形内 角，所以sinA=V个-cosA=2yE 3 设△ABC外接圆的半径为R,则2R= ,=3,所以△ABC外接圆的半径 sin A R- ，故A正确，B错误：由 3 sin B √6 sinB=3,得sinB= 因为a>6 所以cosB=√1二sinB=3,因为 c0sC=一cos(A十B),所以c0sC= 3 C,则c=b=√6，故C正确，D错误.故 选AC. 9.AC因为BC=√7，AC=3,AB=2, 所以由正弦定理，得sin∠BAC: sin/ABC sin C=BC AC AB √7：3：2，故A正确；由余弦定理得， 、cos∠BAC=AC+AB-BC=7· 2AC·AB 因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC= 子故B辑误：△ABC的面积为合AC· An乙BAC=数C正奔：由合获 定理，得cosC= AC +BC:-AB 2AC·BC 7,因为0<C<π，所以nC=, 2√ 7, 因为∠BAC=号AE是∠DAB的平分 线，所以∠EAB=子，所以sm∠ABC= sn(传+c)=sin行osc+os号· s血C=日，在△ABC中，南E孩交 理，得AE AC 子inC=sin∠AEC,解得AE 6,故D错误.故选AC. 10.2 解析：由余弦定理得b2=α2十c2 2 accos B,代入数据得32=a2十36 12aX号解得a=2. 11.2√7 解析：因为0<C<0C=号所以 油C=-C=-云 2√6 等，由余弦定理得c0sC a'tb-c atb)-2ab-d 2ab 2ab 5,即320=5c=12ab①，由S△aw 20mC=a6×25=3v5,得 ab=15,代入①可得c=-2√7（舍 去)或c=2√7. 12. 解析：在△ABC中，sinA>0,sinB>0, 由Q smB十snA=2c及正孩定理，得 2sin C sin A sinA≥2，即 sinC≥1，当且仅当sinA=sinB时 取等号，而sinC≤l,因此sinC=1, 且sinA=smB,所以C=受，A B=π 13.解：1)8 BsinBC-7=2cos2A,即 2 4[1-cos(B+C)]-7=2(2cos2A 1),化简得4cosA-4cosA十1=0， 解得cosA=2: 1 因为0<A<x,所以A=子 (2)由余弦定理得a”=b2+c2 2 bc cos∠BAC, 即7=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc= 25-3bc,解得bc=6, 因为矿-[层衣， 子A+花+2.ò) (c2+b+2 bccos∠BAC)与 h+2+b)=6+c)雪 ]=子×(32-6)=只，所以AD 的长为 2 14.解：(1)在△ABD中，由余弦定理得 COs A= 32+62-BD 2×3×6 在△BCD中，由余弦定理得cosC= 32+42-BD2 2×3X4 因为∠A十∠C=180°， 所以cosA十cosC=0, 即3+6-BDL3+4-BD 2×3×6 2×3×4 0,解得BD=√33. (2)由已知SA4x=2X3XABX 2 ,得AB=6, -95 在△ABC中，∠ABC=120°，由余弦 定理得AC2=32+6-2×3×6× c0s120°=63，则AC=3√7， AD=x,CD=y(x>0,y>0), 在△ACD中，由余弦定理得 (37)2=x2+y2-2xy·c0s60° (x+y)2-3xy, 则(x十y)2=63十3.xy≤63十3× 所以x十y≤6√7，当且仅当x=y= 3√7时取等号， 又x十y>AC=3W7, 所以四边形ABCD周长的取值范围 为(3√7+9,6√7+9]. 训练27解三角形在 实际问题中的应用 1.A因为∠ACB=45°，∠CAB= 105°，所以∠ABC=180°-45° 105°=30°，在△ABC中，由正弦定理 AB AC 得sinACB=sin/ABC' 即 sin45=sin30,解得AB=50反m. AB 50 所以A,B两，点的距离为50√2m.故 选A. 2.C设AB=xm,在Rt△ABC中，因 为∠ACB=45°，所以BC=xm,在 Rt△ABD中，因为∠ADB=30°，所以 BD=am30=5x(m),在△BCD 中，由余弦定理得，CD=BC2十 BD-2BC·BD·cos∠CBD,即 23.82=x2+3x2-3x2,解得x= 23.8.故选C 3.A如图，由题可M 知∠MPM1=30°， ∠NPV1=45°， .PM=2000米，M公 PN=500√E米， 又∠MPN=45°， ∴.MN2=4000000+ 500000-2X2000×5002×号 2 2500000.∴.MN=500√/10米.故选A. 4.B在△ADC中，因为∠ACD= 45°，∠ADC=67.5°，所以∠DAC= 180°-45°-67.5°=67.5°，则AC= DC=√6km.在△BCE中，因 为∠BCE=75°，∠BEC=60°，所 以∠EBC=180°-75°-60°=45°，由 正弦定理得 EC BC sin∠EBC= sin∠BEC' 可得BC=ECsin∠BEC 1X3 2 sin∠EBC 2 6 (km).在△ABC中，因为BC √6 km,AC=V6km,∠ACB= 180°-45°一75°=60°，所以由余弦定 理得AB=AC2+BC2-2AC·BC· cOs∠ACB= 号，得AB=2km 2 故选B. 5.B:∠SAB=45°-30°=15°， ∠SBA=∠ABC-∠SBC=45° (90°-75)=30°，.∠ASB=180° 15°-30°=135.在△ABS中，AB= ASsin 135 1000× ② 2 sin30° 2 1000√2（米），，BC=ABsin45°= 10002x2 2 =1000(米).故选B. 6.ABC对于A,先利用三角形内角和 定理求出C=π一A一B,再利用正弦 定理的B=C解出c:对于B直接 b 利用余弦定理c2=a2十b2-2 abcos C 即可解出c;对于C,先利用三角形内角 和定理求出C=π一A一B,再利用正 弦定理 c解出c:对于D,不 sin A=sin C 知道边的长度，显然不能求c,故 选ABC. 7.ABC如图，在 北 △ABD中，由已 知得∠ADB= 60°，∠DAB= 608 75°，则∠B= C 45°，AB= 305 12√6 n mile. ABsin B 由正弦定理得AD= sin∠ADB 126x2 ·=24(n mile),.A处与D 2 处之间的距离为24 n mile,故A正确. 在△ADC中，由余弦定理，得CD= AD2+AC-2AD·AC·cos30°， 又AC=8W3 n mile,解得CD= 83 n mile,.灯塔C与D处之间的 距离为8W3 n mile,故B正确.，AC= CD=8√3 n mile,∴.∠CDA= ∠CAD=30°，.灯塔C在D处的西 偏南60°，故C正确.灯塔B在D的 南偏东60°，.D在灯塔B的北偏西 60°，故D错误.故选ABC. 8.ABD对于A,在△ACD中，∠CAD= B一a,由正弦定理得AC= CD sin∠ADC sin∠CAD 1nsin(g-a),在 Rt△ABC中，AB=ACsin∠ACB= asin asin,A满足；对于B,在△ACD sin(B-a) 中，∠CAD=π一(B+Y),由正弦定理 得AC= CDsin∠ADC asin y sin∠CAD sin(B+y) 在Rt△ABC中，AB=AC·sin∠ACB= asin asin',B满足；对于C,在△ACD sin(B+) 中，已知一边无法解三角形，在△BCD 中，已知一边一角也无法解三角形，不 能求出BC,AC,C不满足；对于D,设 AB=h,则有BC= h，BD= tan a tan BBE h an7'在△BCD与 h △BED中，由余弦定理得 (BD2+CD-BC=2BD·CDcos∠BDC, BD2+ED2-BE2=2BD·EDcos∠BDE, 参考答案533班级： 姓名： 训练26 正弦定理、余弦定理 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.在△ABC中a-E,B-行b=3,则c的值为 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下 列说法正确的是 ( A.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 A.√ B.25 B.若A>B,则cosA<cosB C.3-√5 D.3 C.若cos Acos Bcos C>0,则△ABC为锐角三 2.(2025·湖北黄冈调研)已知△ABC的内角A,B, 角形 C所对的边分别为a,b,c,A=b=3,下面可便 D.若a-b=ccos B-ccos A,则△ABC为等腰三 角形 得△ABC有两组解的a的值为 ( 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, B.3 c.若a=2√2，b=√6，cosA= C.4 D.e 3.(2025·河南濮阳开学考试)已知△ABC的内角 A.△ABC外接圆的半径为号 A,B,C的对边a,b,c成等差数列，且ac=20, B.△ABC外接圆的半径为3 4 cos B= 则6 ( ) C.c=√6 D.c=2√2 A.5 B.26 9.(2025·河南TOP20名校调研)已知△ABC中，D C.4 D.3 为CA延长线上一点，∠DAB的平分线交直线CB 4.(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8,AC=10, 于E,若BC=√7，AC=3,AB=2,则（) 0s∠BAC三，则△ABC的面积为 ( A.sin∠BAC:sin∠ABC:sinC=√7：3：2 A.6 B.8 C.24 D.48 B∠BAC-8 5.(2024·河南TOP20名校联考)如A 图，在平面四边形ABCD中，若 C.△ABC的面积为3， 2 BC=2AB=4,AC=2√7，AB⊥B D.AE=4 三、填空题（每小题5分，共15分）】 BD,∠BCD= ，则BD= 4 10.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 ( S=6,b=42,cosB三3，则a号 A.√5 B.2 C.26-2√2 D.4√5-4 得分 6.已知△ABC外接圆的半径为R,且2二c 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 2R =(a b)sinB,sinB=2sinA,c=2,则△ABC的面积为 C:若a+b=8,0sC=子，且△ABC的面积为 3√6，则c= 得分 A B.26 12.已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b, 3 b C c,若nB十inA=2c,则A= 3 得分 (横线下方不可作答) 311☐ 第四章 三角函数、解三角形 四、解答题（共37分） 14.(20分)已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C 13.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 180°，BC=3. 得分 为a,bc,且8 SsinBC-7=2cos2A. (1)若AB=6,AD=3,CD=4,求BD的长； 2 得分 (2)若∠ABC=120,△ABC的面积为9y5,求四 2 (1)求A; 边形ABCD周长的取值范围. (2)若a=√7，b十c=5,D为BC的中点，求AD 的长. 红对勾·讲与练312] 高三数学·基础版 ■