2026届高三数学一轮复习优生加练40：正弦定理、余弦定理

第40练　正弦定理、余弦定理 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·河南省九师联盟模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1-a=3,b=2则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=45°,b=2且△ABC的面积是1,则△ABC外接圆的面积为(　　) A.π B. C. D.4π 3.(2024·广州统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2025·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且△ABC的面积S==则sin C等于(　　) A. B. C. D. 二、填空题(共5分) 5.在△ABC中,AB=5,AC=7,D为BC的中点,AD=5,则BC=　　　　　　　.  三、解答题(共15分) 6.(15分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsin C=csin . (1)求角B的大小；(6分) (2)若点D在边AC上,BD平分∠ABC,a=2,b=求线段BD的长.(9分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第40练　正弦定理、余弦定理 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·河南省九师联盟模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1-a=3,b=2则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由=1-及正弦定理, 得=1-可得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得cos A== 又0<A<π,所以A=. 又a=3,b=2 由=得sin B==. 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=45°,b=2且△ABC的面积是1,则△ABC外接圆的面积为(　　) A.π B. C. D.4π 答案　B 解析　因为A=45°,b=2且△ABC的面积是1, 所以bcsin A=×2c×=1,解得c=1, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=8+1-2×2×1×=5, 因为a>0,所以a= 设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理得 2r===解得r= 所以△ABC外接圆的面积为πr2=π×=. 3.(2024·广州统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　在△ABC中,由=及正弦定理, 得=而sin C>0,sin B>0, 整理得sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,而0<B<π,0<C<π, 则0<2B<2π,0<2C<2π, 因此2B=2C或2B+2C=π, 即B=C或B+C= 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 4.(2025·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且△ABC的面积S==则sin C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 所以b2+c2-a2=2bccos A, 则S==bccos A. 又因为S=bcsin A,即bcsin A=bccos A, 所以3sin A=2cos A,显然cos A>0,又sin2A+cos2A=1,所以cos A=(负值舍去). 所以S=bc, 又因为S=所以bc= 所以=c= 所以sin C=. 二、填空题(共5分) 5.在△ABC中,AB=5,AC=7,D为BC的中点,AD=5,则BC=　　　　　　　.  答案　4 解析　方法一　设BC=2x,则BD=CD=x. 在△ACD中,由余弦定理的推论可得,cos∠ADC==. 在△ABD中,由余弦定理的推论可得, cos∠ADB==. 又∠ADC+∠ADB=π, 所以cos∠ADC=-cos∠ADB, 所以有=- 整理可得x2=12,解得x=2所以BC=4. 方法二　=+), 则=++2), 即25=(25+49+2×5×7×cos∠BAC), 解得cos∠BAC= 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =25+49-2×5×7×=48, 所以BC=4. 三、解答题(共15分) 6.(15分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsin C=csin . (1)求角B的大小；(6分) (2)若点D在边AC上,BD平分∠ABC,a=2,b=求线段BD的长.(9分) 解　(1)已知bsin C=csin 由正弦定理,得sin Bsin C=sin Csin 因为C∈(0,π),所以sin C≠0, 故sin B=sin 即2sin cos =sin 因为∈所以sin ≠0,则cos = 所以=则B=. (2)依题意,得a·BD·sin +c·BD·sin =acsin 即a·BD+c·BD=ac, 即2BD+c·BD=2c,所以BD=. 在△ABC中,由余弦定理, 得b2=a2+c2-2accos =a2+c2+ac, 即7=4+c2+2c,解得c=1或c=-3(舍去), 所以BD==. 学科网（北京）股份有限公司 $$