2026届高三数学一轮复习优生加练43：拓展定理在解三角形中的应用

第43练　拓展定理在解三角形中的应用 (分值：40分) 1.角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图1)，则有=. 2.射影定理：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；则a=bcos C+ccos B，b=ccos A+acos C，c=acos B+bcos A. 3.张角定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点(如图2)，且∠BAD=α，∠CAD=β，则=+. 4.中线长定理：在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 5.托勒密定理：在圆内接四边形中(如图3)，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC. 图1　　　　　 图2　　　　　 图3 一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B+bcos A=3，且sin2=，b=3，则a等于(　　) A. B. C.3 D.3 答案　C 解析　因为acos B+bcos A=3，由射影定理得c=acos B+bcos A=3， 又因为sin2=，所以==， 所以cos C=，所以C=， 又因为b=c=3，C=，所以△ABC是等边三角形，所以a=3. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=， AB=3，AD=3，则CD等于(　　) A.3 B.3 C.5 D.4 答案　B 解析　如图所示， ∵sin∠BAC=， ∴cos∠BAC==-， 由张角定理得=+， 即=+， 即=+， 即=+， 解得AC=3， ∴CD==3. 3.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　) A.16 B.16 C.12 D.12 答案　C 解析　设AC=AD=CD=a，由托勒密定理可知AB·CD+AD·BC=AC·BD， 即a·AB+a·BC=a·BD，所以AB+BC=BD=4， 又因为∠ABD=∠ACD=，∠CBD=∠CAD=， 因此，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·BDsin +BC·BDsin =(AB+BC)·BD=×(4)2=12. 二、多项选择题(共6分) 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有(　　) A.AC2+AB2=10 B.<cos∠BAC<1 C.·=2 D.∠BAD的最大值为30° 答案　AD 解析　在△ABC中，BC=2，BC边上的中线AD=2， 对于A，由中线长定理，AB2+AC2=2(AD2+DC2)，即AC2+AB2=10，故A正确； 对于C，·=(+)(-)=-=4-1=3，故C错误； 对于B，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠BAC=≥=1-，当且仅当b=c时取等号， 由C选项分析可知·=3=bccos∠BAC， ∴bc=， 则cos∠BAC≥1-cos∠BAC，解得cos∠BAC≥，故≤cos∠BAC<1，故B错误； 对于D，cos∠BAD==≥=(当且仅当c=时等号成立)， ∵ 0<∠BAD<， ∴∠BAD的最大值为30°，故D正确. 三、填空题(共5分) 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足=，∠BAC=60°，a=7，则c=　　　　　　.  答案　 解析　根据角平分线定理有===，于是b=c， 又∠BAC=60°，a=7，由余弦定理的推论得cos∠BAC==，进而得到c2-49=0，因此c=. 四、解答题(共14分) 6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小；(7分) (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分) 解　(1)∵sin C=sin 2B，∴sin C=2sin B·cos B， 由正弦定理得c=2bcos B， 由b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，得b2(1-4cos2B)=-a2-ab， 又由c=2bcos B，得c2=4b2cos2B，b2=-a2-ab，a2+b2-c2=-ab， 由余弦定理的推论得cos C==-， 又∵C∈，∴C=， 由sin C=sin 2B，即sin=sin 2B，B∈，得2B∈， ∴2B=，B=. (2)由(1)得B=，A=，C=，则a=b，S△ABC=absin C=a2=2，解得a=b=2， ∴c===2， 设AC的中点为D，则AD=AC=， 由中线长定理，得BA2+BC2=2(BD2+AD2)， 即24+8=2(BD2+2)，解得BD=， ∴AC边上的中线长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第43练　拓展定理在解三角形中的应用 1.角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图1)，则有=. 2.射影定理：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；则a=bcos C+ccos B，b=ccos A+acos C，c=acos B+bcos A. 3.张角定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点(如图2)，且∠BAD=α，∠CAD=β，则=+. 4.中线长定理：在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 5.托勒密定理：在圆内接四边形中(如图3)，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC. 图1　　　　　 图2　　　　　 图3 一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B+bcos A=3，且sin2=，b=3，则a等于(　　) A. B. C.3 D.3 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=， AB=3，AD=3，则CD等于(　　) A.3 B.3 C.5 D.4 3.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　) A.16 B.16 C.12 D.12 二、多项选择题(共6分) 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有(　　) A.AC2+AB2=10 B.<cos∠BAC<1 C.·=2 D.∠BAD的最大值为30° 三、填空题(共5分) 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足=，∠BAC=60°，a=7，则c=　　　　　　.  四、解答题(共14分) 6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小；(7分) (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 $$