2026届高三数学一轮复习优生加练46：平面向量中的最值与范围问题

第46练　平面向量中的最值与范围问题 (分值：42分) 平面向量中的最值与范围主要有以下几种题型 (1)与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题，一般考查利用平面向量基本定理或共线定理求参数的最值(范围). (2)与数量积有关的最值(范围)问题，解题方法一般有两种：①形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. (3)与向量模有关的最值(范围)问题，通常是通过|a|2=a2转化为实数问题. (4)与向量夹角有关的最值(范围)问题，主要方法是将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值(值域)问题，要注意变量之间的关系. 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=，AB=2，BC=4，AD=1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则·的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　D 解析　如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设P(x，0)，不妨取点Q在点P的右侧，则Q(x+1，0)(0≤x≤3)， 因为AD∥BC，∠B=，AB=2，AD=1， 所以D(2，)， 则·=(x-2，-)·(x-1，-)=(x-2)(x-1)+3=x2-3x+5=+， 所以当x=时，·取得最小值. 2.(2024·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若=λ，=μ，则λ+μ的最小值为(　　) A.+ B. C. D.1 答案　C 解析　如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线， 且=， 因为=+=+， 所以=+， 即=+， 又E，G，F三点共线，所以+=1， 故λ+μ=(λ+μ)=+ ≥+×2=， 当且仅当λ=μ=时，等号成立. 3.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A.[-1，3] B.[-1，5] C.[-7，3] D.[5，7] 答案　A 解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2， ∴|a|=2，|b|=1，a·b=2×1×cos θ=2cos θ， ∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立， ∴(2a+b)2≥(a+λb)2， ∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2， 整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈[-1，1]， ∴ 解得-1≤λ≤3. 4.已知向量a，b满足|a-b|=3，|a|=2|b|，设a-b与a+b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　令b2=t，则a2=4b2=4t， 则=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9，2a·b=5t-9， 由5t-9=2a·b≤2=4t得t≤9， 由5t-9=2a·b≥-2=-4t得t≥1， 所以1≤t≤9，= ==， 所以cos θ== ==， 令y=，1≤t≤9，显然y>0， t2-10yt+9y=0， 所以Δ=100y2-36y≥0，y≥， 当y=时，t=∈[1，9]， 所以cos θ的最小值为=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足=1，=2，则(　　) A.的最大值是3 B.的最小值是0 C.+的最大值是2 D.+的最小值是4 答案　ACD 解析　因为==a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈[1，9]， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确； 因为==a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈[1，9]， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故B错误； 设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=+=+， 所以y2=10+2∈[16，20]， 所以4≤y≤2，故CD正确. 6.(2024·岳阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B.λ-μ的最大值为 C.·的最大值为2 D.λ+μ的最大值为1+ 答案　ABD 解析　以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系， 则A(-1，-1)，B(1，-1)，D(-1，1)， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 则=(1+cos θ，1+sin θ)，=(2，0)， =(-2，2)，=(0，2)， 所以·=2(1+cos θ)， 所以当θ=0时，·的最大值为4，A正确； ·=-2(1+cos θ)+2(1+sin θ)=2(sin θ-cos θ)=2sin， 所以当θ=时，·的最大值为2，C错误； 由=λ+μ知 (1+cos θ，1+sin θ)=λ(2，0)+μ(0，2)， 所以得 则λ-μ=(cos θ-sin θ)=cos， 所以当θ=时，λ-μ的最大值为，B正确； λ+μ=1+(cos θ+sin θ)=1+sin， 所以当θ=时，λ+μ的最大值为1+，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥，则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.  答案　 解析　由=4得 ++2cos θ=4， 即4≥2(1+cos θ)≥(1+cos θ)， 前一个等号成立条件为|a|=|b|， 整理得cos θ≤.由于θ∈[0，π]，所以≤θ≤π. 8.已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　.  答案　[2-1，2+1] 解析　∵a·b=|a|=|b|=2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=2， ∴cos θ=，又θ∈[0，π]，则θ=， 不妨令a=(2，0)，b=(1，)，c=(x，y)， 则c-a-b=(x-3，y-)， 又|c-a-b|=1， ∴(x-3)2+(y-)2=1， 又|c|表示以(3，)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 故-1≤|c|≤+1， 即2-1≤|c|≤2+1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第46练　平面向量中的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围主要有以下几种题型 (1)与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题，一般考查利用平面向量基本定理或共线定理求参数的最值(范围). (2)与数量积有关的最值(范围)问题，解题方法一般有两种：①形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. (3)与向量模有关的最值(范围)问题，通常是通过|a|2=a2转化为实数问题. (4)与向量夹角有关的最值(范围)问题，主要方法是将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值(值域)问题，要注意变量之间的关系. 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=，AB=2，BC=4，AD=1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则·的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 2.(2024·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若=λ，=μ，则λ+μ的最小值为(　　) A.+ B. C. D.1 3.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A.[-1，3] B.[-1，5] C.[-7，3] D.[5，7] 4.已知向量a，b满足|a-b|=3，|a|=2|b|，设a-b与a+b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足=1，=2，则(　　) A.的最大值是3 B.的最小值是0 C.+的最大值是2 D.+的最小值是4 6.(2024·岳阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B.λ-μ的最大值为 C.·的最大值为2 D.λ+μ的最大值为1+ 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥，则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.  8.已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$