22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（第1课时）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质(第1课时） 第二十二章 二次函数 学 习 目 标 1.用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k图象. 2.通过观察图象能说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征和性质. 3.由二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征及性质类比地学习二次函数y=ax2的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法. 函数 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 函数增减性 最值 y=ax2 a>0 a<0 a 与抛 物线 开口 关系 1.二次项系数a的符号决定抛物线的开口_____:①当时，抛物线开口_____；②当时，抛物线开口_____. 2.|a|的大小决定开口的______：①|a|越大，抛物线的开口_______；②|a|越小，抛物线的开口_______． 向上 向下 (0,0) y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时，y最小=0 当x=0时，y最大=0 方向 向上 向下 大小 越小 越大 复习引入 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象. x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 解：1.先列表： 2.在坐标系内，描点. 典例精析 y=2x2+1 y=2x2-1 3.用平滑的曲线连线. 思考（1）抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2+1 y=2x2-1 向上 向上 y轴 （0，-1） （0，1） y轴 思考（2）抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？ 典例精析 3 6 9 y O -3 3 x 3 6 9 y O -3 3 x 把抛物线y=2x2向上平移1个单位就得到抛物线y=2x2+1 把抛物线y=2x2向下平移1个单位就得到抛物线y=2x2-1 典例精析 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 总结归纳 解：（1）分别列表： 探究在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-(x+1)2，y=-(x-1)2，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y=-(x-1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … 互动新授 2.在坐标系内，描点. 3.用平滑的曲线连线. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-(x+1)2 y=-(x-1)2 向下 向下 x=1 （1，0） （-1，0） x=-1 思考（1）抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 互动新授 思考 抛物线y=-(x+1)2，y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系？ 向左平移1个单位 向右平移1个单位 y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x-1)2 总结归纳 思考 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？ 向左平移h个单位 y=a(x+h)2(h＞0) y=a(x-h)2(h＞0) 向右平移h个单位 口决：左加右减 y=ax2 y=ax2 总结归纳 解：抛物线的图象如图所示. 抛物线y=-(x+1)2-1的开口______、对称轴_________、顶点是_______. 典例3 画出抛物线y=-(x+1)2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？ 向下 直线x=-1 (-1,-1) 典例精析 把抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y=-(x+1)2-1. 还有其他平移方法吗？ 方法二： 把抛物线y=- x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=-(x+1)2-1. 典例精析 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下. （2）对称轴是x=h． （3）顶点是(h，k)． 总结归纳 从二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以看出： 如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小， 当x＞h时，y随x的增大而增大； 如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而增大， 当x＞h时，y随x的增大而减小. 总结归纳 1.填空 (1)抛物线y=2(x-1)2可以由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到.顶点坐标为______ ，当______，y随x增大而增大；当_____，y随x增大而减小. (2)将二次函数y=-4(x+3)2的图像向左平移2个单位后得到函数___________的图像，其顶点坐标是_______，对称轴是__________，当x=___时，y有最___值，是____. 右 1 (1,0) x>1 x<1 y=-4(x+5)2 （-5，0） 直线x=-5 -5 大 0 小试牛刀 1.已知点、为抛物线上的两点，如果，那么____填“”“”或“” 2.若点,,在抛物线上，请将，，从小到大的顺序用“＜”连接____________． 3.已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为____________. 课堂检测 4.已知二次函数y=(x-m)2，当x≤1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围是． 解：∵二次函数y=(x-m)2中，a=1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x=m≥1．故答案为：m≥1． 课堂检测 解：二次函数y=a(x-h)2，当x=2时，函数有最大值， ，即二次函数解析式为， 二次函数图象过点， ∴-3=a(1-2)2解得． 二次函数解析式为y=-3(x-2)2； 抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， 当时，函数值随增大而减小． 5.已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小． 课堂检测 1.一次函数y=kx＋4与二次函数y=ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值； (2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值． 拓展训练 解：(1)∵点(1，2)在一次函数y=kx＋4的图象上， ∴2=k＋4，即k=-2. ∵一次函数y=-2x＋4与二次函数y=ax2＋c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴(0，c)在一次函数y=-2x＋4的图象上，即c=4. ∵点(1，2)也在二次函数y=ax2＋c的图象上， ∴2=a＋c，∴a=-2. 拓展训练 (2)∵点A的坐标为(0，m)(0＜m＜4)，过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2＋4的图象交于点B，C， ∴可设点B的坐标为(x0，m)，由对称性得点C的坐标为(-x0，m)，∴BC=2|x0|. ∵点B在二次函数y=-2x2＋4的图象上， ∴-2x02＋4=m，即x02=2-， ∴BC2=4x02=8-2m.     ∵OA=m，∴W=OA2＋BC2=m2-2m＋8=(m-1)2＋7(0＜m＜4)， ∴m=1时，W有最小值7. 拓展训练 二次函数 y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质: y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 直线x=h （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 向下 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而增大;x＞h时，y随x的增大而减小. 直线x=h （h,k） 课堂小结 1.函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到. 2.将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象. 上 5 下 11 下 4 上 7 上 9 课后作业 3.关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是 ( ) A.其图象的开口方向向上 B.当x=0时，y 有最大值4 C.其图象的对称轴是y轴 D.其图象的顶点坐标为(0，4) 4.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图像可能是（ ） B C 课后作业 5.已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 B 课后作业 1.已知抛物线y=a(x+1)2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛物线上，求△ABC的面积为. 解:∵抛物线的顶点为A， ∴顶点A为(−1,0)， ∵图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA， ∴B点坐标为(0,−1)，代入解得a=−1， ∴抛物线， ∵点C(-3,b)在抛物线上， ∴b=-4，△ABC的面积=×(1+4)×3-×1×1-×2×4=3. 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 Lavf57.83.100 　　　 A　 　　　B　 　　　C　　　 　D $$