培优02 与一元二次方程相关的计算问题（2种题型13重难点突破2易错点）（专项训练）数学人教版九年级上册

培优02 与一元二次方程相关的计算问题 （2种题型13重难点突破2易错点） 题型1 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 重难点一 运用判别式判断方程根的情况 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边，试判别方程的根的情况为 ． 【答案】无实数根 【分析】证明方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，三角形三边关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴ ∵a，b，c为三角形的三边， ∴， ∴， 故没有实数根， 故答案为：没有实数根． 3．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)0，2， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握与一元二次方程的解的关系是解题的关键． （1）先求出，再判断即可； （2）根据求根公式求出方程的解，根据为大于1的奇数，再解答即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 原方程整理，得， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）解：0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或， 当时，； 当时，； 当时，， ∴p的值可以为0，2，，原方程有整数解． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 【答案】选条件①，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；先计算根的判别式，根据条件判断只有①满足，再解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ，即． ∴条件①满足，条件②不满足，故选条件①．           此时方程为． 整理，得． 则． 解得，． 重难点二 运用判别式求字母系数的值或范围 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）等腰三角形一条边的长度为3，另两条边的长度是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质等知识点，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况讨论，再利用一元二次方程的解和根的判别式即可得解． 【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得，，解得：， 此时原方程为， 解方程得，，， ， 不能为等腰三角形的腰， 当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实根， ， 解得：， 原方程为：， ， 可以围成等腰三角形， ， 故答案为：18． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，画出函数图象，利用图象法解决问题是解题的关键． 方程有且仅有两个不同的实数根，也就是与有且只有两个不同的交点，在坐标系中画出两个函数的图象，通过观察函数图象即可得出答案． 【详解】解：方程有且仅有两个不同的实数根， 也就是与有且只有两个不同的交点， 在坐标系中画出两个函数的图象如图： 显然，与时，与有且只有两个不同的交点， 实数a的取值范围是：或， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)23 (2)且 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元二次方程根的判别式和定义，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的四则混合运算即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式和定义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵关于的方程有两个实数根，即关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的最小整数值； (2)在（1）的条件下，当取最小整数值时，方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用判别式的意义得到，即，然后解不等式得到的范围，再在此范围内找出最小整数值即可； （2）由（1）知，所以一元二次方程为，再根据根与系数的关系得，，然后利用完全平方公式变形得到，最后利用整体代入的方法计算即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ，即， 解得， 的最小整数值为； （2）解：由题意得：方程为， 方程的两个根分别为、， ，， ． 易错点一 运用判别式时忽略二次项系数不为0 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，结合方程有实数根，，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 11．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， 故答案为：且． 重难点三 应用根的判别式判断三角形的形状 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， (3)为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出，二者关系，从而判断的形状． （2）利用等边三角形的性质可知，， 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于的一元二次方程，求出的值即可． （3）根据题意即可知道，从而求出，，三者关系， 利用勾股定理逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 将方程的一个根代入原方程得：， ． ，是的两边， 是等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，． 这个一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． （3）解：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ． 为直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间关系． 14．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 15．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，由根的情况求得判别式为0，从而求得a、b、c的关系是解题的关键．由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a、b、c的关系，则可判断三角形的形状． 【详解】解：这个三角形是等腰三角形．理由： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ∴，即；或即 ∴这个三角形是等腰三角形． 16．（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 重难点四 与根的判别式有关的新定义问题 17．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；②存在，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③． （2）解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 18．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【答案】(1) (2)0或2或4或6． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程” 当时，该全整根方程的“最值码”是__________． 若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”． (3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)；或； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，()把代入方程得到方程，根据“最值码”的定义即可求解；根据“最值码”的定义可得方程，解方程可求得的值；（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，代入得， ， ∴，即， 故答案为：； 由题意得，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴不合，舍去， ∴或， 当时，方程化为 ， ∴； 当时，方程化为 ， ∴， ∴方程的“最值码”为或； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 重难点五 通过判别式证明一元二次方程根的情况 20．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 21．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由求解即可． 【详解】证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 22．（24-25九年级上·广东佛山·期中）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是13． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)m的值为5 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系用m表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到关于m的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：是的两个根， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ， 即， 解得（，不合题意，舍去）， m的值为5．0 题型2 一元二次方程根与系数的关系 由韦达定理可知+＝； ＝，代入下式即可. 注意：使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 易错点一 使用根与系数关系时未注意使用条件 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）方程与的所有实数根之和是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．由于没有实数解，而根据根与系数的关系可判断方程两实数根之和为2，据此求解即可． 【详解】解：对于方程， ， 根据根与系数的关系为：， 对于方程， ， 方程没有实数解， 方程与的所有实数根之和为2． 故答案为：2． 重难点一 运用根与系数的关系计算对称式的值 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．由题意得：；即可求解； 【详解】解：由题意得：； ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程，现已知该电路中电流为，则其电源电压应是 V． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解是解题的关键，先得出，再代入，得出，再运用电压等于电流乘电阻进行列式计算，即可作答． 【详解】解： ∵电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程， ∴， 依题意，这是并联电路， 则， ∴， ∴电源电压， 故答案为：． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和二次根式运算等知识点，先由是一元二次方程的两个实数根，再根据根与系数的关系得出，然后化简原式代入计算即可求，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2024． 5．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知是方程的两根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、二次根式的分母有理化与乘法，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，，再计算二次根式的分母有理化，代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∴，， ∴ ． 重难点二 运用根与系数的关系计算非对称式的值 6．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2033 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解， 将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴. 故答案为：2033. 7．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设是一元二次方程的两根，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．根据根与系数的关系得到：，以及方程的根的定义得到：，将进行转化计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，，再将所求式子变形，代入计算即可得解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)7 (3) 【分析】本题考查方程的解，根与系数的关系： （1）根据题意，得到，，整体代入计算即可； （2）根据根与系数的关系，得到方程的另一个根为，进而得到，利用完全平方公式进行计算即可； （3）结合（2）中的结论利用倒数法求值即可． 【详解】（1）解：∵x 满足一元二次方程， ∴，， ∴ ； （2）∵x 满足一元二次方程， ∴方程的另一个根为：， ∴， ∴， ∴； （3）原式的倒数为：， 由（2）知：， ∴上式， ∴原式． 重难点三 根系关系与根与判别式综合 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 11．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 13．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据方程有两个实数根，可得，代入求解即可； （2）根据根与系数的关系得出，，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得，， ∵， ∴． 14．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题． 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为、，那么，． (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，分式的求值，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，然后得到，整体代入求解即可； （3）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系得到，，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵方程的两个实数根分别为、， ∴，； （2）∵方程的两个实数根分别为、， ∴， ∴； （3）∵、是关于的方程的两个实数根 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得（舍去）或． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k 的取值范围； (2)试说明的值与k无关． 【答案】(1)且 (2)详见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程的根与系数的关系．解题关键是熟练掌握（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△方程有两个不相等的实数根；②△方程有两个相等的实数根；③△方程没有实数根．（2）一元二次方程的根与系数的关系为：，． （1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据，再把，代入得到的值是一个常用数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得  ， 又， ∴且． （2）证明：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． ∴， 即的值与k无关． 重难点四 利用根与系数关系解几何问题 16．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】k＝3或4，周长是14或16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论并结合一元二次方程的根的情况进行求解． 根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③，再由根与系数的关系得出k的值． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 18．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． (3)①数学兴趣小组探究：“是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？”如果存在，请求出该矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． ②拓展探究：如果有一矩形的长为a，宽为b，那么a、b应满足什么条件，才一定存在另一矩形的周长和面积都是该矩形的一半，请直接写出应满足的条件． 【答案】(1)详见解析 (2)矩形的周长为，矩形的面积为 (3)①不存在，理由见解析；② 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． （1）求出即知无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）求出，，由矩形的对角线长，可得，解得，即可得矩形的周长为14，矩形的面积为9； （3）设矩形的长为x，则宽为，可得，而，原方程无解，从而不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半； ②设另一矩形的长为p，宽为q，可得，有，故，可知a、b应满足的条件为：． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∵矩形的对角线长， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为：， 矩形的面积为：； （3）解：①不存在，理由如下： 由（2）知矩形的周长为14，面积为9， 设矩形的长为x，则宽为， ∴， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半； ②设另一矩形的长为p，宽为q， ∴， ∴， ∴， ∴a、b应满足的条件为：． 19．（24-25九年级上·全国·期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形； (2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 【答案】(1)的值为 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出的值是解题关键． （1）根据菱形的性质可得出，由根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值； （2）将代入一元二次方程可求出的值，再根据根与系数的关系即可得出的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长； （3）先根据根与系数的关系得，，则利用，得到，即，所以，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵当平行四边形的两边时，四边形为菱形， ∴关于的方程的两个实数根． ∴， 解得， 即的值为； （2）把代入方程0得， 解得， ∴原方程为， ∵， ∴平行四边形的周长； （3）根据根与系数的关系得，， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题解决的关键是依据直角三角形的性质，由已知斜边上的中线长为，能转化为方程的根的关系，从而转化为解方程的问题求解． （1）求证无论a为任何实数，该方程总有两个不等实数根，只要证明根的判别式即可； （2）根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知该三角形斜边上的中线长为，即已知直角三角形斜边的长是，即两直角边的平方和是35，利用勾股定理结合根与系数的关系，即可得到关于a的方程，求出a的值． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∴无论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，得，即， ∵， ∴， 解得或， 由于方程的两根是三角形的边长，则需满足且， 则， ∴ 21．（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①，；②矩形的面积 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形得性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）①根据题意，当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，代入方程求解即可；②当矩形的对角线长为时，则，设方程的两个根据为，结合一元二次方程根与系数的关系得到，则，由此即可求解． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根， ①∵当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； ②当矩形的对角线长为时，， 设方程的两个根据为，则， ∵，， ∴，整理得，， 解得，， ∴矩形的面积为． 重难点五 与根系关系有关的新定义问题/阅读材料问题 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 23．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，即可求解； （3）由根的判别式求得，再利用根与系数的关系求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， ； 故答案为：，，； （2）由题知，和可看成方程的两个实数根， ，． ， ， ． 所以． 故的值为． （3）根据题意得且，解得， ，， ∴， ∴， 为整数，为整数， ， 解得， 又， 的整数值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． 24．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为：； （2）由题意，得：， 即， 解得； ， ， ， 当时，，解得：， ， ， ； 当时，，解得：， ， ， ； 综上：或． 25．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解本题的关键； （1）根据根与系数的关系可得，； （2）根据根与系数的关系可得，结合完全平方公式可得答案； （3）根据题意可得s，t可看作是一元二次方程的两个数根．可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， 则，； （2）解：由题意得， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t可看作是一元二次方程的两个数根． ． ， ． ． 26．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数之间的关系： （1）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； （2）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是． （2）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数之间满足的关系式是． 重难点六 利用根系关系构造一元二次方程 27．（广东省深圳市八校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷）已知实数，满足，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对根与系数的关系的理解和掌握，将原方程变为，得到，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 【详解】∵方程可变为， 又∵实数，满足，且， ，是方程的两个根， ， 故答案为：． 28．（专题04构造一元二次方程解题四种类型（四种技巧精讲精练 过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版））已知实数a，b，c满足方程组，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系，构造一元二次方程，根据根的判别式得出，得出，且，从而得出． 【详解】证明：∵实数a，b，c满足方程组， ∴，， 构造一元二次方程， ∴ ， ∴，且 ∴方程有两个相等的实数根，即． 29．（贵州省遵义市汇川区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 【答案】(1)   (2)， (3)的值为 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， ∴，是方程的两根，；； 故答案为：；． （2）解：∵，是方程的两根 ∴， ∴，． （3）解：∵两个不同的实数，满足，， ∴，，，可看作方程的两根， ∴，， ∴， 即的值为． 30．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中 ，a、b、c为常数） 的两根分别为α，β，我们有如下发现：①若α，β为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②α，β满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的两个根．请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数α，β是关于x的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数满足求的值． 【答案】(1)①，；②无解 (2)39 【分析】（1）①根据韦达定理即可得出结论； ②先表示出判别式，再判断出，即可得出结论； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． 【详解】（1）解：①当时，关于的一元二次方程，即为， ，， 故答案为，； ②、为整数， ∴， 是整数，且， ∴， 即 此时无解； （2）解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 31．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 重难点七 与一元二次方程有关的多结论问题 32．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据根与系数的关系可得，，进而得到，，再根据有理数的加法法则判断①正确；利用根的判断式可得，即可判断②③；利用根与系数的关系可得，，再根据，，即可判断④． 【详解】解：设关于x的方程的两个根分别为、，关于y的方程的两个根分别为、， ∵关于x的方程的两个根的乘积为正，关于y的方程的两个根的乘积为正， ∴，， ∴，， ∴这两个方程的根都负根，故①正确； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根，关于y的一元二次方程有两个整数根， ∴，即，， ∴，， ∴，即，故③正确； 由根与系数的关系得， ∵、均为负整数， ∴， ∴， 同理可得，， ∵、均为负整数， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、有理数的加法法则、配方法，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：①；②若，则；    ③关于x的方程的根为，；④关于x的方程的根为2，3．其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 34．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法：①方程是2倍根方程；②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数），则；③若，则关于x的方程是2倍根方程；④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1.则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系、一元二次方程的解法等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 通过解出一元二次方程，结合“n倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“2倍根方程”的定义，得出或，进而得出、，然后再用十字相乘法分解即可判定②；通过解出一元二次方程，结合“2倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“2倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，求出解即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 35．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程 (k为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①∵ ∴方程有两个相等的实数根． ∴①正确： ②∵一元二次方程(k为常数)最多有两个解， ∴②错误； ③方程的解为， 将代入得， ∴， ∴③正确． 综上，正确的有①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解． 36．（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的是有 ． 【答案】①②③④ 【分析】①若，那么为一个实数根，根据判别式即可判断；②根据根与系数的关系即可得到；③方程有两个不相等的实根，则，得出，即可判断方程必有两个不相等的实数根；④若，计算根的判别式的值得到，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断． 【详解】解：若，则方程有一根为1， 又∵， ∴，故①正确； 由根与系数的关系可知，，整理得：，故②正确； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故③正确； 若，则， 即方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 重难点八 根的分布问题 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 【详解】（1）证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； （2）∵方程两根均为负数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 38．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的方程x2﹣（4﹣2m）x+3﹣6m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）是否存在非负整数m，使方程的两个根均为正数？若存在，请求出m的值，并求出此时方程的两个根；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，此时m的值为0，方程的两个根分别为1和3． 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式进行判断即可得到答案； （2）根据一元二次方程根于系数的关系，列出关于m的一元一次不等式组，求出m的范围，看是否存在m为非负整数时满足题意即可. 【详解】解：（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（4﹣2m），c＝3﹣6m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（4﹣2m）]2﹣4×1×（3﹣6m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2． ∵（m+1）2≥0， ∴△≥0， ∴无论m取何值时，方程总有实数根． （2）解：设方程x2﹣（4﹣2m）x+3﹣6m＝0的两根分别为x1，x2（x1≤x2）， 则x1+x2＝4﹣2m，x1x2＝3﹣6m． ∵x1，x2均为正数， ∴， ∴m． 又∵m为非负整数， ∴m＝0，此时原方程为x2﹣4m+3＝0， 即（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． ∴存在非负整数m，使方程的两个根均为正数，此时m的值为0，方程的两个根分别为1和3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 39．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解：， 则 解得： 整理得： ∴． 40．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． (3)方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根可得，利用一元二次方程，即可求解； （2）利用根与系数的关系可得：，，代入即可求解； （3）根据一个根大于1，另一个根小于1，可得，将，代入即可得出k的取值范围； 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得： ∴实数k的取值范围是； （2）∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∵， ∴， 即：， 解得： ∴的值为； （3）∵方程的一个根大于1，另一个根小于1， ∴， 即：， 将，代入， ， 解得： ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与的关系是解决本题的关键． 41．（2022八年级下·上海·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可； （2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可； （3）根据两根分别减1后，两根都为正，然后利用根与系数的关系及根的判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意可得， ， 解得，或， 即当或时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根． （2）由题意可得， ，解得：1＜m＜3； 即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根． （3）根据题意，得：， 即， 解得：﹣6+3≤m≤1， 即当﹣6+3≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1． 【点睛】本题主要考查根与系数分关系和根的判别式，解决此类题目的关键是能熟练运用根与系数的关系，，，及根的判别式． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 与一元二次方程相关的计算问题 （2种题型13重难点突破2易错点） 题型1 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 重难点一 运用判别式判断方程根的情况 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边，试判别方程的根的情况为 ． 3．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 其中p为常数． (1)判断方程实数根的情况，并说明理由； (2)试写出三个p 的值，使该方程有整数解，并简要说明理由． 4．（24-25九年级上·河南许昌·期末）设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 重难点二 运用判别式求字母系数的值或范围 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）等腰三角形一条边的长度为3，另两条边的长度是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值是 ． 6．（24-25九年级上·北京·阶段练习）方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的最小整数值； (2)在（1）的条件下，当取最小整数值时，方程的两个根分别为、，求的值． 易错点一 运用判别式时忽略二次项系数不为0 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 ． 重难点三 应用根的判别式判断三角形的形状 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 14．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 15．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 16．（24-25九年级上·广东茂名·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 重难点四 与根的判别式有关的新定义问题 17．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程” 当时，该全整根方程的“最值码”是__________． 若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”． (3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 重难点五 通过判别式证明一元二次方程根的情况 20．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 22．（24-25九年级上·广东佛山·期中）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是13． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形． 题型2 一元二次方程根与系数的关系 由韦达定理可知+＝； ＝，代入下式即可. 注意：使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 易错点一 使用根与系数关系时未注意使用条件 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）方程与的所有实数根之和是 ． 重难点一 运用根与系数的关系计算对称式的值 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程，现已知该电路中电流为，则其电源电压应是 V． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知是方程的两根，求的值． 重难点二 运用根与系数的关系计算非对称式的值 6．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设是一元二次方程的两根，则等于 ． 8．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 9．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 重难点三 根系关系与根与判别式综合 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 11．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 13．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根，且，求的值． 14．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题． 概括 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为、，那么，． (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)求k 的取值范围； (2)试说明的值与k无关． 重难点四 利用根与系数关系解几何问题 16．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 18．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． (3)①数学兴趣小组探究：“是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？”如果存在，请求出该矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． ②拓展探究：如果有一矩形的长为a，宽为b，那么a、b应满足什么条件，才一定存在另一矩形的周长和面积都是该矩形的一半，请直接写出应满足的条件． 19．（24-25九年级上·全国·期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形是菱形； (2)若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 21．（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 重难点五 与根系关系有关的新定义问题/阅读材料问题 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 23．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______，______． （2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值． 24．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 25．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 26．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 重难点六 利用根系关系构造一元二次方程 27．（广东省深圳市八校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷）已知实数，满足，且，则的值为 ． 28．（专题04构造一元二次方程解题四种类型（四种技巧精讲精练 过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版））已知实数a，b，c满足方程组，求证：． 29．（贵州省遵义市汇川区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 30．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中 ，a、b、c为常数） 的两根分别为α，β，我们有如下发现：①若α，β为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②α，β满足韦达定理：即，；③韦达定理也有逆定理，即如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的两个根．请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数α，β是关于x的一元二次方程的两个根， ①当时，则 ， ； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数满足求的值． 31．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 重难点七 与一元二次方程有关的多结论问题 32．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是 ． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：①；②若，则；    ③关于x的方程的根为，；④关于x的方程的根为2，3．其中正确结论的有 ． 34．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法：①方程是2倍根方程；②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数），则；③若，则关于x的方程是2倍根方程；④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1.则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 35．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是 ． 36．（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的是有 ． 重难点八 根的分布问题 37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 38．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的方程x2﹣（4﹣2m）x+3﹣6m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）是否存在非负整数m，使方程的两个根均为正数？若存在，请求出m的值，并求出此时方程的两个根；若不存在，请说明理由． 39．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 40．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． (3)方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 41．（2022八年级下·上海·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$