第22章 一元二次方程（复习讲义）数学华东师大版九年级上册

第22章 一元二次方程（复习讲义） 1. 掌握概念与形式：理解一元二次方程的定义及其标准形式． 2. 精通四大解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法求解方程． 3. 理解判别式关键：掌握利用根的判别式判断方程实数根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）． 4. 应用建模能力：能将简单的实际问题抽象为一元二次方程模型并求解，注意解的合理性． ●一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ●二、一元二次方程的解（根） 1、一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2、一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. ●三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、因式分解法 （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3、配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 4、公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． ●四、实践与探索 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024秋•四平期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 由一元二次方程的定义求参数 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【变式2-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 题型三 由一元二次方程的定义求参数的取值范围 【例3】（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 题型四 一元二次方程的一般形式 【例4】（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【变式4-2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 题型五 由一元二次方程的解求参数 【例5】（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 【变式5-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A．1 B．4 C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 题型六 由一元二次方程的解求式子的值 【例6】（2024•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 【变式6-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式6-2】（2025·湖南娄底·二模）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 题型七 一元二次方程的解的估算 【例7】（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 题型八 用直接开平方法解一元二次方程 【例8】（2025•阎良区校级开学）一元二次方程3x2＝6的解为（　　） A．， B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D． 【变式8-1】（24-25八年级下·云南·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【变式8-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 题型九 用因式分解法解一元二次方程 【例9】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）一元二次方程的解是（   ）． A． B． C．， D．， 【变式9-2】（2025九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2) ． 题型十 用配方法解一元二次方程 【例10】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024秋•霸州市期末）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（　　） A．2025 B． C．1 D．﹣1 【变式10-2】 （24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）用配方法解方程 (1) (2) 题型十一 用公式法解一元二次方程 【例11】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用公式法解方程． (1)； (2)． 题型十二 利用根的判别式判断根的情况 【例12】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【变式12-1】（2024秋•沈丘县期末）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式12-2】（2025•济阳区模拟）一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型十二 根的判别式的应用 【例13】（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是 ． 【变式13-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 题型十四 利用根与系数的关系求值 【例14】（2024秋•长治期末）一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1、x2，若x1+x2＝4，则（　　） A．16 B．19 C．13 D．8 【变式14-1】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【变式14-2】已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 题型十五 利用根与系数的关系求参数 【例15】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两个根满足且，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【变式15-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【变式15-2】（2024秋•泗阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0有实数根，是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 题型十六 根的判别是根与系数的关系的综合运用 【例16】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【变式16-1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【变式16-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 题型十七 一元二次方程与新定义问题 【例17】（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（   ） A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0 【变式17-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【变式17-2】（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 题型十八 一元二次方程与规律探究问题 【例18】（2023春·河南洛阳·九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 1 x2+x﹣2﹣＝0 x1＝﹣2 x2＝1 2 x2+2x﹣8﹣＝0 x1＝﹣4 x2＝2 3 x2+3x﹣18＝0 x1＝　 　 x2＝　 　 … … … … （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处； （2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解． （3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解． 【变式18-1】（2023春·江西抚州·九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题： (1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； (2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； (3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 【变式18-2】（2023春·贵州遵义·九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？ 我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　 　、　 　． 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题： （1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵． 题型十九 一元二次方程的实际应用---增长率问题 【例19】（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【变式19-2】（2025•南昌县一模）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点2024年10月份完成快递的件数为40000件，12月份完成快递的件数为48400件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． 题型二十 一元二次方程的实际应用---传播问题 【例20】（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有324只鸡患有这种病．若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染健康鸡的只数． 【变式20-1】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 题型二十一 一元二次方程的实际应用---面积问题 【例21】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．若要使草坪的面积为，则道路的宽应为 m． 【变式21-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为 ． 【变式21-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 题型二十二 一元二次方程的实际应用---数字问题 【例22】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 【变式22-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 【变式22-2】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型二十三 一元二次方程的实际应用---商品销售问题 【例23】（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【变式23-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【变式23-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 题型二十四 一元二次方程的实际应用---动点运动问题 【例24】（2024秋•八公山区月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 【变式24-1】（2024春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【变式24-2】（2024春•莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ （2）当t为何值时，PQ的长为？ 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A．B． C． D． 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 5．（2024春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 6．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 7．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 9．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 10．（2024春·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 11．（2025•西华县一模）一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　 　 ． 12．（2025•成都模拟）已知α，β是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式β（β+1）+2α的值为　 　 ． 能力提升进阶练 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 15．（2024春·四川乐山·九年级统考期中）材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为…①， 解得，． 当时，无意义，舍去；当时，，解得． 所以原方程的解为，． 问题：利用本题的解题方法，解方程． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 17．（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若，则求出的周长； (2)当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长． 19．（2024秋•新宁县月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由． 20．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程（复习讲义） 1. 掌握概念与形式：理解一元二次方程的定义及其标准形式． 2. 精通四大解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法求解方程． 3. 理解判别式关键：掌握利用根的判别式判断方程实数根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）． 4. 应用建模能力：能将简单的实际问题抽象为一元二次方程模型并求解，注意解的合理性． ●一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ●二、一元二次方程的解（根） 1、一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2、一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. ●三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、因式分解法 （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3、配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 4、公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． ●四、实践与探索 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除； B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除； C．方程含有分式，不是整式方程，排除； D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 【变式1-1】（2024秋•四平期末）下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x+3＝0 B．x2+9＝0 C． D．x2+2y+6＝0 【答案】B． 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【解答】A、ax2﹣2x+3＝0，该方程的未知数的二次项系数是a，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、x2+9＝0，该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、x2+2y+6＝0，该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义，需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2求解即可． 【详解】A．展开方程左边：==， 整理为，符合一元二次方程的条件． B．是一元一次方程，次数不足． C．含有两个未知数，不是一元方程． D．含分式项，不是整式方程． 故选：A． 题型二 由一元二次方程的定义求参数 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 题型三 由一元二次方程的定义求参数的取值范围 【例3】（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 【答案】B． 【分析】由方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，可得m+2≠0，再解不等式即可． 【详解】解：∵方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0， ∴m≠﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的二次项的系数不为0”是解本题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，直接求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 若该方程为一元二次方程，则需满足二次项系数不为零，即： 解得： 故选：A． 题型四 一元二次方程的一般形式 【例4】（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式4-1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 题型五 由一元二次方程的解求参数 【例5】（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件． 【详解】解：将代入方程，得， 解得，即， ∵二次项系数，即， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A．1 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，将已知根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 因此，m的值为4， 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据x的最高次数是2，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 题型六 由一元二次方程的解求式子的值 【例6】（2024•香洲区校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B． 【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到a+b＝1，再由2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1， ∴a+b﹣1＝0， ∴a+b＝1， ∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（2025·湖南娄底·二模）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了方程根的定义．根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2025． 题型七 一元二次方程的解的估算 【例7】（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 【变式7-1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解： ， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 题型八 用直接开平方法解一元二次方程 【例8】（2025•阎良区校级开学）一元二次方程3x2＝6的解为（　　） A．， B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D． 【答案】A． 【分析】先把方程变形为x2＝2，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：方程变形为x2＝2， 所以x＝±， 即x1，x2． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【变式8-1】（24-25八年级下·云南·期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 【变式8-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 题型九 用因式分解法解一元二次方程 【例9】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 【变式9-1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）一元二次方程的解是（   ）． A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．通过因式分解法求解即可． 【详解】解： 则或， 解得：，， 故选：C． 【变式9-2】（2025九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是关键. 先将一元二次方程化为一般形式,再因式分解得,由此求出方程的解. 原方程展开得，整理得，方程两边同除以3，得,再因式分解得，由此求出方程的解. 【详解】（1）解：整理得:， , 或, . （2）解：原方程展开得， 整理得， 方程两边同除以， 得， 因式分解得:, 或, . 题型十 用配方法解一元二次方程 【例10】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式10-1】（2024秋•霸州市期末）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（　　） A．2025 B． C．1 D．﹣1 【答案】D． 【分析】将一元二次方程x2+2x﹣2024＝0进行配方变形，即可得到m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：整理得：x2+2x+1＝2024+1， 即（x+1）2＝2025， ∴m＝﹣1，n＝2025， ∴mn＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：D． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式10-2】 （24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）用配方法解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ∴， ， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 题型十一 用公式法解一元二次方程 【例11】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【变式11-1】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程，得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟记一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式11-2】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用公式法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程； （2）先化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解： 化简得 ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 题型十二 利用根的判别式判断根的情况 【例12】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式． 通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式12-1】（2024秋•沈丘县期末）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】B． 【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【变式12-2】（2025•济阳区模拟）一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C． 【分析】利用判别式“Δ＝b2﹣4ac”来判断本题即可得到答案． 【详解】解：∵x2﹣5x+7＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，掌握Δ＜0对应的一元二次方程无实数根是解题的关键． 题型十二 根的判别式的应用 【例13】（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式13-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的方程有两个实数根，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式即可得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， ． 故答案为：． 【变式13-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知是关于x的一元二次方程． (1)若是该方程的一个根，求k的值； (2)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的取值范围是解决本题的关键． （1）将代入方程中即可求解k的值； （2）通过计算方程的根的判别式并判断其取值范围，当根的判别式时，方程有两个不等的实数根；当根的判别式时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式时，方程没有实数根，由此即可证明． 【详解】（1）解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程可得， 整理可得，解得； （2）证明：∵ ， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根． 题型十四 利用根与系数的关系求值 【例14】（2024秋•长治期末）一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1、x2，若x1+x2＝4，则（　　） A．16 B．19 C．13 D．8 【答案】C． 【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1，x2， ∴， ∵x1+x2＝4， ∴ ＝13， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键． 【变式14-1】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义可得，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式14-2】已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据根与系数的关系得到α+β，αβ， （1）利用因式分解和完全平方公式把原式变形为αβ[（α+β）2﹣2αβ]，然后利用整体代入的方法计算； （2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得α+β，αβ， （1）原式＝αβ（α2+β2）＝αβ[（α+β）2﹣2αβ][（）2﹣2]； （2）原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 题型十五 利用根与系数的关系求参数 【例15】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两个根满足且，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过直接解方程，并结合，可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 两边开平方得： 解得两根为或． ∵， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【变式15-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 【变式15-2】（2024秋•泗阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0有实数根，是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】m＝1． 【分析】先根据根与系数的关系得到2m2+16m+26，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为x1，x2， 则， ∴（x1+x2）2−2x1x2＝2m2+16m+26， 令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣9， ∵方程x2﹣2（m+2）+m2﹣5＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0， 即：， 综上所述：m＝1． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则；若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0． 题型十六 根的判别是根与系数的关系的综合运用 【例16】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 【变式16-1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 【变式16-2】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或6；周长为7或8 【分析】本题考查一元二次方程的判别式（实数根条件）、等腰三角形的性质（底边与腰的分类）和分类讨论思想，关键在于根据几何条件确定方程参数并验证解的有效性。 （1）通过计算判别式，利用完全平方式的非负性直接证明方程恒有实数根即可； （2）根据等腰三角形中边长3的角色分类讨论：若3为底边，则两腰需相等一转化为方程有两个相等实数根()，解得并验证边长组合能否构成三角形；若3为腰，则3必为方程的一根，代入解出，求得另一根为2 并验证边长能否构成三角形． 【详解】（1）解： ， ， 无论k取何值，它总有实数根； （2）解：分两种情况讨论： ①当3是等腰三角形的底时， 则，即，解得：， 则方程为， 即， 解得：， ，2，3能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， 将代入， 得：，解得， 则方程为， 即， 解得，． 2、3、3能构成三角形， 则此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，或6；三角形的周长为7或8． 题型十七 一元二次方程与新定义问题 【例17】（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（   ） A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程−因式分解法． 根据新定义得出求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选B． 【变式17-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 【变式17-2】（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 题型十八 一元二次方程与规律探究问题 【例18】（2023春·河南洛阳·九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 1 x2+x﹣2﹣＝0 x1＝﹣2 x2＝1 2 x2+2x﹣8﹣＝0 x1＝﹣4 x2＝2 3 x2+3x﹣18＝0 x1＝　 　 x2＝　 　 … … … … （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处； （2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解． （3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解． 【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝3；（2）x1＝10，x2＝﹣20；（3）x1＝﹣2n，x2＝n． 【分析】（1）可以利用因式分解法解方程，按照前两个方程的根的书写规律，第一个根是负数，第二个是正数，填表即可； （2）仔细观察，发现规律，利用规律写出即可； （3）根据根与系数的关系可知第n次方程的解是x1=-2n，x2=n，则方程就是x2+nx-2n2=0． 【详解】解：（1）∵x2+3x﹣18＝0 即（x+6）（x﹣3）＝0 ∴x+6＝0或x﹣3＝0 ∴x1＝﹣6，x2＝3； 故答案为-6，3； （2）方程规律：x2+1•x﹣12•2＝0， x2+2•x﹣22•2＝0， x2+3•x﹣32•2＝0， 即第10个方程为：x2+10x﹣102•2＝0， 所以第10个方程为：x2+10x﹣200＝0， 解得x＝， ∴x1＝10，x2＝﹣20； （3）由（2）得：第n个方程为：x2+nx﹣2n2＝0， 方程的两根为：x1＝﹣2n，x2＝n． 【点睛】本题不但考查了一元二次方程的解，而且考查了通过观察总结规律的能力．此题是个阅读型题目，首先通过阅读所给材料，从中找出隐含的规律，然后利用找到的规律解决一般情况的方程，题目也体现了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想． 【变式18-1】（2023春·江西抚州·九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题： (1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； (2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； (3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 【答案】(1)黑色瓷砖的块数可以用含有n的代数式表示为：4(n+1)，白色瓷砖的块数用含有n的代数式表示为n(n+1)；(2)黑色瓷砖：36块；白色瓷砖：72块；(3)每间教室瓷砖共需要5540元. 【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），由此即可得答案； （2）根据（1）中的规律，将n=8代入计算即可； （3）设白色瓷砖的行数为n，根据教室的面积，利用矩形的面积公式列方程进行求解即可. 【详解】(1)通过观察图形可知，当n＝1时，黑色瓷砖有8块，白色瓷砖有2块； 当n＝2时，黑色瓷砖有12块，白色瓷砖有6块；当n＝3时，黑色瓷砖有16块，白色瓷砖有12块； 发现黑色的瓷砖每次增加4块；而白色的瓷砖第次的数量分别为1×2；2×3；3×4… 则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可以用含有n的代数式表示为：4(n+1)，白色瓷砖的块数用含有n的代数式表示为n(n+1)； (2)当n＝8时，黑色瓷砖：4×(8+1)＝36块；白色瓷砖：8×(8+1)＝72块； (3)设白色瓷砖为行数为n，根据题意，得：0.52×n(n+1)+0.5×0.25×4(n+1)＝68 解得n1＝15，n2＝﹣18 (不合题意，舍去) 白色瓷砖的块数为15×16＝240 (块) 黑色瓷砖的块数为4×16＝64 (块) 所以每间教室的瓷砖共需要：20×240+10×64＝5440 (元) 答：每间教室瓷砖共需要5540元 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，一元二次方程的应用，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律. 【变式18-2】（2023春·贵州遵义·九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？ 我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　 　、　 　． 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题： （1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵． 【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵． 【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵． 【详解】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个， 故答案为60个，6n个； （1）如图所示：第1个点阵中有：1个， 第2个点阵中有：2×3+1=7个， 第3个点阵中有：3×6+1=17个， 第4个点阵中有：4×9+1=37个， 第5个点阵中有：5×12+1=61个， … 第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1， 故答案为61，3n2﹣3n+1； （2）3n2﹣3n+1=271， n2﹣n﹣90=0， （n﹣10）（n+9）=0， n1=10，n2=﹣9（舍）， ∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵． 【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键． 题型十九 一元二次方程的实际应用---增长率问题 【例19】（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 【变式19-1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的售价=原售价每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)， ∴每次降价的百分率为． 故答案为：． 【变式19-2】（2025•南昌县一模）互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递网点2024年10月份完成快递的件数为40000件，12月份完成快递的件数为48400件，求该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率． 【答案】10%． 【分析】设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为x，利用该快递网点12月份完成快递的件数＝该快递网点10月份完成快递的件数×（1+该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为x， 根据题意得：40000（1+x）2＝48400， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 所以该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为10%， 答：该快递网点每月完成快递件数的月平均增长率为10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型二十 一元二次方程的实际应用---传播问题 【例20】（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有324只鸡患有这种病．若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染健康鸡的只数． 【答案】每只病鸡每轮传染健康鸡17只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每只病鸡每轮传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，则经过两天的传染后感染患病的鸡共有只，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设每只病鸡每轮传染健康鸡x只， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， 答：每只病鸡每轮传染健康鸡17只． 【变式20-1】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 【变式20-2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 题型二十一 一元二次方程的实际应用---面积问题 【例21】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．若要使草坪的面积为，则道路的宽应为 m． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题目中的等量关系建立方程是解题的关键． 根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为，宽为，再根据草坪的面积为列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意得：，整理得：， 所以，解得：或42（不合题意舍弃）． 所以道路的宽应为． 故答案为：2． 【变式21-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽度为，则两条路的面积为，根据栽种花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为． 故答案为：2． 【变式21-2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 题型二十二 一元二次方程的实际应用---数字问题 【例22】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 个数上的数字是4，十位上的数字是， 这个两位数是84， 故选B． 【变式22-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72．求这个两位数． 【答案】98 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，再根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为．依题意，得， 解得（不合题意，舍去），， ． 答：这个两位数为98． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 【变式22-2】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 题型二十三 一元二次方程的实际应用---商品销售问题 【例23】（25-26九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【分析】设每件衬衫应降价x元,则每件衬衫盈利(40﹣x)元,销售量为(20+2x)件，再根据总盈利为1200元列出方程求解即可解答. 【详解】设每件衬衫应降价x元．根据题意，得． 整理，得， 解得． 要扩大销售，减少库存， 应舍去， ． 故每件衬衫应降价20元． 【变式23-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)50元 (2)不能达到15000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，根据题意列出一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴不能达到15000元． 【变式23-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 【答案】(1)见解析 (2)实验器材A为10套，实验器材B为40套 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据已知条件列式计算即可； （2）设实验器材A为x套，则实验器材B为套，根据订购这批实验器材总价为5300元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，当时，实验器材A的销售单价为： （元/套）， 则实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为： （元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 题型二十四 一元二次方程的实际应用---动点运动问题 【例24】（2024秋•八公山区月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（　　） A． B．2s C． D．或2s 【答案】A． 【分析】设经过x s，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【】解：设x s后P、Q之间的距离等于， 由题意得，AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（7﹣x）cm， ∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴， 解得，，x2＝2， 当x2＝2时，BQ＝2x＝4＞BC，不合题意，舍去， ∴， ∴需要经过． 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式24-1】（2024春•渝中区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度． 【变式24-2】（2024春•莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？ （2）当t为何值时，PQ的长为？ 【答案】（1）1；（2）或2. 【分析】（1）由题意可求得BQ、BP的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意知BQ＝2t cm，AP＝t cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∴， ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， ∵△PBQ的面积是△ABC面积的， ∴， ∴﹣t2+6t＝5， 解得t1＝1，t2＝5（舍去）． ∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的； （2）设t秒后，PQ的长度等于， 根据勾股定理，得PQ2＝BP2+BQ2，即， 整理得，5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，． ∴当t为或2时，PQ的长度等于． 【点评】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①，不是整式方程，不是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，是一元二次方程, 综上，符合条件的方程有③和④，共2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 3．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 5．（2024春•铜梁区校级期中）某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 【答案】A． 【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小道的宽为xm， ∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形． 根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质． 先解方程得到对角线可能的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，最后计算面积． 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 7．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 10．（2024春·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】7 【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案． 【详解】解：， 移项得：， ， ， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键． 11．（2025•西华县一模）一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　 　 ． 【答案】0． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其内的最大整数值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0， 解得：m， ∴m的最大整数值是0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．（2025•成都模拟）已知α，β是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式β（β+1）+2α的值为　 　 ． 【答案】2027． 【分析】由α，β是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，可求出β2﹣β与α+β的值，再将β（β+1）+2α化简成关于β2﹣β与α+β的式子，即可求出原式的值． 【详解】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根， ∴β2﹣β﹣2025＝0，α+β， ∴β2﹣β＝2025，α+β＝1． ∵β（β+1）+2α＝β2+β+2α＝β2﹣β+2β+2α＝β2﹣β+2（α+β）， ∵β（β+1）+2α＝2025+2×1＝2027． 故答案为：2027． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及方程解的意义相关知识，掌握根与系数的关系、代数式的正确变形及运用整体思想求值是解题的关键． 能力提升进阶练 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 15．（2024春·四川乐山·九年级统考期中）材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为…①， 解得，． 当时，无意义，舍去；当时，，解得． 所以原方程的解为，． 问题：利用本题的解题方法，解方程． 【答案】， 【分析】根据题意，设，则变为，解这个一元二次方程，求出，再把值代入，即可求出． 【详解】解：设 ∴变形为： ∵变形为： ∴， ∴当时，，方程变形为：，解得：， 当时，，方程变形为： ∵ ∴无实数解 ∴的解为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，根的判别式，易错点换元降次是求解一元高次方程． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程，得：， 解得：， 当时，方程为， 即， ，， 方程的另一个根是． 17．（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 18．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若，则求出的周长； (2)当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)，边长为 【分析】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，用转化的思考问题． （1）由题意，即方程有一个根是，代入方程可求出，再解方程即可； （2）根据题意，构建新方程，解出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题知方程的一个根为，代入方程， ∴．解得． ∴方程为．解得，． ∴． ∴的周长为． （2）解：若是菱形，则． ∴方程有两个相等的实数根．即， 解得． ∴当时，是菱形． 解方程，得． ∴菱形的边长为． 19．（2024秋•新宁县月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由． 【答案】（1）1秒；（2）0秒或2秒；（3）不能. 【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，AP＝x cm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2x cm，则，令S＝4，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3），化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【详解】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）， 此时AP＝x cm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2x cm， 由，得， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4（舍）， ∴1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）设经过t秒后，PQ的长度等于5cm， 由PQ2＝BP2+BQ2， 即25＝（5﹣t）2+（2t）2， 解得：t1＝0，t2＝2， ∴0秒或2秒后，PQ的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得：， 整理得：x2﹣5x+8＝0， 由于b2﹣4ac＝25﹣32＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，结合图形得出等量关系是解决问题的关键． 20．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$