第1章 直线和圆（知识清单）数学北师大版2019选择性必修第一册

第1章 直线和圆 知识点一 直线与直线的方程 1、 直线的方程 1．直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按 方向旋转到与直线重合时所转的 正角记为θ，则称θ为这条直线的 ；倾斜角的取值范围是 ． 2．直线的斜率 (1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝ 为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝ ；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的 ．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝ ． 3．直线方程的五种形式 名称 几何要素 方程形式 适用范围 点斜式 点(x0，y0)，斜率k 与x轴不垂直 斜截式 斜率k， 纵截距b 两点式 点(x1，y1)， 点(x2，y2)， x1≠x2， y1≠y2 与坐标轴不垂直 截距式 纵、横截距， a≠0，b≠0 不过原点且不垂直于坐标轴 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线 特别说明：（1）经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． （2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 二、两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝ 平行 或 重合 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 特别说明：　(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ． (2)点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ ． 知识点二 圆与圆的方程 一、圆的方程 1．圆的定义与方程 （1）圆的定义 平面内 点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 圆A可用集合表示为： . （2）圆的标准方程 我们把 （r>0） 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． （2）圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: .① 将方程①的左边配方,得+=. ①当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. ②当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. ③当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. （4）圆的一般方程 ①定义:方程 (D、E、F为常数),当 >0时称为圆的一般方程. ②圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为 ,半径 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2 r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2 r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2 r2⇔点在圆内 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r 2．圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝ ． 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线 条数 外离 4 内含 0 相交 2 内切 1 外切 3 【易错点一】01 错误理解斜率与倾斜角间的关系 辨析：斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与x轴正方向之间的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于x轴）时倾斜角为90度这一特殊情况。 【典例1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 . 【典例2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【易错点二】02 两平行直线间的距离公式应用错误 辨析：应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应x，y的系数相等时，才可利用两平行线间的距离公式求解. 【典例1】，与直线平行，则直线与的距离为 . 【典例2】两平行直线与之间的距离为 ． 【易错点三】03 忽视圆的一般方程成立的条件 辨析：易忽视圆的一般方程：表示圆的条件而导致错误. 【典例1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错点四】04 求与圆的切线有关的问题 辨析：求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在的情况． 【典例1】写出一个过点且与圆相切的直线方程 ． 【典例2】已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ． 重难点01 倾斜角与斜率的计算 1.求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3.倾斜角与斜率函数图象关系 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 重难点02 三点共线问题 利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 6．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 7．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 8．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 重难点03 过定点的直线与线段相交问题 涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用斜率公式求解．9．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A．B． C． D． 11．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点04 直线的方程 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 13．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 14．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 重难点05 直线与坐标轴围成的三角形问题 由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． 17．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 重难点06 直线过定点问题 将直线方程整理为含参数的项与不含参数的项分离,如 ,联立 和 ,解方程组得定点坐标。 20．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 22．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 重难点07 两直线位置关系的判定 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 23．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 24．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 25．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 重难点08 两直线的交点与距离问题 利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 26．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 27．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 29．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 重难点09 与直线有关的对称问题 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 30．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 重难点10 求圆的方程 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 36．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 39．（21-22高二上·云南曲靖·阶段练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 重难点11 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 40．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 42．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 重难点12 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 方程 ,需满足 , , ,三者缺一不可。 43．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 45．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 重难点13 点与圆的位置关系判断 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 46．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 47．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 48．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 49．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点14 与圆有关的对称问题 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 50．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 51．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 52．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 53．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆. (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程 重难点15 圆过定点问题 将圆方程整理为含参数的圆系方程,如 ,联立两圆方程 和 ,解交点即定 点。 54．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 55．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 56．（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 16 直线与圆的位置关系的判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 57．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 58．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 59．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 60．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点17 弦长与面积问题 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 62．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 64．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 65．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 重难点18 切线问题、切线长问题 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 66．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 68．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 69．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 71．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 难点19 切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 72．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 73．（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 74．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 重难点20 圆上的点到直线距离个数问题 (1)直线与圆有公共点时，此时. ①当时，点P个数为0;②当时，点P个数为1; ③当时，点P个数为2;④当时，点P个数为3; ⑤当时，点P个数为4; (2)当直线与圆无公共点时，此时d>r. ①当时，点P个数为0;②当时，点P个数为1; ③当时，点P个数为2. 75．（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 76．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 77．（22-23高二上·河南·期中）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 78．（24-25高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 79．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 重难点21 直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 80．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 81．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 82．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点22 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 83．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 84．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 85．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 86．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点23 两圆的公共弦问题 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 87．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 88．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 89．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 重难点23 两圆的公切线问题 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 90．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 91．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 92．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 93．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 94．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线和圆 知识点一 直线与直线的方程 1、 直线的方程 1．直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90˚时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(u，v)，则k＝． 3．直线方程的五种形式 名称 几何要素 方程形式 适用范围 点斜式 点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直 斜截式 斜率k， 纵截距b y＝kx＋b 两点式 点(x1，y1)， 点(x2，y2)， x1≠x2， y1≠y2 ＝ 与坐标轴不垂直 截距式 纵、横截距， a≠0，b≠0 ＋＝1 不过原点且不垂直于坐标轴 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线 特别说明：（1）经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． （2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 二、两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 特别说明：　(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 2．两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ． (2)点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 知识点二 圆与圆的方程 一、圆的方程 1．圆的定义与方程 （1）圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 圆A可用集合表示为： （2）圆的标准方程 我们把 （r>0） 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． （2）圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0.① 将方程①的左边配方,得+=. ①当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. ②当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. ③当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. （4）圆的一般方程 ①定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D、E、F为常数),当D2+E2-4F>0时称为圆的一般方程. ②圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为,半径 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)． 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2．圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝． 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 圆心距与半径的关系 图示 公切线 条数 外离 d>r1＋r2 4 内含 d<|r1－r2| 0 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 2 内切 d＝|r1－r2| 1 外切 d＝r1＋r2 3 【易错点一】01 错误理解斜率与倾斜角间的关系 辨析：斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与x轴正方向之间的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于x轴）时倾斜角为90度这一特殊情况。 【典例1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 . 【答案】 【解析】因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为， 所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足， 因为，所以， 所以，解得， 由已知及倾斜角与斜率的关系得，所以. 故答案为：. 【典例2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 【易错点二】02 两平行直线间的距离公式应用错误 辨析：应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应x，y的系数相等时，才可利用两平行线间的距离公式求解. 【典例1】，与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】 【解析】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 【典例2】两平行直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由，可得， 所以与之间的距离为. 故答案为：. 【易错点三】03 忽视圆的一般方程成立的条件 辨析：易忽视圆的一般方程：表示圆的条件而导致错误. 【典例1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因在圆外，则，得. 又表示圆，则，得. 综上：. 故选：D 【典例2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【易错点四】04 求与圆的切线有关的问题 辨析：求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在的情况． 【典例1】写出一个过点且与圆相切的直线方程 ． 【答案】或（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆， 当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为． 由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程， 故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可） 【典例2】已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ． 【答案】 【解析】由于，所以在圆上， 又，故, 故切线的斜率为，进而切线方程为，即，分别令， 故,故， 故答案为： 重难点01 倾斜角与斜率的计算 1.求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3.倾斜角与斜率函数图象关系 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解． 【详解】由题得，， 所以直线的倾斜角为， 故答案为：． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 4．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 重难点02 三点共线问题 利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 6．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点 （填“是”或“否”）在同一直线上． 【答案】是 【分析】通过计算斜率来进行判断. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 7．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 8．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 重难点03 过定点的直线与线段相交问题 涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用斜率公式求解． 9．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 10．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 11．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 12．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C．    重难点04 直线的方程 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 13．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 14．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 15．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 16．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 重难点05 直线与坐标轴围成的三角形问题 由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． 17．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19．（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 重难点06 直线过定点问题 将直线方程整理为含参数的项与不含参数的项分离,如 ,联立 和 ,解方程组得定点坐标。 20．（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 21．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 【答案】D 【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用直线的斜截式，结合其与坐标的交点判断B，将直线方程化为斜截式可判断C，利用直线的斜率与倾斜角的关系判断D，从而得解. 【详解】对于A，直线：，可化为， 当时，，所以直线过点，故A正确； 对于B，当时，直线为，即， 其斜率是2，与坐标轴的交点分别是和， 因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确. 对于C，直线方程可化为，斜率为，一定存在，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：D. 22．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知直线l的方程为，则直线l过定点 . 【答案】 【分析】利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 故答案为：. 重难点07 两直线位置关系的判定 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 23．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 24．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 25．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】B 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 重难点08 两直线的交点与距离问题 利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 26．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 27．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 28．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 29．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 重难点09 与直线有关的对称问题 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 30．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 31．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 32．（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 33．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 34．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 35．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 重难点10 求圆的方程 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 36．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 37．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 38．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 39．（21-22高二上·云南曲靖·阶段练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【详解】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B． 重难点11 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 40．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 41．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹． 【答案】答案见解析 【分析】以圆心为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，设圆与轴交点为作于，进而利用相似三角形建立方程求解即可. 【详解】如图，以圆心为原点，所在的直线为轴建立直角坐标系， 则，圆的方程是． 设点的坐标为，并设圆与轴交点为作于， 则有． ，，即， 即， 点的轨迹是分别以为直径的两个圆．    42．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 重难点12 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 方程 ,需满足 , , ,三者缺一不可。 43．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 45．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 重难点13 点与圆的位置关系判断 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 46．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 47．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 48．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，即， 即，因此，点在圆内. 故选：C. 49．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 重难点14 与圆有关的对称问题 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 50．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 51．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 52．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据圆心在直线上即可求解. 【详解】的圆心为， 故在直线上，故，解得， 故选：C 53．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆. (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相切，求直线的方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆与圆的圆心关于直线对称求出点坐标，即可得出圆的方程； （2）分类直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，求直线的方程． 【详解】（1）∵圆的标准方程是 ∴圆的圆心坐标是，半径长， ∵圆与圆关于直线对称， 设圆的圆心，则点关于直线对称，两圆半径相等， 所以，解得， 即， 所以圆D的方程为. （2）如图，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵直线与圆C相切， ∴圆心到直线的距离， 即，故，解得， ∴此时直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 重难点15 圆过定点问题 将圆方程整理为含参数的圆系方程,如 ,联立两圆方程 和 ,解交点即定 点。 重难点54．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 55．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 56．（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 16 直线与圆的位置关系的判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 57．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 58．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 59．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 60．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切可得出的值. 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 61．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 重难点17 弦长与面积问题 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 62．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 63．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 64．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 65．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D 重难点18 切线问题、切线长问题 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 重66．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 67．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 68．（2025·甘肃白银·三模）过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 69．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 70．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 71．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 难点19 切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 72．（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 73．（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 74．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 重难点20 圆上的点到直线距离个数问题 (1)直线与圆有公共点时，此时. ①当时，点P个数为0;②当时，点P个数为1; ③当时，点P个数为2;④当时，点P个数为3; ⑤当时，点P个数为4; (2)当直线与圆无公共点时，此时d>r. ①当时，点P个数为0;②当时，点P个数为1; ③当时，点P个数为2. 75．（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. 76．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】C 【分析】求得圆的圆心及半径，进而求得圆心到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：C. 77．（22-23高二上·河南·期中）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的半径为，由弦长求出，即可得到圆的方程，则圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为，则圆心到轴的距离为， 又截轴所得弦长为，所以，解得（负值已舍去）， 所以圆的方程为． 由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3， 可知圆心到直线的距离，即1， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 78．（24-25高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形得到圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【详解】由可得：，则圆心为，半径为3， 因直线过定点，圆上有且仅有3个点到直线的距离为，位置如下图所示： 由图可知，圆心到直线的距离为， 即，解得：. 故直线的斜率为. 故选：D. 79．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 重难点21 直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 80．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 81．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 82．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离. 【详解】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 重难点22 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 83．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 84．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 85．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 86．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 重难点23 两圆的公共弦问题 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 重难点24 两圆的公切87．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 88．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 89．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 线问题 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 90．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 91．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 92．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 93．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 94．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$