11.5二次根式及其性质（教学课件）数学北京版2024八年级上册

北京版2024·八年级上册 二、二次根式 11.5二次根式及其性质 第十一章 实数和二次根式 学 习 目 标 1 2 3 理解二次根式定义. 掌握性质 . 会求字母取值范围及化简根式. 知识回顾 问题: 1.平方根的定义？=？ 定义：若 x2 = a，则 x 是 a的平方根；=4 2.算术平方根的性质？ 非负性 ≥0 a≥0（有理数） 定义：16的算术平方根（正的平方根）； =4 情境导入 正方形面积为 S，则边长 a = a= (1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正方形的边长为__________. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 130 m2,则它的宽为________m. S长方形=长×宽 设宽为xm，长为2xm 列方程：2x∙x=130 x= 新知探究 探究1：二次根式定义 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 新知探究 探究1：二次根式定义 思考与交流 表示什么？a要满足什么条件？ 算术平方根，正的平方根 被开方数，非负数 2 2 2 新知探究 探究1：二次根式定义 归纳小结 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号. 注意：a可以是数，也可以是式. 在实数范围内，由于负数没有平方根，所以（a<0）没有意义，也就是说中的字母a只能表示大于或等于0的实数。 新知探究 探究1：二次根式定义 练习： 判断下列是否为二次根式 1. 2. 3. × 被开方数小于0 √ （x-1）2≥0 √ π-3>0 新知探究 探究1：二次根式定义 归纳小结 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 新知探究 探究1：二次根式定义 练习： 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 探究2：二次根式的性质 新知探究 思考与交流 1.式子、、分别表示什么意义？ 2.、、的平方分别等于几？为什么？ 3.（a≥0）的意义（）2等于什么？ 探究2：二次根式的性质 新知探究 1.式子、、分别表示什么意义？ 式子分别表示2、3、5的算术平方跟，都大于0 算术平方根 2 3 5 探究2：二次根式的性质 新知探究 2.、的平方分别等于几？为什么？ 根式 平方 代数推导 （）2=2 （）2=3 （）2=5 定义：x2=2的解 定义：x2=3的解 定义：x2=5的解 探究2：二次根式的性质 新知探究 3.（1）（a≥0）的意义字母a的取值范围？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根，因此=0. a≥0 探究2：二次根式的性质 新知探究 （2）（）2等于什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 探究2：二次根式的性质 新知探究 （2）（）2等于什么？ 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 探究2：二次根式的性质 新知探究 4.（1）的意义？字母a的取值范围？ ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 探究2：二次根式的性质 新知探究 4.（1）的意义？字母a的取值范围？ ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 探究2：二次根式的性质 新知探究 4.（1）的意义？字母a的取值范围？ 意义：数a的平方的算术平方根 a的取值范围：全体实数(因为a2≥0恒成立) 探究2：二次根式的性质 新知探究 4.（2）一定等于a吗？为什么？ 不一定，需要分类讨论 a的取值 ​ 与a的关系 验证 a≥0 a<0 a -a =a =-a ==3 ==3 新知探究 探究2：二次根式的性质 归纳小结 核心结论： a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 的性质： 典例解析 例1 化简： 解： ，而3.14＜π，要注意a的正负性. 典例解析 例1 实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ （1） 二次根式有意义的条件，被开方数≥0 ≥0 解：由2x+3≥0，得 x≥- 所以当x≥-时， 表示二次根式 （2） ≥0 解：由2-4x≥0，得 x≤ 所以当x≤时， 表示二次根式 典例解析 例2 计算： （1）2 （2）4 解：(1)(5)2 =52×（）2 =25×3 =75 （3）2 (2)()4 =[()2]2 =22 =4 (3)因为对于任何实数a和 b，都有a2+b2≥0，所以2=a2+b2 典例解析 例3 计算： （1） （2） 解：(1) =|-1.9| =1.9 (2)∵x2≥0 ∴x2+1＞0 ∴ =|| = 典例解析 例3 计算： （3） （4）(a≥0，b＜0) 解：(3) ∴3-π＜0 ∴ =|3-π| =-（3-π） =π-3 (4)∵a≥0，b＜0 ∴ab＜0 ∴ = =|| = 典例解析 例3 计算： （5）(x＜5) 解：(5) ∴x-5＜0 ∴ = =|x-5| =-（x-5） =5-x 课堂练习 1．下列各式是二次根式的是(　　) A．　 B．　 C．　 D．a2 B 2．下列各式是二次根式的是(　　) A． B．　 C． D． 3．若是二次根式，则a的值不可以是(　　) A．0　 B．　 C．90　 D．-2.1 C D 课堂练习 4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为(　　) A．x≥0 B．x≤0 C．x>0 D．x<0 A 5.计算： (1)=　　　　;  (2)=　　　　;  (3)=　　　　;  (4)=　　　　．  4 2 0 课堂练习 6.计算： (1)=　　　　;  (2)=　　　　;  (3)=　　　　;  (4)=　　　　．  2 0.1 0 7.已知+=0，求x+y的值． 解：∵+=0，∴=0，=0， ∴x-1=0，y=0，∴x=1，∴x+y=1+0=1. 课堂练习 8．若+=0，求a2 025+b2 024的值． 解：∵+=0，∴=0，=0， ∴a+1=0，b-1=0，∴a=-1，b=1， ∴a2 025+b2 024=-1+1=0. 课堂总结 问题 核心结论 应用示例 的意义 （）2的意义 =a的关系 的取值 a≥0的算术平方根 恒等于a (a≥0) 等于a (需分类讨论) 恒非负（≥0) 要求x≥−1 （）2=0.3 =4 ≥0 课堂总结 记忆口诀： 二次根式双非负， 被开方数要≥0； 平方去根号， 平方根套绝对值！ 感谢聆听! $$