17.选择性必修3 第七章 随机变量及其分布(教师版)-【高中数学】5年(2021-2025)真题按章分类

【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 2个单选题 + 2个多选题 + 6个填空题 + 10个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是(  ) A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 2.(2023高考·全国)某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(  ) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 二、多选题 3.(2023高考·全国)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)。 A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4.(2024高考·全国)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则( )(若随机变量Z服从正态分布，) A. B. C. D. 三、填空题 5.(2022高考·全国)已知随机变量X服从正态分布，且，则__________. 6.(2024高考·全国)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 7.(2024高考·天津)五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 . 8.(2024高考·上海)某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题.小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是 . 9.(2025高考·全国一卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 10.(2025高考·天津)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 . 四、解答题 11.(2021高考·全国)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。 (1)若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 12.(2021高考·北京)在核酸检测中， “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束。 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确。 (I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测。 (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数。 (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为，设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X)。 (II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 13.(2022高考·全国)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的。从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001). 14.(2022高考·全国)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。 (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望。 15.(2022高考·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16。 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立。 (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 16.(2023高考·全国)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求。 17.(2024高考·全国)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18.(2024高考·北京)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. (i)记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中估计值的大小.(结论不要求证明) 19.(2025高考·北京)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小(结论不要求证明). 20.(2025高考·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求(用p表示). (2)若，求p. (3)证明：对任意正整数m，. 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 参考答案及解析 一、单选题 1.D 为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，A正确。由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，B正确。由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，C正确。因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，D错误。 2.A 同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以。 二、多选题 3.ABD 依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确。三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确。 三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误。由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确。 4.BC 依题可知，，所以，故，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误， 三、填空题 5./ 因为，所以，因此。 6./0.5 设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以.从而.记.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，两式相减即得，故.所以甲的总得分不小于2的概率为. 7. ； 解法一：列举法。从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲选到得概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选则有3种可能性：，故乙选了活动，他再选择活动的概率为. 解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；。 8.0.85 由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率. 9./ 法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，所以，故答案为：。 法二：依题意，假设随机变量，其中：其中，则，由于球的对称性，易知所有相等，则由期望的线性性质，得，由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：，故，所以，故答案为：。 10.0.6；3.2 设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，则；若至少跑11圈为运动量达标为事件，，所以，；故答案为：；. 四、解答题 11.【答案】(1)证明见解析 (2)B类 【解析】(1)由题可知，的所有可能取值为，，.；；.所以的分布列为。 (2)由(1)知，，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，，；；，所以因为，所以小明应选择先回答类问题。 12.【答案】(1)①次；②分布列见解析；期望为； (2)。 【解析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解 ①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次，②由题意，可以取20，30，，，则的分布列： 所以。 (2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解 由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则。 13.【答案】(1)岁 (2) (3) 【解析】(1)平均年龄 (岁)。 (2)设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以。 (3)设“任选一人年龄位于区间[40，50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：，则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为。 14.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为。 (2)分布列见解析， 依题可知，的可能取值为，所以，，，，。即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望。 15.【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【解析】(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5。 (2)设甲获得优秀为事件A1，乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，。∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴。 (3)丙夺冠概率估计值最大。因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利。 16.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，。 (2)设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即。 (3)因为，，所以当时，，故。 17.【答案】(1) (2)(i)由甲参加第一阶段比赛 (i)由甲参加第一阶段比赛； 【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率. (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，，，，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，因为，则，，则，应该由甲参加第一阶段比赛. 18.【答案】(1) (2)(i)0.122万元 (ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于(i)中估计值。 【解析】(1)设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. (2)(ⅰ)设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故(万元). (ⅱ)由题设保费的变化为，故(万元)，从而. 19.【答案】(1) (2)， (3) 【解析】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率。 (2)设为“从甲校抽取1人做对”，则，，设为“从乙校抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故依题可知，可取，，，， 故的分布列如下表： 故. (3)设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，，故，故。 20.【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【解析】(1)为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，故所求为，为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，故所求为。 (2)由(1)得，，同理，若，，则，由于，所以，解得。 (3)我们有.以及，至此我们得到，，同理，故，即，另一方面，由于且同理有，故结合，就能得到，即，证毕. 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 2个单选题 + 2个多选题 + 6个填空题 + 10个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是(  ) A.越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 1.D 为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，A正确。由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，B正确。由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，C正确。因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，D错误。 2.(2023高考·全国)某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(  ) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 2.A 同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件，记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以。 二、多选题 3.(2023高考·全国)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)。 A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 3.ABD 依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确。三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确。 三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误。由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确。 4.(2024高考·全国)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则( )(若随机变量Z服从正态分布，) A. B. C. D. 4.BC 依题可知，，所以，故，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误， 三、填空题 5.(2022高考·全国)已知随机变量X服从正态分布，且，则__________. 5./ 因为，所以，因此。 6.(2024高考·全国)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 6./0.5 设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以.从而.记.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，两式相减即得，故.所以甲的总得分不小于2的概率为. 7.(2024高考·天津)五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 . 7. ； 解法一：列举法。从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲选到得概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选则有3种可能性：，故乙选了活动，他再选择活动的概率为. 解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；。 8.(2024高考·上海)某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题.小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是 . 8.0.85 由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率. 9.(2025高考·全国一卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 9./ 法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，所以，故答案为：。 法二：依题意，假设随机变量，其中：其中，则，由于球的对称性，易知所有相等，则由期望的线性性质，得，由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：，故，所以，故答案为：。 10.(2025高考·天津)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 . 10.0.6；3.2 设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，则；若至少跑11圈为运动量达标为事件，，所以，；故答案为：；. 四、解答题 11.(2021高考·全国)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。 (1)若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 11.【答案】(1)证明见解析 (2)B类 【解析】(1)由题可知，的所有可能取值为，，.；；.所以的分布列为。 (2)由(1)知，，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，，；；，所以因为，所以小明应选择先回答类问题。 12.(2021高考·北京)在核酸检测中， “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束。 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确。 (I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测。 (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数。 (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为，设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X)。 (II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 12.【答案】(1)①次；②分布列见解析；期望为； (2)。 【解析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解 ①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次，②由题意，可以取20，30，，，则的分布列： 所以。 (2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解 由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则。 13.(2022高考·全国)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的。从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001). 13.【答案】(1)岁 (2) (3) 【解析】(1)平均年龄 (岁)。 (2)设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以。 (3)设“任选一人年龄位于区间[40，50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：，则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为。 14.(2022高考·全国)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。 (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望。 14.【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为。 (2)分布列见解析， 依题可知，的可能取值为，所以，，，，。即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望。 15.(2022高考·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16。 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立。 (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 15.【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【解析】(1)由频率估计概率可得，甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5。 (2)设甲获得优秀为事件A1，乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，。∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴。 (3)丙夺冠概率估计值最大。因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利。 16.(2023高考·全国)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求。 16.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，。 (2)设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即。 (3)因为，，所以当时，，故。 17.(2024高考·全国)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 17.【答案】(1) (2)(i)由甲参加第一阶段比赛 (i)由甲参加第一阶段比赛； 【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率. (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，，，，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，因为，则，，则，应该由甲参加第一阶段比赛. 18.(2024高考·北京)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. (i)记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中估计值的大小.(结论不要求证明) 18.【答案】(1) (2)(i)0.122万元 (ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于(i)中估计值。 【解析】(1)设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. (2)(ⅰ)设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故(万元). (ⅱ)由题设保费的变化为，故(万元)，从而. 19.(2025高考·北京)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小(结论不要求证明). 19.【答案】(1) (2)， (3) 【解析】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率。 (2)设为“从甲校抽取1人做对”，则，，设为“从乙校抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故依题可知，可取，，，， 故的分布列如下表： 故. (3)设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，，故，故。 20.(2025高考·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求(用p表示). (2)若，求p. (3)证明：对任意正整数m，. 20.【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【解析】(1)为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，故所求为，为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，故所求为。 (2)由(1)得，，同理，若，，则，由于，所以，解得。 (3)我们有.以及，至此我们得到，，同理，故，即，另一方面，由于且同理有，故结合，就能得到，即，证毕. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$