精品解析：重庆市荣昌中学校2025-2026学年高二下学期第二次学情调研数学试卷

重庆荣昌中学高2027届高二（下）第二次学情调研 数学试卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共58分） 一、单项题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9 3. （，）可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在一组样本数据，，，的散点图中，其中，，若所有样本点都在直线上，则决定系数为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将英文单词“”中的个字母重新组合排列，还可组成（ ）个英文单词（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）． A. B. C. D. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如右2×2列联表（单位：只），从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 A. == B. == C. == D. == 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联” D. 样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为 C. 偶数次系数和为64 D. 11. 函数，则下列结论正确的是（   ） A. 若有极值点，则 B. 无论取何值，都存在，使得成立 C. 的对称点在直线上 D. 若，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择9粒种子进行播种，记种子发芽粒数为，则___________． 13. 化简___________(用组合数表示)． 14. 已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有1张，奖金为300元的二等奖彩票有2张，奖金为100元的三等奖彩票有4张，其余的彩票没有奖金．从中随机抽出3张彩票． （1）求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于300元的概率； （2）记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 16. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求二项式系数的最大值； （2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中的常数项． 17. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. （1）当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； （2）记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； （3）已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆荣昌中学高2027届高二（下）第二次学情调研 数学试卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共58分） 一、单项题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，且，则为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，且， 由正态分布的性质可知， 解得. 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，， 则6对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，,解得. 3. （，）可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列公式逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，满足题意； 对于D，，不满足题意. 4. 在一组样本数据，，，的散点图中，其中，，若所有样本点都在直线上，则决定系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用决定系数的概念计算即可. 【详解】由于所有样本点都在直线上，则残差平方和为0，此时决定系数. 5. 若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可. 【详解】因为在上的平均变化率为， 所以，解得. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】由全概率公式，且，，所以. 又由条件概率公式，所以． 因此. 7. 将英文单词“”中的个字母重新组合排列，还可组成（ ）个英文单词（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算个字母（其中有个字母相同）的总的排列数，再减去单词“”本身这种排列可得. 【详解】因为单词 “”共个字母，其中字母重复次，其余字母均不重复， 所以总排列数为， 又因为题目要求“还可组成”，需要减去原来的单词“”本身这种排列， 因此，所以最终还可组成个不同单词. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如右2×2列联表（单位：只），从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 A. == B. == C. == D. == 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式化简，再结合列联表进行计算相关概率，即可求得答案. 【详解】已知， 则 ， 根据列联表计算概率： 由列联表可知， ， 所以 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 B. 经验回归方程相对于点的残差为 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联” D. 样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AD 【解析】 【分析】根据决定系数、残差、独立性检验和相关系数的定义或性质依次判断即可. 【详解】对于A，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，残差为，故B错误； 对于C，零假设为：与相互独立，即与没有关联， 由可知，依据的独立性检验，应拒绝，即可以认为“与有关联”，故C错误； 对于D，当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确． 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为 C. 偶数次系数和为64 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法与求导计算，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，展开式中的系数，故A不正确； 对于B，从等式右边看，的系数即，故B正确； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相加，得，即偶数次系数和为，故C错误； 对于D： 因 所以 令，得，故D正确． 11. 函数，则下列结论正确的是（   ） A. 若有极值点，则 B. 无论取何值，都存在，使得成立 C. 的对称点在直线上 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数有极值点可知导函数存在两个不同零点，根据可构造不等式求得A错误；将问题转化为与有交点，利用导数可求得单调性，并得到的值域，由此可确定B正确；由可确定C正确；利用交点式可表示出，根据对应项系数相等，并利用所得等量关系化简可得D正确. 【详解】对于A，有极值点，有两个不等的零点， ，解得：，A错误； 对于B，当时，若成立，则在上有根； 在上有根， 令，则与有交点， ，在上单调递减， 当时，；当时，；， 无论取何值，与均有交点，即至少存在一个正根，B正确； 对于C， ， 的对称点为，的对称点在直线上，C正确； 对于D，，必有极值点，知； ， ，，， ， ，，，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择9粒种子进行播种，记种子发芽粒数为，则___________． 【答案】6 【解析】 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，，． 13. 化简___________(用组合数表示)． 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 已知曲线：，：，若有且仅有一条直线同时与，都相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式、函数极值的性质进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为，所以直线的斜率为． 所以直线的方程为 联立，整理得 所以 所以有唯一解． 设，则有唯一零点． ， 当时， 单调递减， 当时， 单调递增； 在处取得唯一极小值， 则， 解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有1张，奖金为300元的二等奖彩票有2张，奖金为100元的三等奖彩票有4张，其余的彩票没有奖金．从中随机抽出3张彩票． （1）求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于300元的概率； （2）记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求相应事件的概率. （2）利用超几何分布的模型求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意，无奖金的彩票有8张. 设事件：“抽出的3张彩票的奖金总金额不高于300元”， 则. 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为0,1,2,3，且 ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 16. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22． （1）求二项式系数的最大值； （2）求展开式中所有项的系数和； （3）求展开式中的常数项． 【答案】（1） 20 （2） 4096 （3） 960 【解析】 【分析】（1）根据前三项的二项式系数和为22，结合二项式系数列式求解可得的值，由此分析二项式系数的最大值； （2）利用赋值法，令，可得展开式中所有项的系数和； （3）由二项式展开式的通项公式，令的指数为零，即可求得展开式中的常数项． 【小问1详解】 由展开式前三项的二项式系数和为22， 得， 化简得，即， 因为，所以. 所以二项式的展开式中二项式系数的最大值为. 【小问2详解】 令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为. 【小问3详解】 二项式的展开式的通项为 ， 令  ，得 ， 所以展开式中的常数项为 . 17. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 18. 有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. （1）当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； （2）记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； （3）已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，求出不同情况下的概率，进而求出有学生评为“篮球达人”的概率； （2）计算出每位同学选拔失败的概率，分析出只有前一位同学选拔失败，后一位同学开始投篮，根据独立事件乘法公式求出分布列； （3）分析总共进行6次投篮之后游戏结束的具体情况，逐一求出事件的概率，进而计算出结果. 【小问1详解】 当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . 【小问2详解】 依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … 【小问3详解】 由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若函数有两个不同的零点m，n． （ⅰ）求实数k的取值范围； （ⅱ）若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）-1 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，根据单调性求出最大值即可. （2）（ⅰ）求导，分和讨论单调性，结合有两个不同的零点，可得，继而可求解； （ii）由题意可得，令，即，成立，令，利用导数分、及讨论单调性即可求解. 【小问1详解】 ，, 由得，由得, 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 【小问2详解】 （ⅰ）令，则． 当时，，单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减， 令，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，则， 易知当且趋向于0时，；当时，， 因为有两个不同的零点， 所以，解得． 所以的取值范围是. （ii），， 由得， 即， 令，则只需， 即，． 令， 则，令，则． 因为， 当时，，则单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求； 当时，在单调递减，， 从而单调递增，故，不符合要求． 当时，，则单调递增，， 从而单调递减，故，符合要求． 综上所述． 【点睛】方法点睛：破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $