微专题08 全等三角形中常见的几何模型（X模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题08 全等三角形中常见的几何模型 X模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“X”模型． 模型来源 “X模型”是初中平面几何中一个重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 X模型 一、例题讲模型 例题.如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 分析：（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 解：（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 二、提炼模型 1．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 2． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 模型运用 1．如图，为等腰三角形，，，点，分别为，中点，点，在边上，且，则图中阴影部分的面积为 2．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N． （1）若∠BAN＝15°，求∠N； （2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF． 3．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长． 4．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 5．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 6．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 7．都是等边三角形．    (1)如图，求证：； (2)如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 8．（1）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________． A．SSS  B．SAS  C．AAS  D．ASA Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【学会运用】 如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD． 9．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　． A．SSS   B．SAS   C．AAS   D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长． 【灵活运用】 如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论． 10．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题08 全等三角形中常见的几何模型 X模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“X”模型． 模型来源 “X模型”是初中平面几何中一个重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 X模型 一、例题讲模型 例题.如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 分析：（1）过P作PF∥BQ，可得△APF为等边三角形 ，所以AP＝PF，再证△DCQ≌△DFP，即可得PD＝DQ； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解． 解：（1）证明：如图，过点P作PF∥BC，则∠DPF=∠Q， ∵△ABC为等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF， 又∵AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△DPF和△DQC中，， ∴△DPF≌△DQC（AAS）， ∴DP=DQ； （2）∵△PAF为等边三角形，PE⊥AC， 可得AE＝EF， 由（1）知，△DPF≌△DQC ∴FD＝CD， ∵AC＝AE＋EF＋FD＋CD， ∴AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED， ∵AC＝BC＝4， ∴2ED＝4， ∴ED＝2． 二、提炼模型 1．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见解析 【解析】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 2． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【解析】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【解析】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 模型运用 1．如图，为等腰三角形，，，点，分别为，中点，点，在边上，且，则图中阴影部分的面积为 【答案】1.5 【解析】解：作于点，取的中点，取的中点，连接、， 则是的中位线，是的中位线， ∴ ，， ∴，，, ∴≌(ASA)， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∵为等腰三角形，，， ∴，， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为. 故答案为：1.5. 2．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N． （1）若∠BAN＝15°，求∠N； （2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF． 【答案】（1）45°；（2）见解析 【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AC∥BN， ∴∠NBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°， ∴在△ABN中， ∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°； （2）∵AC∥BN， ∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG， 又∵点G是线段BE的中点， ∴BG＝EG， ∴△NBG≌△AEG（AAS）， ∴AG＝NG，AE＝BN， ∵AE＝CF， ∴BN＝CF， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°， ∴∠ABN＝∠ACF， 又∵AB＝AC， ∴△ABN≌△ACF（SAS）， ∴AF＝AN， ∵AG＝NG＝AN， ∴AF＝2AG． 3．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）； 问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程； 拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【解析】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； 问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC≌△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∵AB＝4，AC＝3， ∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∵DE＝AD， ∴AD＝AE， ∴＜AD＜； 拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN， 由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS）， ∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM， ∴AC//BN， ∵AC＝AD， ∴BN＝AD， ∵AC//BN， ∴∠BAC+∠ABN＝180°， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD＝180°， ∴∠ABN＝∠EAD， 在△ABN和△EAD中， ， ∴△ABN≌△EAD（SAS）， ∴AN＝DE， ∵MN＝AM， ∴DE＝AN＝2AM， ∵AM＝3， ∴DE＝6． 4．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】（1）解：∵在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7． （3）证明：延长至点，使，连接、， 如图所示： ∵点是的中点，∴． 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴． 5．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【解析】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 6．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析. 【解析】解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图， ∵AD,BE分别为BC,AC边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE≌△DBF. ∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. （2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 7．都是等边三角形．    (1)如图，求证：； (2)如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【解析】（1）证明：如图中， ∵都是等边三角形 ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）①证明：如图中，延长到，使得，连接，    ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②结论：． 证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 8．（1）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________． A．SSS  B．SAS  C．AAS  D．ASA Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【学会运用】 如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD． 【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析. 【解析】解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； Ⅱ.∵△ADC≌△EDB， ∴BE=AC， ∵AB−BE＜AE＜AB＋BE， ∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18， ∴1＜AD＜9， 故答案为1＜AD＜9； （2）延长AD至M，使DM＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△MCD中，， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴MC＝AB，∠B＝∠MCD， ∵AB＝CE， ∴CM＝CE， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM， 在△ACE和△ACM中，， ∴△ACM≌△ACE（SAS）， ∴AE＝AM， ∵AM＝2AD， ∴AE＝2AD． 9．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　． A．SSS   B．SAS   C．AAS   D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长． 【灵活运用】 如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）B；（2）2＜AD＜10；【初步运用】BF＝5；【灵活运用】BE2+CF2＝EF2，理由见解析 【解析】解：（1）在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）∵△ADC≌△EDB， ∴EB=AC=8， 在△ABE中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜AD＜10， 故答案为2＜AD＜10； 【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AE＝EF．EF＝3， ∴AC＝5， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即BF＝5； 【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2． 证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC， ∵ED⊥DF， ∴EF＝GF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDG中， ， ∴△BDE≌△CDG（SAS）， ∴BE＝CG， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵△BDE≌△CDG，EF＝GF， ∴BE＝CG，∠B＝∠GCD， ∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°， ∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2， ∴BE2+CF2＝EF2． 10．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【答案】（1）（2）C（3）见解析 【解析】解：（1）如图2，延长到点E，使，连接． ∵为的中线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：C； （3）证明：延长到点M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$