微专题07 全等三角形中常见的几何模型（公共边+公共角模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题07 全等三角形中常见的几何模型 （公共边+公共角）模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“公共边与公共角”模型． 模型来源 “公共边模型与公共角模型”是指两个三角形共享一条边（角）（即存在公共边或角）时，结合其他已知条件（如对应角或边相等），可以利用全等三角形的判定定理（如SAS、ASA、SSS等）来证明它们全等，是初中平面几何中重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 公共边模型 一、例题讲模型 例1.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 解：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD （SAS）， ∴AD=ED，∠A=∠BED． ∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°， ∴∠C=∠CED， ∴CD=ED， ∴AD=CD． 二、提炼模型 1．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【解析】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 2．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．    ∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL）， ∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°， ∴∠KPD＝∠APC， ∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中， ， ∴△PAK≌△PCD（ASA）， ∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA）， ∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确． 故选A． 模型运用 1．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 2．如图，是四边形的对角线，，过点B作交于点E，若，，，，则的长为 ．    【答案】 【解析】解：连接,作    设 得 解得：即 又 设 由勾股定理可得： 即有 解得： 故答案为：． 3．如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    【答案】详见解析 【解析】证明：如图所示，延长交于点F．    ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【解析】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 5．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【解析】（1）证明：延长CE交AB于点G ∵AECE ∴ 在和 ∴ ∴GE=EC ∵BD=CD ∴DE为的中位线 ∴DEAB ∵DE=BF ∴四边形BDEF是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点 ∴BF=DE=BG ∵ ∴AG=AC BF=（AB-AG）=（AB-AC）． 公共角模型 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 分析：（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 解：（1）如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 二、提炼模型 1．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立 【解析】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠4=∠5， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠4=∠6=45°， ∴∠5=45°， ∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°， 即BC⊥CE； （2）成立.理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=135°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°， 即BC⊥CE； （3）成立 ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°． 2．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 【解析】（1）证明：如图1， 由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAH=∠CAG， ∵AB=AC， ∴△ABH≌△ACG（SAS）； （2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵点E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC， ∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°， ∵∠EAH=∠FAG，AH=AG， ∴△AEH≌△AFG（SAS）， ∴∠AFG=∠AEH=45°， ∴∠HFG=45°+45°=90°； ②分两种情况： i）如图3，AQ=QG时， ∵AQ=QG， ∴∠QAG=∠AGQ， ∵AG⊥AH且AG=AH， ∴∠AHG=∠AGH=45°， ∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°， ∴∠EAH=∠FAH=45°， ∵AE=AF，AH=AH， ∴△AEH≌△AFH（SAS）， ∴∠AHE=∠AHF， ∵∠AHE+∠AHF=180°， ∴∠AHE=∠AHF=90°； ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG， ∵∠AEH=∠AGQ=45°， ∴∠GAQ=∠AQG==67.5°， ∵∠EAQ=∠HAG=90°， ∴∠EAH=∠GAQ=67.5°， ∴∠AHE=∠AQG=67.5°； ∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合）， ∴不存在AG=AQ的情况． 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 模型运用 1．已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． （2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数． 【答案】（1）不变，60°；（2）或；（3）120°． 【解析】（1）不变．在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°； （2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t， ①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°， ∴PB=2BQ， ∴4-t=2t，； ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°， ∴BQ=2BP， ∴ t=2（4-t），t=； ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形； （3）在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°． 2．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】解：（1）证明：∵AC⊥BD ∴∠AOB=90° 在Rt△AOB中AB²=AO²+OB² ∴∠COD=90° 在Rt△COD中CD² =DO²+OC² ∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC² (2) ①解：连DC、AE相交于点F ∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形 ∴BE=BCAB=BD ∠CBE=∠ABD=90° ∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC ∴△ABE≌△DBC ∴∠CDB=∠BAE ∵∠ABD=90° ∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠AFD=90° ∴AE⊥CD ∵AB=5，BC=4∠ACB=90° ∴AC= ∵AB=5，BD=5∠ABD=90° ∴AD= ∵BC=4，BE=4∠CBE=90° ∴CE= 由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE² ∴(10)²+（8）²=（3）²+DE² ∴DE= ②连DC、AE相交于点F ∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝ ∴DC=2GH= 作CP⊥BD交DB延长线于点P BP²+CP²=BC²=（4）²=32 DP²+PC²=DC²=（）²=96 ∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64 ∴DP²-BP²=64 ∴（BD+BP)²-BP²=64 ∴（5+BP)²-BP²=64 ∴BP= ∵∠PBA=90°，∠P=90°， ∴∠PBA+∠P=90°+90°=180° ∴AB∥PC 则S△ABC＝AB×BP=×5× 3．在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6 【解析】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图： ∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD ∴CQ=CP 在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC= ∴∠QAP+∠PCQ= 又∵∠DAB+∠DCB＝180° ∴∠PCQ=∠DCB ∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB ∴∠QCD=∠PCB 又∵∠CQD=∠CPB= ∴△CQD≌△CPB（ASA） ∴CD=CB （2）延长ED，让MD=ED，如下图： ∵∠ADB＝90° ∴AD⊥ME 又∵MD=ED ∴AM=AE，ME=2DE 又∵AE=2DE ∴ME=AE=AM ∴△AME是等边三角形 ∴ 又∵∠ADE＝90° ∴ ∵AC平分∠DAB ∴ 又∵ ∴ （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图： ∵在中， ∴∠HCB= 又∵折叠 ∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB= ∴∠HCF= ∴△CHF是等边三角形 ∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF 又∵在中，∠CGF=，∠GKF= ∴∠GFK= ∴∠CFH=∠GFK ∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL ∴∠CFK=∠HFL 又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF ∴△CFK≌△HFL ∴FK=FL 又∵在中，∠CGF= ∴FK=GF ∴FL=GF ∴GL=FL 又∵HL⊥GF ∴HG=HF ∴∠FGH=∠GFH 又∵∠CHF=，∠CHB= ∴∠FHB=∠CHB-∠CHF= ∴∠FGH= ∴∠CGH=∠CGF+∠FGH= 又∵∠CHG= ∴∠GCH= ∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形 又∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得： ∵CG＞0 ∴CG=6 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题07 全等三角形中常见的几何模型 （公共边+公共角）模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“公共边与公共角”模型． 模型来源 “公共边模型与公共角模型”是指两个三角形共享一条边（角）（即存在公共边或角）时，结合其他已知条件（如对应角或边相等），可以利用全等三角形的判定定理（如SAS、ASA、SSS等）来证明它们全等，是初中平面几何中重要的辅助线技巧和解题模型，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 公共边模型 一、例题讲模型 例1.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°， 求证：AD＝CD． 分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 解：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD （SAS）， ∴AD=ED，∠A=∠BED． ∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°， ∴∠C=∠CED， ∴CD=ED， ∴AD=CD． 二、提炼模型 1．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 2．如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 模型运用 1．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是四边形的对角线，，过点B作交于点E，若，，，，则的长为 ．    3．如图所示，在中，是的平分线，，垂足为D．求证：．    4．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 5．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 公共角模型 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 分析：（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 解：（1）如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 二、提炼模型 1．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 2．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 模型运用 1．已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． （2）如图2，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ （3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出∠CMQ度数． 2．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 3．在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$