精品解析：广东省深圳市坪山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度第二学期学科素养调研测试 八年级数学 注意事项： 1．全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共6页．满分100分，考试时间90分钟； 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、班级、姓名，并将条形码粘贴在指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠； 3．答案写在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案； 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液； 5．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往．下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都是中心对称图形， 选项B中的图形不是中心对称图形， 故选：B． 2. 已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变：由此判断即可. 【详解】解：A、∵， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 故此选项不符合题意； 故选：C. 3. 分式与的最简公分母是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C 4. 图①所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图②所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等得出，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴ 故选：D． 5. 若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据图象在x轴下方时所对应的x的取值范围进行解答即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为： ． 故选：C 6. 小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】解：如图所示： 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 7. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【详解】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 8. 观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（ ） A. 245 B. 259 C. 336 D. 350 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为，斜边为，其中，解得，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理是解题关键 【详解】解：根据题意得： ，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边， ∵已知一条直角边为14，对应，解得， ∴另一条直角边：， ∴斜边：， ∴， ∴三角形为直角三角形， ∴， 故选：C 第二部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和都等于即可求解． 【详解】解：五边形的外角和为． 11. 如图所示，是直角三角形，其中，，，D为线段上一点，作垂直于点E，当时，的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，求出的长，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直于点E， ∴， ∴； 故答案为：2． 12. 若关于x的方程有增根，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将方程转化为整式方程，根据方程有增根得到，进而求出的值，代入整式方程，求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入整式方程，得：， ∴； 故答案为：1． 13. 如图，将线段绕点C旋转到的位置，再将绕点A旋转至，使，延长、交于点B，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过点A作于点E，过点C作于点F，首先求出，，设，，利用勾股定理列出方程组，求出，得到，，设，则，利用勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点C作于点F， 根据题意得， ∵，， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴，负值舍去 ∴， ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解不等式 （2）解不等式组，并在数轴上表示其解集． 【答案】（1）（2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式（组）的解集，在数轴上表示不等式的解集： （1）移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）， ， ， ∴； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 15. 小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． （1）小坪在第________步出错，错误原因是________． （2）请在下方写出正确解答过程． 【答案】（1）②，括号前面是负号，去括号时没改变符号 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时没改变符号； 【小问2详解】 解： ， ∵且x为整数， ∴，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 16. 如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． （1）用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，尺规作图—作角平分线和线段，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，得到直线即可； （2）折叠得到，三角形的外角求出的度数，再根据折叠的性质，平角的定义，求出的度数即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴． 17. 导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线： 信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道 距离 39千米 42千米 信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰时段（和），大巴车的平均速度将下降为原来的； 信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟． 任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时． 任务二 某旅游公司要在早上前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴车的出发时间不能晚于什么时间？ 【答案】（1）非高峰时段路线①的平均速度是千米/时，非高峰时段路线②的平均速度是千米/时（2）大巴车出发时间不能晚于 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）设非高峰时段路线②的平均速度是千米/时，根据非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟，列出分式方程进行求解即可； （2）求出大巴车高峰期间的速度，进而求出高峰期间行驶的路程，进而求出非高峰时间要行驶的时间，进行求解即可． 【详解】解：（1）设非高峰时段路线②的平均速度是千米/时，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解且符合题意， ∴， 答：非高峰时段路线①的平均速度是千米/时，非高峰时段路线②的平均速度是千米/时； （2）； 当大巴车出发时，到，时间为25分钟，千米， ， ∵旅游公司要在早上前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗湖口岸， ∴大巴车出发时间不能晚于． 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点． （1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：________（填序号即可），使得四边形是平行四边形，并说明理由； （2）当四边形是平行四边形时，若，，，，求点D到的距离． 【答案】（1）①，理由见解析 （2）点到的距离为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）选择①，连接，交于点，进而得到，根据，得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可得证；选择②，证明，得到，同①即可得证；选择③无法得到四边形是平行四边形 （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，得到的长，勾股定理求出的长，等积法求出点D到的距离即可． 【小问1详解】 解：选择①，理由如下： 连接，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，点E和点F是直线上的两点， ∴，即：， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形； 选择②， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同①即可得到四边形是平行四边形； 选择③，无法得到四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形，四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 即：点到的距离为． 19. 综合与实践 【调查发现】 某学校每天有500名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐．经济餐每份售价18元，每份成本17元；营养餐每份售价20元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化， （1）若某一天共售出200份经济餐，则当天经济餐的利润为________元．（利润收入成本） 【收集数据】 小山统计了第10周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表． 周一 周二 周三 周四 周五 营养餐（份） 295 300 305 290 315 经济餐（份） 205 200 195 210 185 总利润（元） 1155 1200 1245 1110 1335 （2）小山设每日营养餐售出x份，当天总利润为y元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点A和周四的对应点B． 【建模应用】 （3）小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想． （4）小山假设当时，y与x之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为15元，则当天总利润将超过2000元，小山的预测正确吗？请说明理由． 【答案】（1）200（2）图见解析（3）见解析（4）小山的预测正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）用单件利润乘以销量，列式计算即可； （2）根据表格数据，描点即可； （3）待定系数法求出一次函数解析式，验证其它点是否在直线上即可； （4）求出营养餐的成本为15元时的总利润，代入函数解析式，求出的值，进而求出值，进行判断即可． 【详解】解：（1）（元）； 故答案为：200； （2）由题意，描点如图： （3）设经过点的直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴这五个点在同一条直线上； （4）小山的预测正确，理由如下： 由题意得：当营养餐的成本为15元时，总利润为：， ∴， 解得：， 当时，； 故小山的预测正确． 20. 等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． （2）如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1） （2）①②③或或 【解析】 【分析】（1）求出的面积，乘以6即可得出结果； （2）①连接，交于点，证明垂直平分，三线合一，求出的长，线段的和差关系求出的长即可； ②延长交于点，证明，得到，证明为等边三角形，推出，进而得到，推出，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； ③分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 作，垂足为， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积； 故答案为： 【小问2详解】 ①连接，交于点， ∵是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴平移的距离为； ②延长交于点， 由题意，可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图，作， ∵， ∴， ∵，， ∴， 取的中点，则：， ∴， ∴两点重合，即为的中点， ∴， ∴ 当时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：当是直角三角形时，平移距离为：或或 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中垂线的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期学科素养调研测试 八年级数学 注意事项： 1．全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共6页．满分100分，考试时间90分钟； 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、班级、姓名，并将条形码粘贴在指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠； 3．答案写在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案； 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液； 5．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往．下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 3. 分式与的最简公分母是（　　） A. B. C. D. 4. 图①所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图②所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 8. 观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（ ） A. 245 B. 259 C. 336 D. 350 第二部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 10. 如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 11. 如图所示，是直角三角形，其中，，，D为线段上一点，作垂直于点E，当时，的值是________． 12. 若关于x的方程有增根，则a的值是________． 13. 如图，将线段绕点C旋转到的位置，再将绕点A旋转至，使，延长、交于点B，若，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）解不等式 （2）解不等式组，并在数轴上表示其解集． 15. 小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． （1）小坪在第________步出错，错误原因是________． （2）请在下方写出正确解答过程． 16. 如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． （1）用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； （2）连接，若，求的度数． 17. 导航显示从坪山文化聚落驾车到罗湖口岸，通常有如下两条路线： 信息一 路线 路线①：坪盐通道-惠深沿海高速 路线②：南坪快速-龙岗大道 距离 39千米 42千米 信息二 大巴车走路线①的平均速度总是路线②平均速度的倍，早、晚高峰时段（和），大巴车的平均速度将下降为原来的； 信息三 非高峰时段，导航显示走路线①比路线②快8分钟． 任务一 求非高峰时段两个路线的平均速度分别是多少千米/时． 任务二 某旅游公司要在早上前将游客用大巴车从坪山文化聚落送到罗湖口岸，但是路线①由于修路暂时封闭，只能选择路线②，那么大巴车的出发时间不能晚于什么时间？ 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点． （1）从①；②；③；中选择一个合适的条件：________（填序号即可），使得四边形是平行四边形，并说明理由； （2）当四边形是平行四边形时，若，，，，求点D到的距离． 19. 综合与实践 【调查发现】 某学校每天有500名学生在学校用午餐，配餐公司提供两种套餐：经济餐和营养餐．经济餐每份售价18元，每份成本17元；营养餐每份售价20元，每份营养餐的平均成本随着销售量的变化而变化， （1）若某一天共售出200份经济餐，则当天经济餐的利润为________元．（利润收入成本） 【收集数据】 小山统计了第10周每日营养餐和经济餐的售出份数以及当天的总利润，如下表． 周一 周二 周三 周四 周五 营养餐（份） 295 300 305 290 315 经济餐（份） 205 200 195 210 185 总利润（元） 1155 1200 1245 1110 1335 （2）小山设每日营养餐售出x份，当天总利润为y元，并根据表中的数据在坐标系中描出各点，请帮助小山补全周二的对应点A和周四的对应点B． 【建模应用】 （3）小山观察后猜想这五个点在同一条直线上，请验证小山的猜想． （4）小山假设当时，y与x之间的关系始终符合第（3）问中的一次函数，他预测若某一天平均每份营养餐的成本为15元，则当天总利润将超过2000元，小山的预测正确吗？请说明理由． 20. 等边三角形是最具对称性的几何图形之一，其三边相等、三角均为，简洁背后隐藏着丰富的性质．某数学小组近期在研究等边三角形的相关知识． （1）如图1，数学小组发现一些精美的正六边形窗花，而一个正六边形可以由六个全等的等边三角形镶嵌而成，如图2，已知，则正六边形的面积是________． （2）如图3，已知是边长为4的等边三角形，是边长为1的等边三角形．将沿射线方向平移，点B，D，E的对应点分别为点． ①如图4，在平移过程中，小深同学画出了时的情形，此时平移的距离为________； ②如图5，在刚好平移到点与点C重合时，连接，连接并延长交于点F，求此时的大小； ③[画图探索]已知点G在线段上，且，在平移的过程中，当是直角三角形时，请直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $