培优02 动点探究问题7大考法归类（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优02 动点探究问题7大考法归类 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见位置关系的假设方式： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 题型1 平行问题中的探究性问题 1．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 2．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 3．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 4．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】(1)5 (2) (3)存在 【详解】（1） （2）设点到平面的距离为， 由得， 在中，，，， 则，， 故的面积为 由以上数据解得. （3）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，． 设面的法向量，则，即． 令得． 因为平面，所以，即． 所以，得， ，所以．因为，， 所以存在在三等分点处靠近，使得平面． 5．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，点G是EF的中点，所以， 又因为，所以， 由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF， 所以平面ABCD． （2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴， 四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直， 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，    所以， 假设线段AC上存在一点M，使平面ABF， 设，则， ∵，∴， 设，则, 所以， , 设平面ABF的法向量为 ，取 由于平面ABF，所以，即，解得 所以，此时， 即当时，平面ABF． 6．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【详解】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 题型2 垂直问题中的探究性问题 7．如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）四边形是平行四边形， . 平面平面 平面. （2）取的中点为. 平面平面平面，平面平面, 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内,   ， ，， . 设平面的法向量为 即 令，则. ， . 又平面的法向量为平面， ∴. ∴在线段上存在点，使平面，且的值是. 8．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 9．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：在中，因， 所以，所以，又， 且，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）假设存在点，使得平面平面. 取中点为，连接，则， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中. 则 连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量. 设是平面的法向量， 则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 10．如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【详解】（1）证明：平面，平面， ， 又，，平面 平面，平面， ． 又，为等腰直角三角形，为斜边的中点， ，又，平面， 平面，平面， 平面平面； （2）解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，， 设存在点，使，点的坐标设为， 所以，， 由相似三角形得，即， ． ， 又， ． ， ， 故存在点，使． 11．如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 或 【详解】（1）因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 【点睛】 12．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 题型3 线线角问题中的探究性问题 13．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 14．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 15．如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1），分别为中点，，即， 为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）取中点，连接， ，为中点，，即， ，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 16．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 17．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，距离为. 【详解】（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （2）假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 18．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． (1)求证：； (2)求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，， 所以，又为的中点， 所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以， 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得：，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）假设线段上存在点适合题意， 设，其中. 设，则有， 所以，从而， 所以，又， 所以， 令， 整理得， 解得，舍去. 所以线段上存在点适合题意，且. 题型4 线面角问题中的探究性问题 19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 20．如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接.在三棱柱中， 因为，所以四边形为菱形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面. （2）假设存在，，使得直线与平面所成角的正弦值为. 因为，所以. 连接，. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，，，. 在中，，，， 由余弦定理可得， ∴，. 以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，. 设平面的法向量， 则，即， 取，得到平面的一个法向量. 又， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以. 又，所以， 即存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 21．如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，点为靠近的三等分点 【详解】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 可得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 22．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在三棱锥中，由平面，面，得， 又平面，则平面，而平面， 则，又平面，于是平面， 又平面，因此，所以为直角三角形． （2）由，以及，得为中点，， 由（1）知，则在直角三角形中，有， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. （3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，由，得， 即，且，则， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得平面的一个法向量为， ， 整理得，， 设，要存在，使与平面所成角为， 则在上有零点．而函数图象的对称轴， 又，只需满足，即，解得， 所以的取值范围是． 23．如图，在三棱柱中，，， (1)求证：； (2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在靠近的三等分点处. 【详解】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在与中， ， 由，同理，， 由平面； （2）在中，，，则， 在中，，，，同理， 在等腰，，， 在中，由余弦定理得：，即， 在平面内过作，则平面，于是直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在平面内过作于， 则平面， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 取平面的一个法向量， 设，， 则，由与平面所成角的正弦值为， 得， 整理得，解得或（舍），即在靠近的三等分点处. 24．如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 题型5 二面角问题中的探究性问题 25．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点为的中点 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 26．如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，． (1)证明：平面； (2)若直线与底面的交点为，直线上是否存在点，使得平面与平面的夹角为60°?若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)否存在点，使得平面与平面的夹角为60°，此时 【详解】（1）取中点，连接． 因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面，所以平面． 因为四边形为正方形，所以． 又因为平面平面，所以平面． 又因为平面平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）因为且，所以四边形为梯形， 延长交的延长线于． 平面，所以平面． 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设，则， 设平面的法向量为， 则，即 令，可得， 则， 解得， 故． 27．如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，， 【详解】（1）由可得， 由于，故， 又，故， 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 （2）设， 则 设平面的法向量为， 故， 取，则. 设平面的法向量为， 故， 取，则. 故， 解得， 故存在，此时. 28．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 29．如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 30．如图，在三棱锥中，平面为棱上的动点． (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，且当点位于上靠近的三等分点 【详解】（1）因为平面平面平面， 所以且． 由，且，可得． 由，因为,可得． 因为平面平面，所以平面． （2）过作，则两两垂直， 建立如图空间直角坐标系． 则． 设平面的法向量为， 由题可得， 则即 取，则平面的一个法向量为． 由于在棱上，设， 所以． 所以． 设平面的法向量为， 由题可得， 则即 取，则平面的一个法向量为． 由题意，得， 整理得． 解得或． 因为，所以． 故存在点，且当点位于上靠近的三等分点时， 平面与平面夹角的余弦值为． 题型6 距离问题中的探究性问题 31．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 32．如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【详解】（1） 取中点，连接，， 又点是中点， ，且， ，， ，且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2） 平面，且，则以点为坐标原点建立空间直角坐标系， ①，，，，，， 易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，的， ， 即平面与平面所成角的余弦值为； ②设，， 又，， 则， 又， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则， 解得， 即存在点使得点到平面的距离为， 此时. 33．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【详解】（1）    如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 34．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 35．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【详解】（1）在图1中，由，得，则，， 由，得，即，在图2中，， 取的中点，连接，由为的中点，得，则， 由，得，而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即，取，得， 设平面的法向量为，则，即，取，得. 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以，则点到平面的距离为1， 令，由（2）得，平面的法向量为， 点到平面的距离， 所以，所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 题型7 动点在平面内的探究性问题 36．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 37．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由平面，、平面， 故、，又底面为正方形，故， 即、、两两垂直， 故可以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， ，，，，， 设平面的法向量，则，即， 可取， 因为， 所以与平面所成角的正弦值为；    （2）假设截面内存在点满足条件， 设，，，， 有，，， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得， 这与假设矛盾，所以不存在点，使平面． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 动点探究问题7大考法归类 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见位置关系的假设方式： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 题型1 平行问题中的探究性问题 1．如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 2．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 4．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)求多面体的体积； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？ 5．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 题型2 垂直问题中的探究性问题 7．如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 9．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 10．如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 11．如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 12．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 题型3 线线角问题中的探究性问题 13．在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 14．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 15．如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 17．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 18．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． (1)求证：； (2)求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型4 线面角问题中的探究性问题 19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 20．如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 21．如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 22．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 23．如图，在三棱柱中，，， (1)求证：； (2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 24．如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型5 二面角问题中的探究性问题 25．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 26．如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，． (1)证明：平面； (2)若直线与底面的交点为，直线上是否存在点，使得平面与平面的夹角为60°?若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 27．如图，在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点（异于点），使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 28．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 30．如图，在三棱锥中，平面为棱上的动点． (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型6 距离问题中的探究性问题 31．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 32．如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 33．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 35．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型7 动点在平面内的探究性问题 36．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 37．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 38．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$