第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 4 知识点1 同角三角函数的基本关系式 4 知识点2 诱导公式 4 题型破译 6 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 6 题型2 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 8 题型3 与关系的应用 10 题型4 利用同角关系化简三角函数式 14 题型5 利用同角关系证明三角恒等式 16 题型6 利用诱导公式求解给角求值问题 19 题型7 利用诱导公式求解给值求值问题 21 题型8 诱导公式在三角函数式化简中的应用 22 题型9 诱导公式在三角函数证明中的应用 25 题型10 诱导公式的综合应用 27 题型11 利用互余互补关系求值 30 04真题溯源·考向感知 32 05课本典例·高考素材 34 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）同角三角函数的基本关系式 （2）诱导公式 （3）诱导公式的综合应用 （4）利用互余互补关系求值 （5）已知某个三角函数值求其余的三角函数值 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会以解三角形作为载体，考查已知某个三角函数值求其余的三角函数值，是天津高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等，局部分值为2-4分. 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值 2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值 4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法 知识点1 同角三角函数 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 2、同角三角函数基本关系式的变形 (1)平方关系式的变形： ，， (2)商数关系式的变形 ，． 自主检测已知，则 . 【答案】/ 【详解】 ， 故答案为：. 知识点2 诱导公式 1、诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 2、诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 自主检测已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 又，所以， 故答案为：. 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1-1已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，即， 两边平方，可得，则， ，解得. 故选：A. 例1-2已知为锐角，且，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：∵，∴，∵为锐角，∴． 考点：诱导公式、商数关系． 方法技巧 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式训练1-1】在中，，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】A 【详解】因为且，所以， 又， 所以. 故选：A 【变式训练1-2】（24-25高一上·天津红桥·期末）若，则（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 再由， 解得，， 知与同号 所以， 故选：C. 【变式训练1-3】已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是第三象限角，若，由，得 故选：C. 题型2 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 例2-1（24-25高一上·天津红桥·期末）已知，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故选：C. 例2-2已知，则的值为（    ） A． B．18 C． D．15 【答案】A 【详解】 ， 代入可算得原式的值为. 故选：A 方法技巧 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式训练2-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴，即 ∵， ∴ 故选：A. 【变式训练2-2】（2025·天津·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：D. 【变式训练2-3·变载体】已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于，所以， 又得， 解得或（舍去）， 故 （2） （3） 题型3 与关系的应用 例3-1已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 故选：. 例3-2（2025·天津·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 两边平方后得：，即，，， ，， 则. 故选：A. 方法技巧 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式训练3-1】（24-25高一下·天津·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ，故选项A错误； ，. 又，，. 又， ∴，故选项C错误； 联立方程组，解得，∴. ∴，，故选项B错误，选项D正确. 故选：D. 【变式训练3-2】（24-25高一上·天津·期末）设函数 (1)求证:   (2)分别求 和 时函数的最小值； (3)猜想函数的最小值并证明. 参考公式：当 且时， 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，；当时， (3)，证明见解析 【详解】（1）， ， 所以. （2）当时， ， 又，所以； 当时， ， 又，所以. （3）猜想：当时，. 证明：令，则， 显然，即函数图象关于直线对称， 令， 则 ， 由，得， 所以对任意，都有， 所以， 得， 则，即函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，即，， 当且仅当即时，取到最小值， 所以，. 【变式训练3-3】已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）， 当时，； （2）设，则，， ，其对称轴为， 当，即时，的最小值为，则； 当，即时，的最小值为；则； 综上，或； （3）由，对所有都成立． 设，则， ，恒成立， ，，在恒成立， 当时，递减，则在递增， 时取得最大值 得， 所以存在符合条件的实数，且的取值范围为． 题型4 利用同角关系化简三角函数式 例4-1（2025·天津·调研）对于锐角，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据二倍角公式可得：， 化简得. 因为是锐角，所以，则， 等式两边同时除以可得： ①， 又因为②， 联立方程组①②可得：，解得 因为，所以， 则， 故选：B. 例4-2（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】整体代入所求式子，得到. 故选：C. 方法技巧 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式训练4-1】若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得，， 则. 故选：D. 【变式训练4-2】（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 【变式训练4-3·变载体】在中，角的对边分别为.已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）∵， ∴由余弦定理可得：， ， ∴， ∴； （2）∵ . ∴由正弦定理，可得. 题型5 利用同角关系证明三角恒等式 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）已知中，角，，的对边长分别是，，，，且. (1)证明：； (2)若，求外接圆的面积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 易知上式中，，， ∴由上式得，即. （2）∵， ∴由正弦定理和余弦定理得，， 化简得，∴. 又∵，， ∴，是以为斜边，为直角的直角三角形， ∴外接圆的直径，外接圆的半径， ∴外接圆的面积. 例5-2（1） 求证: （2） 已知，求 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）由 ，得证. （2） ， 由，则，， 所以. 方法技巧 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式训练5-1】求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 【变式训练5-2】证明：. 【答案】证明见解析. 【详解】左边右边. 所以. 【变式训练5-3】求证： 【答案】证明见解析. 【详解】证明：， 所以成立. 题型6 利用诱导公式求解给角求值问题 例6-1（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 例6-2（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 方法技巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式训练6-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， （2）由（1）知，， 故 . 【变式训练6-2】（24-25高一上·天津武清·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 【变式训练6-3】（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】. 故选：C. 题型7 利用诱导公式求解给值求值问题 例7-1已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则 故选：A 例7-2已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，又由． 故选C． 方法技巧 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式训练7-1】已知，若，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由可得，即， 又因，故得，所以，， 因此. 故答案为：. 【变式训练7-2】已知，则的值等于 . 【答案】 【详解】 ，故答案为. 【变式训练7-3】（2025·天津·模拟预测）若，则 . 【答案】/ 【详解】由，得 . 故答案为： 题型8 诱导公式在三角函数式化简中的应用 例8-1已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 可得， 可得， 所以 可得 即， 可得 ， 所以，则. 故选：B. 例8-2已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 又， 所以. 故选：C. 方法技巧 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式训练8-1】已知，求 . 【答案】 【详解】由，得，即，因此， 所以. 故答案为： 【变式训练8-2】已知函数图象上相邻的两个最高点为，点为之间的最低点，且，若在和上单调递增，在上单调递减，且，则的值为 . 【答案】/ 【详解】令，解得：， 即最高点为， 不妨令对应的分别为和，即，； 为之间的最低点，，，， ，又，，， 则最小正周期； 在和上单调递增，在上单调递减， 与分别为的相邻的最高点和最低点，， ，， ， 又，. 故答案为：. 【变式训练8-3】（24-25高一上·天津和平·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设 （2）由题设易知，且，则， 则. 题型9 诱导公式在三角函数证明中的应用 例9-1证明：． 【答案】证明见解析 【详解】 ， ， 故等式左边，等式成立． 例9-2已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 方法技巧 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式训练9-1】证明：． 【答案】证明见解析 【详解】左边右边， 所以． 【变式训练9-2】求证：． 【答案】证明见解析 【详解】左边 右边， ∴原等式成立． 【变式训练9-3】求证：＝． 【答案】证明见解析 【详解】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 题型10 诱导公式的综合应用 例10-1（2025·天津·一模）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 【答案】(1) (2)值域为，，. 【详解】（1）因为，，所以， 又， 故； （2）因为， 所以 ， 所以的值域为， 令， 解之得， 所以的单调递增区间为，. 例10-2已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由于，所以， 所以，即，所以， 则. 方法技巧 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式训练10-1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ,所以 , 所以; （2） 【变式训练10-2】已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为. . . （2）因为：，. 所以：. 设，则，且， 所以：， 当时，. 所以的最小值为. 【变式训练10-3·变考法】在中，已知，D为的中点. (1)求A； (2)当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 即， ，即. 或， 当时，， 由，有，即时. 当时，（舍）. . （2）设，， 由（1）及余弦定理有，即. ，即，当且仅当时等号成立. 由D为边的中点有， ， 当且仅当时等号成立. ，当且仅当时等号成立. 的最大值为. 题型11 利用互余互补关系求值 例11-1已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，且，所以， 则. 故选：B. 例11-2已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，且，则， 则， 则. 故选:C. 方法技巧 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式训练11-1】（2025·天津·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】， ，． ． 故选：A 【变式训练11-2·变考法】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 故选：B. 【变式训练11-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 故选：A 1．（2008·天津·高考真题）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以，所以，选A． 2．（2008·天津·高考真题）设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以, 故选D. 3．（2008·天津·高考真题）已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】试题分析：（1）先判断的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出，将所求进行变形，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与的取值范围，确定的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出、，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为，所以，于是 （2）因为，故 所以中. 4．（2004·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 解得. （2）由题意得， 分子分母同除得. 故原式. 5．（2012·天津·高考真题）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） (2) 最大值为，最小值为-1 【详解】（1） 所以，的最小正周期 （2）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为-1. 1．化简 【答案】 【详解】原式． 2．已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以. 故. （2）. 故. 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. （5）由题意可得：. （6）由题意可得：. 4．已知，求的值． 【答案】 【详解】，则， . 5．已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由，得， 即，两式相除得， 所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得， 而，解得，， 设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 4 知识点1 同角三角函数的基本关系式 4 知识点2 诱导公式 4 题型破译 5 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 5 题型2 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 6 题型3 与关系的应用 7 题型4 利用同角关系化简三角函数式 8 题型5 利用同角关系证明三角恒等式 9 题型6 利用诱导公式求解给角求值问题 9 题型7 利用诱导公式求解给值求值问题 10 题型8 诱导公式在三角函数式化简中的应用 11 题型9 诱导公式在三角函数证明中的应用 12 题型10 诱导公式的综合应用 12 题型11 利用互余互补关系求值 13 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）同角三角函数的基本关系式 （2）诱导公式 （3）诱导公式的综合应用 （4）利用互余互补关系求值 （5）已知某个三角函数值求其余的三角函数值 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会以解三角形作为载体，考查已知某个三角函数值求其余的三角函数值，是天津高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等，局部分值为2-4分. 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值 2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值 4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法 知识点1 同角三角函数 1、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 2、同角三角函数基本关系式的变形 (1)平方关系式的变形： ， ， (2)商数关系式的变形 ，． 自主检测已知，则 . 知识点2 诱导公式 1、诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 2、诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“ ”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“ ”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“ ”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化 的三角函数为 的三角函数； ②化为 内的三角函数； ③化为 的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 自主检测已知，则 ． 题型1 已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1-1已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 例1-2已知为锐角，且，则的值是 A． B． C． D． 方法技巧 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式训练1-1】在中，，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【变式训练1-2】（24-25高一上·天津红桥·期末）若，则（    ）． A．5 B． C． D． 【变式训练1-3】已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2 已知的值，求关于、的齐次式的值问题 例2-1（24-25高一上·天津红桥·期末）已知，则（    ） A．4 B． C． D． 例2-2已知，则的值为（    ） A． B．18 C． D．15 方法技巧 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式训练2-1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2025·天津·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练2-3·变载体】已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型3 与关系的应用 例3-1已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3-2（2025·天津·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式训练3-1】（24-25高一下·天津·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（24-25高一上·天津·期末）设函数 (1)求证:   (2)分别求 和 时函数的最小值； (3)猜想函数的最小值并证明. 参考公式：当 且时， 【变式训练3-3】已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 题型4 利用同角关系化简三角函数式 例4-1（2025·天津·调研）对于锐角，满足，则（   ） A． B． C． D． 例4-2（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．3 方法技巧 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式训练4-1】若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【变式训练4-3·变载体】在中，角的对边分别为.已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 题型5 利用同角关系证明三角恒等式 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）已知中，角，，的对边长分别是，，，，且. (1)证明：； (2)若，求外接圆的面积 例5-2（1） 求证: （2） 已知，求 方法技巧 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式训练5-1】求证： (1)； (2). 【变式训练5-2】证明：. 【变式训练5-3】求证： 题型6 利用诱导公式求解给角求值问题 例6-1（2024·天津河北·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 例6-2（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式训练6-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【变式训练6-2】（24-25高一上·天津武清·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练6-3】（   ） A． B． C． D．1 题型7 利用诱导公式求解给值求值问题 例7-1已知，则（    ） A． B． C． D． 例7-2已知，则 A． B． C． D． 方法技巧 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式训练7-1】已知，若，则的值为 . 【变式训练7-2】已知，则的值等于 . 【变式训练7-3】（2025·天津·模拟预测）若，则 . 题型8 诱导公式在三角函数式化简中的应用 例8-1已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 例8-2已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 方法技巧 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式训练8-1】已知，求 . 【变式训练8-2】已知函数图象上相邻的两个最高点为，点为之间的最低点，且，若在和上单调递增，在上单调递减，且，则的值为 . 【变式训练8-3】（24-25高一上·天津和平·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型9 诱导公式在三角函数证明中的应用 例9-1证明：． 例9-2已知，求证：. 方法技巧 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式训练9-1】证明：． 【变式训练9-2】求证：． 【变式训练9-3】求证：＝． 题型10 诱导公式的综合应用 例10-1（2025·天津·一模）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值域和单调递增区间. 例10-2已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值. 方法技巧 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式训练10-1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练10-2】已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的最小值. 【变式训练10-3·变考法】在中，已知，D为的中点. (1)求A； (2)当时，求的最大值. 题型11 利用互余互补关系求值 例11-1已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 例11-2已知，且，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式训练11-1】（2025·天津·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式训练11-2·变考法】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（2008·天津·高考真题）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ，则 A． B． C． D． 2．（2008·天津·高考真题）设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2008·天津·高考真题）已知. （1）求的值； （2）求的值. 4．（2004·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 5．（2012·天津·高考真题）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值. 1．化简 2．已知，求： (1)； (2)． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．已知，求的值． 5．已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$