第04讲 三角函数的图象与性质（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 三角函数的图象与性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 五点法作图 4 知识点2 三角函数图象与性质 4 知识点3 三角函数的周期性 5 知识点4 三角函数的奇偶性 5 知识点5 三角函数的对称性 6 知识点6 三角函数的图象变换 6 题型破译 7 题型1 三角函数的定义域问题 7 题型2 三角函数的最值与值域问题 8 题型3 三角函数的周期性问题 9 题型4 三角函数的奇偶性问题 10 题型5 三角函数的对称性问题 11 题型6 三角函数的单调性问题 12 题型7 三角函数图象的变换 14 题型8 根据三角函数图象求解析式 15 题型9 三角函数图象的综合应用 18 04真题溯源·考向感知 19 05课本典例·高考素材 20 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数的最值与值域问题 （2）三角函数的周期性问题 （3）三角函数的奇偶性问题 （4）三角函数的对称性问题 （5）三角函数的单调性问题 （6）三角函数图象的综合应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第8题，5分 天津卷，第7题，5分 天津卷，第6题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图象特征与三角函数的周期性与对称性问题。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的图象与性质，能够利用图象解决三角函数的定义域与值域问题 2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图象，解决平移与伸缩变换问题 4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图象特征解决三角函数含参问题 知识点1 五点法作图 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 自主检测函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 知识点2 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 自主检测已知函数，则函数（   ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 知识点3 三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 自主检测已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 知识点4 三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 自主检测将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 知识点5 三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由 ()解得； (2)函数的图象的对称轴由 ()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 自主检测已知是函数图象的一条对称轴，则的图象可以由的图象向右平移（    ）个单位长度得到． A． B． C． D． 知识点6 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“ ”与“ ”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对 而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 自主检测将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数在上有6个零点 题型1 三角函数的定义域问题 例1-1已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 例1-2函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 方法技巧 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 【变式训练1-1】函数的部分图象大致为（    ）． A．B．C． D． 【变式训练1-2】（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【变式训练1-3】已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求证：当时，． 题型2 三角函数的最值与值域问题 例2-1（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 例2-2已知函数和的图象的对称轴完全相同，其中.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式训练2-1】在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【变式训练2-2】在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【变式训练2-3·变载体】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值与最小值. 题型3 三角函数的周期性问题 例3-1（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 例3-2（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式训练3-1】（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在中，若,，，求的值. 【变式训练3-3】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值与最小值. 题型4 三角函数的奇偶性问题 例4-1（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例4-2（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式训练4-1】（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知． (1)若，求使函数为偶函数； (2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合． 【变式训练4-3·变载体】设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 题型5 三角函数的对称性问题 例5-1（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 例5-2（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． （4）正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 【变式训练5-1】（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】已知，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的对称轴及其对称中心. 【变式训练5-3】已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 题型6 三角函数的单调性问题 例6-1（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 例6-2（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 方法技巧 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2） 对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． （3）求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 【变式训练6-1】函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【变式训练6-3·变考法】已知向量，，. 设. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，，，的平分线交于点，求长. 题型7 三角函数图象的变换 例7-1（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 例7-2（2025·天津·二模）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【变式训练7-1】（2025·天津·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．是的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 【变式训练7-2】设函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值． 【变式训练7-3】已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值. 题型8 根据三角函数图象求解析式 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 例8-2（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式训练8-1】（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是． （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，内角满足，求的取值范围． 【变式训练8-3】已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 题型9 三角函数的综合应用 例9-1（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 例9-2已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1】已知函数，. (1)求曲线的平行于直线的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式训练9-2】如图为函数的部分图象，且，． (1)求，的值； (2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数． 【变式训练9-3】函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 1．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 3．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 4．函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角函数的图象与性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 五点法作图 4 知识点2 三角函数图象与性质 4 知识点3 三角函数的周期性 5 知识点4 三角函数的奇偶性 7 知识点5 三角函数的对称性 7 知识点6 三角函数的图象变换 8 题型破译 9 题型1 三角函数的定义域问题 9 题型2 三角函数的最值与值域问题 12 题型3 三角函数的周期性问题 16 题型4 三角函数的奇偶性问题 20 题型5 三角函数的对称性问题 23 题型6 三角函数的单调性问题 27 题型7 三角函数图象的变换 32 题型8 根据三角函数图象求解析式 35 题型9 三角函数图象的综合应用 40 04真题溯源·考向感知 45 05课本典例·高考素材 48 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数的最值与值域问题 （2）三角函数的周期性问题 （3）三角函数的奇偶性问题 （4）三角函数的对称性问题 （5）三角函数的单调性问题 （6）三角函数图象的综合应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第8题，5分 天津卷，第7题，5分 天津卷，第6题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查三角函数图象特征与三角函数的周期性与对称性问题。设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的图象与性质，能够利用图象解决三角函数的定义域与值域问题 2.能掌握三角函数的奇偶性与对称性问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助三角函数图象，解决平移与伸缩变换问题 4.会解三角函数解析式，会根据三角函数的图象特征解决三角函数含参问题 知识点1 五点法作图 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 自主检测函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 知识点2 三角函数图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 自主检测已知函数，则函数（   ） A．值域为 B．在区间上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 【答案】D 【详解】函数， 则函数 对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，此时有增有减，B错误； 对于C，根据周期公式，C错误； 对于D，由，得， 当时，函数对称中心为，D正确； 故选：D. 知识点3 三角函数的周期性 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 自主检测已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 知识点4 三角函数的奇偶性 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () 自主检测将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以， 所以，当时，. 故选：B. 知识点5 三角函数的对称性 (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 自主检测已知是函数图象的一条对称轴，则的图象可以由的图象向右平移（    ）个单位长度得到． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，解得， 因为，所以时，， 所以， 因为， 设向右平移个单位得到， 则， 所以， 故，取得到， 故选：D． 知识点6 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一：（先平移后伸缩） 的图象的图象的图象的图象 方法二：（先伸缩后平移） 的图象的图象的图象的图象 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化． 自主检测将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数在上有6个零点 【答案】BC 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到： . 根据正弦函数的性质可知，最小正周期，所以A错误. ，为偶函数，所以B正确. ， 当时，，此时函数单调递增，所以C正确. ，令，则 ，化简得：. 所以或. 解得或. 时，或；时，或；时，. 所以在上有5个零点，所以D错误. 故选：BC. 题型1 三角函数的定义域问题 例1-1已知函数，则在区间内的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知求在区间内的零点， 所以令，得， 又因为， 所以只能是，得， 在区间内，当时，有， 所以共有个零点，故D正确. 故选：D. 例1-2函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 方法技巧 求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集． 【变式训练1-1】函数的部分图象大致为（    ）． A．B．C． D． 【答案】D 【详解】因为,，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，故排除C选项， 当时，，故排除B选项； 当时，，故排除A， 故选：D 【变式训练1-2】（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故 【变式训练1-3】已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求证：当时，． 【答案】（1）；（2）;（3）见解析. 【详解】解：（1）由得，，.所以函数的定义域为. （2）由得：，又，所以曲线在点处的切线方程为：. （3）由（2）得，. 当时，与单调递增， 所以在上单调递增. 又，所以在上单调递减，在上单调递增. 故. 题型2 三角函数的最值与值域问题 例2-1（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 例2-2已知函数和的图象的对称轴完全相同，其中.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为函数和的图象的对称轴完全相同，故和的周期相同，所以， 所以，令，可得， 所以，， 于是， 又因为，所以，所以. 由，得， 根据余弦函数的单调性，当，即时，， ，所以的取值范围是， 故选：B. 方法技巧 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式训练2-1】在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在锐角中，由及余弦定理， 得，而，解得， 而，所以. （2）由（1）知，，，由是锐角三角形，得， 解得，，由正弦定理得， 则， 所以的取值范围是. 【变式训练2-2】在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得，即， 由余弦定理得：，即， 化简得：， 由正弦定理有：， 即，化简得：， 因为，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，故，即. （2）由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 令，则目标式为，其中， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，，故， 故当时，. 因此，的取值范围是. 【变式训练2-3·变载体】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1）最小正周期；（2）最大值是，最小值是. 【详解】（1）， 函数的最小正周期； （2）由（1）得， ，，， ，， ，， 在，上的最大值是，最小值是. 题型3 三角函数的周期性问题 例3-1（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【答案】B 【详解】 ， 对于A，的最小正周期是，故A错误； 对于B，当时，， 故在上单调递增，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，的最大值是4，故D错误． 故选：B． 例3-2（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：，，故不以为周期，故A错误； 对B：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 且，故在上单调递减，故B错误； 对C：，，故不以为周期，故C错误； 对D：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 但，故时，， 故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 方法技巧 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式训练3-1】（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 【变式训练3-2】已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在中，若,，，求的值. 【答案】（1），单调递增区间为() （2） 【详解】试题分析：解：（Ⅰ） 3分 最小正周期 4分 由得，() 故的单调递增区间为() 6分 （Ⅱ）,则 7分 又 9分 ∵ ∴ 【变式训练3-3】设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1）最小正周期；（2）最大值是，最小值是. 【详解】（1）， 函数的最小正周期； （2）由（1）得， ，，， ，， ，， 在，上的最大值是，最小值是. 题型4 三角函数的奇偶性问题 例4-1（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 例4-2（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式训练4-1】（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 【变式训练4-2】已知． (1)若，求使函数为偶函数； (2)在（1）成立的条件下，求满足，的的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 因为函数为偶函数， 所以，即， 因为，所以 （2）解：在（1）成立的条件下，， 所以由得， 因为，所以， 所以或或或， 所以或或或， 所以，满足题意的的集合为 【变式训练4-3·变载体】设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】(1)最大值为，，； (2). 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 题型5 三角函数的对称性问题 例5-1（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【答案】B 【详解】 ， 对于A，的最小正周期是，故A错误； 对于B，当时，， 故在上单调递增，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，的最大值是4，故D错误． 故选：B． 例5-2（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． （4）正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 【变式训练5-1】（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，，， 对于①，令，，解得， 取，可得， 所以函数的图象关于点对称，故①正确； 对于②，，， 由正切函数的性质可知在上单调递增，故②正确； 对于③，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故③错误； 对于④，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上只有一个实数解，故④错误； 故选：B． 【变式训练5-2】已知，，. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)若将图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的对称轴及其对称中心. 【答案】(1)，递减区间为. (2)对称轴为，对称中心为. 【详解】（1）由题设，， ∴最小正周期， 令，可得， ∴单调递减区间为. （2）， 令，则，故对称轴为. 令，则，故对称中心为. 【变式训练5-3】已知函数． (1)求函数的最小正周期及最大值； (2)当时，求的所有解之和． 【答案】(1)最小正周期为，最大值为； (2). 【详解】（1）解: ， 故函数的最小正周期， 的最大值为； （2）解：令，则， 画出在上的图象，    可知在上有4个解，设为，， 令， 则为图象的对称轴方程， 当时，是的一条对称轴， 则． 题型6 三角函数的单调性问题 例6-1（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图象向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 例6-2（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 方法技巧 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2） 对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． （3）求函数（，，都是常数）的单调区间的方法 若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可． 若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可． 【变式训练6-1】函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 【变式训练6-2】设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 【变式训练6-3·变考法】已知向量，，. 设. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，，，的平分线交于点，求长. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1） 令，， 则，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由题意得：， 因为，所以， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，解得， 因为的平分线交于点，所以， 所以， 所以，解得． 题型7 三角函数图象的变换 例7-1（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 例7-2（2025·天津·二模）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，函数的一个对称轴为，则的最小取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将向左平移个单位长度得到， 又函数的一个对称轴为，所以， 解得，当时，所以的最小取值为. 故选：B 方法技巧 1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【变式训练7-1】（2025·天津·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．是的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 【答案】D 【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到新函数，再把所得图象上所有点向右平移个单位长度得到新函数，则. 对于A选项，，的最小正周期是，A错误； 对于B选项，时，，所以不是的一条对称轴，B错误； 对于C选项，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在区间上不单调，C错误； 对于D选项，当时，， 时，时， 则，得的取值范围为，D正确. 故选：D. 【变式训练7-2】设函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值． 【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为.函数的单调减区间为.（Ⅱ） ． 【详解】（Ⅰ） ，所以函数的最小正周期为. 由得，所以函数的单调减区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 因为， 所以， 所以， 因此，即的取值范围为 【变式训练7-3】已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值； 时，取最小值. 【详解】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期. (2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可. （Ⅰ） , 所以函数的最小正周期为. （Ⅱ）依题意,[] 因为，所以. 当，即时，取最大值； 当，即时，取最小值. 题型8 根据三角函数图象求解析式 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长， 所以的最小正周期为，所以， 所以，由，得， 又，所以， 由，得， 所以， 所以 故选：. 例8-2（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 方法技巧 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式训练8-1】（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 【变式训练8-2】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是． （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，内角满足，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】分析：（1）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，求出的值，写出的解析式； （2）由正弦、余弦定理求得的值，由此求出的取值范围，再求的取值范围． 详解： （1） 因为函数图象上相邻的两最高点间的距离是，所以 由， ∵，∴，所以 （2）由得，即， ∴，又，∴， ∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴． 【变式训练8-3】已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)2 【详解】（1）将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； （2）是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 题型9 三角函数的综合应用 例9-1（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】由图可得，， 且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①正确； 对②：，故②错误； 对③：， 则，故③正确； 对④：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故④正确. 故选：B. 例9-2已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中， 当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以， 当时，， 由可得或， 则在上，有一个零点， 所以在内有3个零点，即在内有3个零点， 因为，所以，， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 【变式训练9-1】已知函数，. (1)求曲线的平行于直线的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 【详解】（1）由已知得， 直线的斜率为1，令，得， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 而，所以方程有唯一解，此时， 故曲线的平行于直线的切线只有一条， 即在点处的切线； （2）， 而，因此的正负与的正负一致， 由知，当时，，所以单调递增， 所以等价于， 等价于， 由函数和知，当时，， 即， 当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减. 【变式训练9-2】如图为函数的部分图象，且，． (1)求，的值； (2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）根据题意得，，故，，故． 将代入，得，解得， 又，故． （2）依题意，． 函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数． 当时，，结合余弦函数图象可知， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且，，， 作出函数在上的大致图象如图所示． 观察可知，当或时，有个零点； 当时，有个零点； 当或时，有个零点． 【变式训练9-3】函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由图可知，， ∵， ∴，∴， 又， ∴，，∴， 由可得， ∴； （2）将向右平移个单位得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，∴； 由对称性可知， ∴，∴， ∴． 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 1．为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】因为向左平行移动个单位长度得， 故选：C 2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】D 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，即可得出. 故选：D. 3．图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 4．函数和都单调递增的区间是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的单调递增的区间是， 函数的单调递增的区间是， 由，可得函数和都单调递增的区间是. 故选：A. 5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【详解】将函数的图象上的每个点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：B. 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$