第01讲 数列的概念（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 数列的概念 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 数列及其有关概念 4 知识点2 数列的分类 4 知识点3 数列的表示方法 5 知识点4 数列的性质 6 题型破译 6 题型1 数列的有关概念和分类 6 题型2 判断或者写出数列的项 7 题型3 数列的单调性 8 题型4 数列的周期性 9 题型5 数列的最值 10 题型6 数列中的规律问题 11 题型7 数列的恒成立问题 11 题型8 递推数列问题 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）判断或者写出数列的项 （2）数列的单调性 （3）数列的周期性 （4）数列的恒成立问题 单选题 多选题 填空题 解答题 第19题,15分 第19题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题，设题稳定，难度较高，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握数列的概念 2.能掌握数列的通项公式与递推公式 3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性 4.会解数列中的规律问题 知识点1 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“ ”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数 重复出现，而集合中的元素 重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 自主检测数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 注：（1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列； （2）同一个数可以在数列中重复出现； (3）{an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． （4）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． （5）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 自主检测已知数列的通项公式，则数列的前5项为 . 知识点3 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的 ，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 ． 注：常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 自主检测已知数列，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项 知识点4 数列的性质 1、数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 2、数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 自主检测若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 题型1 数列的有关概念和分类 例1-1“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2019这2018个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 . 例1-2（2025·天津·二模·变载体）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 【变式训练1-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列 满足 若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 【变式训练1-3】（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围 题型2 判断或者写出数列的项 例2-1如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ． 例2-2数列满足：，则的值为 . 方法技巧 1、 对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 2、(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 3、给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等. 4、递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 【变式训练2-1】观察数列的特点，则括号中应填入的适当的数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】将正奇数按如图所示的规律排列， 则第21行从左到右的第5个数为 ． 【变式训练2-3】正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（    ） A．3991 B．3993 C．3994 D．3997 题型3 数列的单调性 例3-1（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . 例3-2函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列 作商比较法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图像直观判断 【变式训练3-1】已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是 . 【变式训练3-2】已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练3-3】已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4 数列的周期性 例4-1已知数列满足，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 例4-2（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若数列满足，则，则（   ） A． B． C． D．2 方法技巧 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。 【变式训练4-1·变载体】（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式训练4-2】（24-25高二上·天津南开·期末）数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 【变式训练4-3】数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 题型5 数列的最值 例5-1（24-25高二上·天津和平·阶段练习）数列的通项公式是，则数列中的最小项的值是 . 例5-2已知，则数列的最大项（    ） A． B． C．或 D．不存在 方法技巧 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　 【变式训练5-1】已知数列满足，则的最小值为 . 【变式训练5-2】已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 【变式训练5-3】若数列满足，若恒成立，则的最大值（    ） A． B． C． D．3 题型6 数列中的规律问题 例6-1数列，则该数列的第n项为（    ） A． B． C． D． 例6-2已知数列，则这个数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 特殊值法、列举法找规律 【变式训练6-1】已知数列首项为，且，则为 . 【变式训练6-2】甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是 ． 【变式训练6-3】某种规律排列的一列数： 那么第50个数是 . 题型7 数列的恒成立问题 例7-1（24-25高二上·天津·期末）已知数列{}满足 则数列 {}的通项公式 = ，若数列{}对任意的 恒成立，则实数k的最小值为 例7-2（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 方法技巧 分离参数，转化为最值问题 【变式训练7-1】数列的首项，且对任意，恒成立，则 ． 【变式训练7-2】已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 递推数列问题 例8-1（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列满足，，求数列的通项公式． 例8-2已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ） A．0 B．32 C．48 D．64 【变式训练8-1】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【变式训练8-2】（24-25高二上·天津河西·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2005·天津·高考真题）在数列中，，且，则数列的前10项和 ． 2．（2003·全国·高考真题）已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 3．（2005·天津·高考真题）数列的前项和为， 4．（2004·天津·高考真题）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，，，其中为常数，为非零常数． (1)令，证明数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求． 5．（2008·天津·高考真题）已知数列中，，则 . 1．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 2．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 3．求下列数列的一个通项公式： (1)2，7，12，17，… (2)5，50，500，5000，… 4．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 5．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 数列及其有关概念 4 知识点2 数列的分类 4 知识点3 数列的表示方法 5 知识点4 数列的性质 6 题型破译 7 题型1 数列的有关概念和分类 7 题型2 判断或者写出数列的项 9 题型3 数列的单调性 12 题型4 数列的周期性 14 题型5 数列的最值 16 题型6 数列中的规律问题 18 题型7 数列的恒成立问题 20 题型8 递推数列问题 23 04真题溯源·考向感知 25 05课本典例·高考素材 28 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）判断或者写出数列的项 （2）数列的单调性 （3）数列的周期性 （4）数列的恒成立问题 单选题 多选题 填空题 解答题 第19题,15分 第19题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项公式与求和问题，设题稳定，难度较高，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握数列的概念 2.能掌握数列的通项公式与递推公式 3.具备数形类比递推的思想意识，会借助函数求解数列的最值与单调性 4.会解数列中的规律问题 知识点1 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 自主检测数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 知识点2 数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 注：（1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列； （2）同一个数可以在数列中重复出现； (3）{an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． （4）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． （5）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 自主检测已知数列的通项公式，则数列的前5项为 . 【答案】 【详解】因为，所以数列的前5项为. 故答案为： 知识点3 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 注：常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 自主检测已知数列，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项 【答案】B 【详解】数列，即，被开方数是首项为2公差为3 的等差数列， 可得原数列通项为， ，所以是这个数列的第7项. 故选：B 知识点4 数列的性质 1、数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 2、数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 自主检测若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 题型1 数列的有关概念和分类 例1-1“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2019这2018个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 . 【答案】336 【详解】由能被2除余1且被3除余1的数就是能被6除余1的数， 故 ，解得：，， 时，，不是数列中的项， 所以数列的项数为. 故答案为：336 例1-2（2025·天津·二模·变载体）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 方法技巧 1、判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． 2、判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 【变式训练1-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列 满足 若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要满足，则数列是递减数列， 则只需要满足解得：， 故选：B. 【变式训练1-2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 【答案】2 【详解】， 当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减， 所以列的最大项为，最小值为， 所以数列的最大项与最小项之和为. 故答案为：2 【变式训练1-3】（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围 【答案】 【详解】解：∵数列是单调递增数列， ∴， ，化为恒成立， 因为且，则， ，即， 故答案为：. 题型2 判断或者写出数列的项 例2-1如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 12 【详解】由题意得， 则，，，， ， ， 前项和， 故， 故答案为：，12 例2-2数列满足：，则的值为 . 【答案】 【详解】解：∵，， ∴当时，， 当时，， 依此类推，，，， ∴数列为周期数列，周期， ∴. 故答案为：. 方法技巧 1、 对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 2、(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 3、给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等. 4、递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 【变式训练2-1】观察数列的特点，则括号中应填入的适当的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、、、， 所以，该数列的第项为， 因此，第一个括号内填入的数为， 第二个括号内填入的数为， 故选：C. 【变式训练2-2】将正奇数按如图所示的规律排列， 则第21行从左到右的第5个数为 ． 【答案】809 【详解】设从第一行开始，每行的正奇数个数组成数列， 显然为等差数列，首项，公差为2， 则前20行正奇数的个数和， 故第20行最后一个正奇数为， 第21行第一个正奇数为801，从左到右的第5个数为. 故答案为：809 【变式训练2-3】正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（    ） A．3991 B．3993 C．3994 D．3997 【答案】D 【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下： 第一组：1                                    共1个数； 第二组：2，4，6                              共3个数； 第三组：7，9，11，16，15                     共5个数； 第四组：16，18，20，22，24，26，28           共7个数； 第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45   共9个数； …… 由此规律可知，第组最后一个数是组数与该组的数字个数的乘积为，且该数在组成的红色子数列中是第个数， 易知，当时，即第45组最后一个数是与数字2021接近， 此时，红色子数列中第个数为， 所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997. 故选：D 题型3 数列的单调性 例3-1（24-25高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题，对任意的正整数，都有恒成立， ，即恒成立， 对任意的正整数恒成立， ，即. 故答案为：. 例3-2函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且， 即，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：D. 方法技巧 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列 作商比较法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图像直观判断 【变式训练3-1】已知数列满足，若对于任意都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】对任意的，都有， 数列单调递减，可知. 当时，若，单调递减， 而时，单调递减， 只需，解得，； 当时，若，单调递增，应舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-2】已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】为递增数列 ， 而“”是“”的充分不必要条件，故“”是“是递增数列”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式训练3-3】已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 题型4 数列的周期性 例4-1已知数列满足，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则，，，，， 所以数列为周期为4的数列， 则. 故选：A. 例4-2（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若数列满足，则，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】，，， ， 故为周期数列，一个周期为4，故. 故选：D 方法技巧 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。 【变式训练4-1·变载体】（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故选：A. 【变式训练4-2】（24-25高二上·天津南开·期末）数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，；…， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：A. 【变式训练4-3】数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 题型5 数列的最值 例5-1（24-25高二上·天津和平·阶段练习）数列的通项公式是，则数列中的最小项的值是 . 【答案】2 【详解】由且，则或2时，最小项为2. 故答案为：2 例5-2已知，则数列的最大项（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【详解】令，所以， 所以在上递增，在上递减， 所以时，函数取得极大值即最大值， 因为，， 所以数列的最大项为或. 故选：C. 方法技巧 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　 【变式训练5-1】已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，但没有正整数解， 所以等号不等成立，， ， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练5-2】已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A．-15 B．-14 C．-11 D．-6 【答案】A 【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是. 又，∴ ，即的最小值是. 故选：A 【变式训练5-3】若数列满足，若恒成立，则的最大值（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：由于， 当时，，即，当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 由为递增数列，得的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：C. 题型6 数列中的规律问题 例6-1数列，则该数列的第n项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该数列为， 则 以此类推可得， 故选：D 例6-2已知数列，则这个数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知条件得 ∵数列，，，， ∴， 则 故选：. 方法技巧 特殊值法、列举法找规律 【变式训练6-1】已知数列首项为，且，则为 . 【答案】31 【详解】 是以2为首项，以2为等比数列 故答案为． 【变式训练6-2】甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： 当，其出现的概率为， 当，其出现的概率为， 当，其出现的概率为， 当其出现的概率为， ∵甲获胜的概率为，即的概率为， 则满足整理得. 【变式训练6-3】某种规律排列的一列数： 那么第50个数是 . 【答案】 【详解】分母为的数个数为个， 其中，故第50个数的分母为11， 其中为第47个数，为第50个数. 故答案为： 题型7 数列的恒成立问题 例7-1（24-25高二上·天津·期末）已知数列{}满足 则数列 {}的通项公式 = ，若数列{}对任意的 恒成立，则实数k的最小值为 【答案】 / 【详解】， 当时， ； ， 设，， 当时，，， 当时，，因此是数列的最大项 要想数列{}对任意的 恒成立， 只需， 故答案为：； 例7-2（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】数列中，得 当时，得 累加得， 可得，则， 当时符合上式，则， 所以， 对于任意的，不等式， 即恒成立，∴， 设， 可得，即有，解得或， 则实数t的取值范围是． 故答案为： 方法技巧 分离参数，转化为最值问题 【变式训练7-1】数列的首项，且对任意，恒成立，则 ． 【答案】 【详解】依题意可得，得， 又，则， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 故答案为：． 【变式训练7-2】已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列满足，① 当时，，② ①②得，，故， 则， 则， 由于恒成立， 故， 整理得：， 因随的增加而减小， 所以当时，最大，且为， 即. 故选：D 【变式训练7-3】已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴数列为递增数列， 若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有： 当为奇数时，则，故，即； 当为偶数时，则，故，即； 综上所述：实数c的取值范围是. 故选：B. 题型8 递推数列问题 例8-1（24-25高二上·天津·阶段练习）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）当时，， 而，满足上式， 所以的通项公式是. （2）数列中，由，得， 依题意，，则，数列是首项为，公差为2的等差数列， 则，即， 所以数列的通项公式为. 例8-2已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ） A．0 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【详解】已知，则当时，， 可得， 当时，，符合公式，则数列通项公式为， 则， 数列的前项和为， 故选：B. 【变式训练8-1】（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 【变式训练8-2】（24-25高二上·天津河西·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 【变式训练8-3】已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 1．（2005·天津·高考真题）在数列中，，且，则数列的前10项和 ． 【答案】35. 【详解】因为，且， 所以当n为奇数时，，所以； 当n为偶数时，， 又，所以. 所以 故答案为：35. 2．（2003·全国·高考真题）已知数列满足． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【详解】（1）解：因为， 所以， ； （2）证明：因为， 所以， ， ， … ， 将以上个式子相加， 得. 也满足 所以． 3．（2005·天津·高考真题）数列的前项和为， 【答案】2600 【详解】 , , ， ， ， ， ， ， …………………….， . 4．（2004·天津·高考真题）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，，，，其中为常数，为非零常数． (1)令，证明数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求． 【答案】(1)证明见解析. (2)当时，；当时，. (3) 【详解】（1）由得， 所以， 假设当时成立， 则当时仍成立， 所以， 由题设条件可得当时，， 所以数列是以为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 因为，， 所以当时，，即，， 当时，上式仍成立，故当时，； 当时，，即，， 当时，上式仍成立，故当时，. （3）因为当时，， 所以. 5．（2008·天津·高考真题）已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】由题意，数列中，， 可得， 根据数列的极限的运算法则，可得. 故答案为：. 1．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 【答案】；. 【详解】（1）易得数列的前项的和； （2）观察可知数列5，55，555，…的通项为：， 故其前项的和为： 2．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 【答案】第20行最左边的数是，所有数的和是. 【详解】由题设，第19行最右边的数是，故第20行最左边的数是， 又第20行最右边的数是，该行共有39个数， 故第20行所有数的和是. 3．求下列数列的一个通项公式： (1)2，7，12，17，… (2)5，50，500，5000，… 【答案】(1) (2) 【详解】（1）2，7，12，17，…， 所以. （2）5，50，500，5000，…, 所以. 4．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 【答案】36 【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第n层放个， 所以第六层放36个. 5．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意知，并且 ．    ① （2）解：将化为 ．    ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． （3）解：由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$