第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 导数的概念 4 知识点2 导数几何意义 4 知识点3 曲线的切线 7 知识点4 基本初等函数的导数公式 8 知识点5 函数的和、差、积、商的导数 9 知识点6 复合函数的求导法则 10 题型破译 11 题型1 求函数在某点处的导数 11 题型2 求切线方程和切点坐标 13 题型3 利用图象理解导数的几何意义 19 题型4 过某点的曲线的切线 23 题型5 求函数的和、差、积、商的导数 27 题型6 求复合函数的导数 30 题型7 利用导数求函数式中的参数 33 题型8 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 36 题型9 利用导数公式求切点坐标问题 40 题型10 与切线有关的综合问题 42 题型11切线平行、垂直问题 48 题型12 最值问题 52 题型13 公切线问题 57 04真题溯源·考向感知 62 05课本典例·高考素材 68 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求函数在某点处的导数 （2）求切线方程和切点坐标 （3）过某点的曲线的切线 （4）利用导数求函数式中的参数 （5）切线平行、垂直问题 （6）公切线问题 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程，设题稳定，难度较高，分值为16分. 复习目标： 1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数 2.能掌握导数的几何意义与切线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程 知识点1 导数的概念 1.导函数定义 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 自主检测已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率， 结合图象知：，而. 故选：B. 知识点2 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率．如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 ( 图1 ) 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 自主检测“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 知识点3 曲线的切线 1.用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 2.在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 自主检测已知函数，为的导函数，则 ①曲线在处的切线方程为； ②在区间上单调递增； ③在区间上有极小值； ④在区间上有两个零点， 上述4个结论中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】判断①，首先，根据求导公式求出函数的导数. 然后，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率. 当时，，这就是切线的斜率. 同时，，即切点坐标为. 利用点斜式方程可得切线方程为，即，所以①错误.   判断②，当时，对于，所以在区间上单调递增，所以②正确.   判断③，已知和在上都单调递增，根据两个增函数的和还是增函数， 可知函数在上单调递增. 计算，因为，所以，而. 根据零点存在定理，若函数在某区间上单调且两端点函数值异号， 则在该区间内存在唯一零点，所以存在唯一，使得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 根据极值的定义，函数在某点处先递减后递增，则该点为极小值点， 所以在处取得极小值，③正确.   判断④，由③可知，在上有唯一零点. 当时，，即，说明在上没有零点. 所以在区间上有个零点，所以④错误. 所以正确的只有②③，两个. 故选：B. 知识点4 基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），， 自主检测若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 知识点5 函数的和、差、积、商的导数 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 自主检测 求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：. （2）解：. （3）解：. （4）解：. 知识点6 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 自主检测 设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】展开式的通项为，， 所以 ，故①正确； 令，可得， 令，可得，（1） 所以，故②正确； 令，可得，（2） （1）（2）可得， 所以，故③正确； 对两边求导， 可得， 令，可得，故④正确； 所以结论中正确的个数为个. 故选：. 题型1 求函数在某点处的导数 例1-1已知函数，，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由，求导，知， 又，则函数在点处的切线方程为. 故答案为： 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 方法技巧 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率． （3）求极限． 【变式训练1-1】设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 【变式训练1-2】已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：割线AB的斜率为， 为函数图象在点处切线的斜率， 为函数图象在点处切线的斜率， 结合图象可得， 故选：D． 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以，则， 所以， . 故选：D 题型2 求切线方程和切点坐标 例2-1（2025·天津·联考）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 例2-2已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意作出函数的图象，如图： 要使关于的方程有个互异的实数根， 则要使直线与函数的图象有三个交点， 易知点，， 由图象可知，当时，不合题意； 当时，若直线与函数在y轴右侧的图象相切，设切点为， 由可得，解得，，切点恰为点， 所以当时，直线与函数在y轴右侧的图象只有一个交点； 若直线与函数在y轴左侧的图象相切，设切点为， 由，所以， 解得（舍去）或，， 当直线过点时，， 所以当时，直线与函数在y轴左侧的图象有两个交点； 综上，要使直线与函数的图象有三个交点，则. 即实数的取值范围是. 故选：B. 方法技巧 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 2.求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式训练2-1】已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，而函数图像关于直线的图像为直线， 所以问题等价于函数的图像与的图像有且只有四个不同的交点， 作函数的图像与直线如下图， 而直线恒过点， 设直线与相切于点， 因为，所以， 解得，所以， 设直线与相切于点， 因为，所以，解得， 所以， 所以，所以， 故选：B 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】因为的图象关于点对称， 所以，，解得，， 因为，所以，故， 对于①，令，解得，故在单调递减，故① 正确； 对于②，由，可得，根据正弦函数的图象，可知在区间只有一个极值点，故②不正确； 对于③，因，故③不正确； 对于④，由，求导可得，， 因为， 故在点处的切线方程为，即， 故直线是曲线的一条切线，故④正确． 故选：B． 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）当时，， 则，令， 则，当且仅当时等号成立． 所以在R上单调递增． 又，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． （3），则． 当时，可证恒成立， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，． 所以． 可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去； 当时，令， 则，且． 令，则． 显然，在R上单调递增． 令，解得． ①当时，， 可得当时，，故在上单调递增． 又， 故当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意； ②当时，， 可得当时，， 故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以当时，， 在上单调递减，故不是极值点，不合题意； ③当时，， 可得当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以，则在R上单调递增． 又，所以当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以是的一个极小值点，满足题意． 综上，当且仅当时，是的极值点． 题型3 利用图象理解导数的几何意义 例3-1（2025·天津·调研）定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（    ） A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点 【答案】C 【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 故函数有一个极大值点，两个极小值点. 故选：. 例3-2函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 方法技巧 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式训练3-1】函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 【变式训练3-2】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由的图像知:当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 由选项各图知：选项C符合题意， 故选：C. 【变式训练3-3】如图是函数的导函数的图象，则下列说法一定正确的是（    ） A．是函数的极小值点 B．当或时，函数的值为0 C．函数的图像关于点对称 D．函数在上是增函数 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以函数是减函数， 不是函数的极小值点； 当或时，函数的值为0不正确； 当，时，， 所以函数是增函数，故选项C不正确，正确， 故选：． 题型4 过某点的曲线的切线 例4-1（2025·天津·调研）已知函数，点M、N是函数图像上不同的两个点，设O为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 则， 所以在上单调递减，且， 当时，， 作出函数的图像，如图所示， 设过原点且与函数的图像相切的直线的方程为，设切点为，斜率， 所以切线方程为：， 将原点坐标代入切线方程可得，，即，解得， 所以过原点且与函数的图像相切的直线的方程为， 设过原点且与函数的图像相切的直线的方程为，设切点为，斜率， 所以切线方程为：， 将原点坐标代入切线方程可得，，即， 所以过原点且与函数的图像相切的直线的方程为， 设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则， 结合图形可知，， 故选：B． 例4-2已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题,设两对称点,, 则,所以,即与有交点, 设与的切点为, 则切线斜率为, 又有,所以,即, 所以当与有交点时,, 故选:B 方法技巧 过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式训练4-1】已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 令，，当时，，单调递增； 当，，单调递减，故， 由题意，使， 因为时，单调递增，所以只需， 故选：B． 【变式训练4-2】将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在原点处的切线斜率为，切线方程为 当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像. 所以的最大值为.    故选：B. 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）已知函数， (1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值； (2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：> 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），在处切线斜率，，所以切线， 又，设与相切时的切点为，则斜率， 则切线的方程又可表示为， 由，解之得． （2）由题可得对于恒成立，即对于恒成立， 令，则，由得， + 0 ↗ 极大值 ↘ 则当时，，由，得：，即实数的取值范围是． （3）由题知， 由得，当时，，单调递减， 因为，所以，即， 所以，①同理，② ①+②得， 因为， 由得，即， 所以，即，所以． 题型5 求函数的和、差、积、商的导数 例5-1（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 例5-2求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 方法技巧 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式训练5-1】求下列函数的导数.（每小题4分，需有答题过程） (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）令， 令， 则； （4）. 【变式训练5-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）， （2）， （3）， （4）. 题型6 求复合函数的导数 例6-1（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 因为时，的最小值为， 所以的最小正周期为，且，所以，解得， 即， 又，可得直线是函数的一条对称轴， 所以，解得， 又，当时，，即， 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则. 故选：B 例6-2求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1） （2） （3） （4），则 （5） 方法技巧 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式训练6-1】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3）． （4）． 【变式训练6-2】求下列函数的导数. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 则由两函数商的求导法则知. （3）因为，所以. 【变式训练6-3】求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 题型7 利用导数求函数式中的参数 例7-1（2025·天津·模拟预测）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作出函数的图象如图：    依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点， 因为必过，且， 若时，方程不可能有三个实数解，则必有， 当直线与在时相切时， 设切点坐标为，则，即， 则切线方程为， 即， 切线方程为， 且，则，所以， 即当时与在上有且仅有一个交点， 要使方程有且仅有三个的实数解， 则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即， 所以， 故选：B 例7-2函数，若，则的值等于 ． 【答案】 【详解】函数    . 故答案为：. 方法技巧 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可． 【变式训练7-1】已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值， 函数有3个零点，转化为方程有3个实数根，即与有3个交点，表示斜率的直线，如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时，当直线与相切时，设切点 ，解得：，，    如图，满足条件的的取值范围是 故答案为： 【变式训练7-2】（2025·天津宁河·开学考试）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 【变式训练7-3】设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为. 将代入，解得，即， 由切线方程，则切线斜率. 故，解得. （2）证明：由（1）知， 从而等价于. 设函数，则. 所以当时，，当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为. 设函数， 从而在上的最大值为. 故，即. 题型8 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 例8-1（2025·天津东丽·联考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【答案】D 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线斜率， 整理得，设， 问题转化为直线与的图象有2个交点，因为， 令，解得或，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，，且时，时，， 所以或， 故选：D. 例8-2过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C 方法技巧 （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式训练8-1】已知函数 (1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，，设直线l与曲线相切于点， 因为，所以直线l的斜率， 又，故l的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故l的方程为，即． （2）因为在上恰有两个零点， 所以关于x的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点． 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示， 所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数a的取值范围为． 【变式训练8-2】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)增区间是，减区间是，最大值是1，最小值是 【详解】（1）当时，， 则，，又， 所以切线方程为，即 （2），由题意， 所以，， 当或时，，当时，， 所以的增区间是，，减区间是， 由此也说明满足题意． 当时，在上递增，在上递减， ，又，， 所以在上最大值是1，最小值是． 【变式训练8-3】已知函数 (1)求当时，函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)已知函数在上的最大值为13，求a的值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【详解】（1）若，则，且， 可得，且，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）因为，由（1）可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在上的最大值为，解得. 题型9 利用导数公式求切点坐标问题 例9-1（2025·天津和平·开学考）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 例9-2过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 方法技巧 （1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． （2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养． 【变式训练9-1】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【变式训练9-2】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以抛物线：； 设，不妨设， 由，可得，可得，则， 可得切线的方程为 因为点在直线上，可得， 同理可得：， 所以直线的方程为，可得直线过定点， 又因为在直线上的射影为，可得且， 所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 当与相切时， 由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为， 可得切线方程为，则，解得或， 所以实数的范围为. 故答案为：. 【变式训练9-3】（2025·天津南开·调研）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由，得点在曲线上， 求导得，则， 所以所求切线的方程为，即. （2）设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为：， 由切线过点，得，整理得， 解得，，切线的斜率， 所以切线的方程为，切点坐标为. 题型10 与切线有关的综合问题 例10-1（2024·天津·开学考试）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线, 则两个切点都在直线上,设两个切点分别为 则两个曲线的导数分别为, 由导数的几何意义可知,则 且切点在各自曲线上,所以 则将代入可得 可得 由可得 代入中可知 所以， 所以. 故选：D. 例10-2已知函数，若曲线上总存在一点，使得曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以曲线在点处的切线的斜率为， 设曲线在点处的切线的斜率为，则，即， 所以，解得. 故选：C 方法技巧 （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式训练10-1】已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 【变式训练10-2】已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）（ii）答案见解析 【详解】（1），其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）当时，，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以点 所以点的横坐标. （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，在有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【变式训练10-3·变考法】已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ii） 【详解】（1），得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． （2）（i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立， 的取值范围为． 题型11 切线平行、垂直问题 例11-1（2025·天津·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 例11-2已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，， 设，，，不妨设， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 若且，则由曲线在两点处的切线重合，得， 得，与矛盾， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由曲线在两点处的切线重合，得且， 所以， 令 ， 因为，所以，所以单调递增，所以， 因为 所以. 故选：A． 方法技巧 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为． 【变式训练11-1】已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（   ）. A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 如图，设函数在点和处的两条切线互相垂直， 当时，，； 当时，，. 则， 因为直线与互相垂直，所以，即， 由图象可知，，则，， 所以直线方程为，当时，，故点， 同理，直线方程为，当时，，故点， 所以，. 故选：A. 【变式训练11-2·变考法】已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【详解】（1）两条切线方程可以是，（答案不唯一）． 理由如下：当时，函数的定义域为，， 令，，，曲线在点处的切线方程为； 由题意，另一切线与直线垂直，则其斜率为-1， 令，解得，， 曲线在点处的切线方程为，整理得． （2）令，由题意，当时，． ，由，得或， 若，则，当时，，单调递增， ，不合题意； 若，则，单调递减，，不合题意； 若，则，当时，，单调递减，此时只需，解得，满足题意． 综上，的取值范围为． 【变式训练11-3·变考法】已知函数， . （1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程； （2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:， 即； （2）当时，恒成立,等价于, 令,.则， 令，解得：；令，解得：； 所以在上单减，在上单增， 所以,所以. 即实数a的取值范围为. 题型12 最值问题 例12-1分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与x轴平行，设方程为， 由，可得，即， 由，可得，即， 所以， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 故选：B 例12-2如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的准线与圆相切得或7， 又，∴，所以抛物线的方程为： 设直线AB的方程为，直线CD的方程为， 由，可得，则 ，可得，则 则. 设，， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减, 即当时，，此时直线AB的方程为. 所以当取得最大时，直线AB的方程为. 故选：B 方法技巧 转化为切点到直线距离 【变式训练12-1】在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为，又， 所以 ， 设， 则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， 设，则， 令，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即，时等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 【变式训练12-2】已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【详解】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【变式训练12-3·变考法】已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 题型13 公切线问题 例13-1已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 例13-2曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【变式训练13-1】若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设公切线与函数,的图象分别切于点， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为，所以， 所以公切线方程为， 即， 因为函数与的图象有且只有一条公切线， 所以，由 得, 代入， 则， 整理得， 令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，， 则当时， 函数与的图象有且只有一条公切线， 即，解得. 故选：B. 【变式训练13-2】已知，. (1)证明：； (2)证明：函数与的图象有两条公切线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 因为在上均为增函数，故在上为增函数， 而，，故在上存在一个零点， 且当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，而，故， 故，但，故等号不可取， 故，即即. （2）设公切线与曲线的切点坐标为， 与曲线的切点坐标为， 则曲线在处的切线方程为， 同理曲线在处的切线方程为， 故，故①， 若，则，但恒成立，矛盾，故， 故①即为，设， 则 故在为增函数，在为增函数， ，，， ， 故有两个不同的零点即函数与的图象有两条公切线. 【变式训练13-3】已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 1．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求. 故选D. 2．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 3．设，若函数，有大于零的极值点，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点． 即有正根，当有成立时，显然有， 此时．由，得参数a的范围为．故选B． 4．求下列函数的最值： (1)，； (2)，． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最小值为，最大值为 【详解】（1）解：由函数，可得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为，最小值为. （2）解：由函数， 可得函数的图象开口向上，对称轴， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为， 又当时，可得；当时，可得， 所以函数的最小值为，最大值为. 5．求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2） 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 导数的概念 4 知识点2 导数几何意义 4 知识点3 曲线的切线 6 知识点4 基本初等函数的导数公式 7 知识点5 函数的和、差、积、商的导数 7 知识点6 复合函数的求导法则 8 题型破译 8 题型1 求函数在某点处的导数 8 题型2 求切线方程和切点坐标 9 题型3 利用图象理解导数的几何意义 11 题型4 过某点的曲线的切线 13 题型5 求函数的和、差、积、商的导数 14 题型6 求复合函数的导数 15 题型7 利用导数求函数式中的参数 16 题型8 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 17 题型9 利用导数公式求切点坐标问题 18 题型10 与切线有关的综合问题 19 题型11切线平行、垂直问题 20 题型12 最值问题 20 题型13 公切线问题 21 04真题溯源·考向感知 22 05课本典例·高考素材 23 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求函数在某点处的导数 （2）求切线方程和切点坐标 （3）过某点的曲线的切线 （4）利用导数求函数式中的参数 （5）切线平行、垂直问题 （6）公切线问题 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 天津卷，第20题，16分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程，设题稳定，难度较高，分值为16分. 复习目标： 1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数 2.能掌握导数的几何意义与切线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程 知识点1 导数的概念 1.导函数定义 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 自主检测已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率．如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 ( 图1 ) 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 自主检测“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 知识点3 曲线的切线 1.用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 2.在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 自主检测已知函数，为的导函数，则 ①曲线在处的切线方程为； ②在区间上单调递增； ③在区间上有极小值； ④在区间上有两个零点， 上述4个结论中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点4 基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），， 自主检测若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点5 函数的和、差、积、商的导数 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 自主检测 求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 知识点6 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 自主检测 设，则下列结论中正确的个数为（    ） ①    ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型1 求函数在某点处的导数 例1-1已知函数，，则曲线在处的切线方程为 . 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率． （3）求极限． 【变式训练1-1】设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【变式训练1-2】已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 题型2 求切线方程和切点坐标 例2-1（2025·天津·联考）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例2-2已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 方法技巧 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤 2.求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式训练2-1】已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 题型3 利用图象理解导数的几何意义 例3-1（2025·天津·调研）定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（    ） A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点 C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点 例3-2函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式训练3-1】函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【变式训练3-2】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图是函数的导函数的图象，则下列说法一定正确的是（    ） A．是函数的极小值点 B．当或时，函数的值为0 C．函数的图像关于点对称 D．函数在上是增函数 题型4 过某点的曲线的切线 例4-1（2025·天津·调研）已知函数，点M、N是函数图像上不同的两个点，设O为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4-2已知函数若函数的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式训练4-1】已知函数，若对于，总使的图像上与处的切线平行，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 【变式训练4-2】将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）已知函数， (1)若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值； (2)若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围； (3)若，且，证明：> 题型5 求函数的和、差、积、商的导数 例5-1（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 例5-2求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 方法技巧 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式训练5-1】求下列函数的导数.（每小题4分，需有答题过程） (1)； (2)； (3)； (4). 【变式训练5-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型6 求复合函数的导数 例6-1（2024·天津河西·三模）已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（    ） A． B． C． D． 例6-2求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 方法技巧 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式训练6-1】求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【变式训练6-2】求下列函数的导数. (1) (2) (3) 【变式训练6-3】求下列函数的导数： (1)； (2)． 题型7 利用导数求函数式中的参数 例7-1（2025·天津·模拟预测）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7-2函数，若，则的值等于 ． 方法技巧 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可． 【变式训练7-1】已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练7-2】（2025·天津宁河·开学考试）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【变式训练7-3】设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 题型8 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 例8-1（2025·天津东丽·联考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 例8-2过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式训练8-1】已知函数 (1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围； 【变式训练8-2】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值． 【变式训练8-3】已知函数 (1)求当时，函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)已知函数在上的最大值为13，求a的值. 题型9 利用导数公式求切点坐标问题 例9-1（2025·天津和平·开学考）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例9-2过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 方法技巧 （1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． （2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养． 【变式训练9-1】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【变式训练9-2】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 . 【变式训练9-3】（2025·天津南开·调研）已知函数. (1)直线为曲线在点处的切线，求直线的方程； (2)求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标. 题型10 与切线有关的综合问题 例10-1（2024·天津·开学考试）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 例10-2已知函数，若曲线上总存在一点，使得曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式训练10-1】已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【变式训练10-2】已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【变式训练10-3·变考法】已知函数，其中． (1)若函数有处取得极大值0，求的值； (2)函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 题型11 切线平行、垂直问题 例11-1（2025·天津·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 例11-2已知函数的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为． 【变式训练11-1】已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（   ）. A．2 B． C．3 D． 【变式训练11-2·变考法】已知函数． (1)当时，写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由． (2)设，当时，，求的取值范围． 【变式训练11-3·变考法】已知函数， . （1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程； （2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围. 题型12 最值问题 例12-1分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例12-2如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线和圆分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 转化为切点到直线距离 【变式训练12-1】在平面直角坐标系中，已知点在曲线上运动，点在直线上运动，点，为中点，则的最小值为 ． 【变式训练12-2】已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【变式训练12-3·变考法】已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 题型13 公切线问题 例13-1已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 例13-2曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-1】若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练13-2】已知，. (1)证明：； (2)证明：函数与的图象有两条公切线. 【变式训练13-3】已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 4．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 1．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A． B． C． D． 2．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A． B． C． D． 3．设，若函数，有大于零的极值点，则 A． B． C． D． 4．求下列函数的最值： (1)，； (2)，． 5．求下列函数的导数： (1)； (2)． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$