专题04 利用基本不等式求最值（压轴题8大类型专项训练）数学人教A版2019必修第一册

专题04 利用基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、常数代换法 1 类型二、变形后利用常数代换法 2 类型三、二次（一次）商式的最值 2 类型四、消参法 3 类型五、换元法 4 类型六、双换元法 4 类型七、多次使用基本不等式 4 类型八、多元型 5 压轴专练 5 类型一、常数代换法 形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 一、填空题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正数，满足，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 5．（24-25高一上·天津武清·期末）已知，则的最小值为 . 类型二、变形后利用常数代换法 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解. 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解. 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配. 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解. 一、填空题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是 . 4．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知，，，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 6．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 . 类型三、二次（一次）商式的最值 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 一、填空题 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 类型四、消参法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 二、填空题 4．（24-25高一上·江西南昌·月考）已知，若，则的最小值为 ． 5．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 类型五、换元法 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024高一·全国·专题练习）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 类型六、双换元法 一、填空题 1．已知，，，则的最大值为 ． 2．已知，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 类型七、多次使用基本不等式 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 一、填空题 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为 . 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 类型八、多元型 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 3．（24-25高一上·福建宁德·月考）已知，若，则的最大值为 . 4．（24-25高一上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 一、单选题 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽·月考）若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 二、填空题 4．（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 . 5．（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知，则函数的最小值是 ． 6．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知，且，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 8．（24-25高一上·上海·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 9．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 11．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 12．若实数m，n满足，则的最小值是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用基本不等式求最值 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、常数代换法 1 类型二、变形后利用常数代换法 3 类型三、二次（一次）商式的最值 6 类型四、消参法 7 类型五、换元法 9 类型六、双换元法 12 类型七、多次使用基本不等式 13 类型八、多元型 15 压轴专练 18 类型一、常数代换法 形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 一、填空题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，即的最小值为6. 故答案为：6 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】由“1”的代换即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为1， 故答案为：1 3．（24-25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】12 【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果. 【详解】根据题意可知： ； 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值是12. 故答案为：12 5．（24-25高一上·天津武清·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时等号成立， 则的最小值为， 故答案为： 类型二、变形后利用常数代换法 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解. 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解. 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配. 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解. 一、填空题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 3．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【详解】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 4．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，当且仅当时取等号， 即，时，有最小值. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 6．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以，；因为，所以. 由，得，所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：1. 类型三、二次（一次）商式的最值 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 一、填空题 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 类型四、消参法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】A 【分析】先求解，再化简，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意可知，，故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最小值3. 故选：A. 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 3．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 二、填空题 4．（24-25高一上·江西南昌·月考）已知，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过等式代入消元，构造“”的型式后用基本不等式得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵，∴ 则 当且仅当时取“=” 故答案为：2 5．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 类型五、换元法 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 二、填空题 2．（2024高一·全国·专题练习）设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】因为，，令，则且， 因为，所以， 所以，即，所以， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号. 故答案为： 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 类型六、双换元法 一、填空题 1．已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 2．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，表示出，然后代入目标式，利用基本不等式可得范围. 【详解】设，，得到，， 于是， 当且仅当，即时，等号成立，即， 又因为，解得，，满足． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 类型七、多次使用基本不等式 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 一、填空题 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解. 【详解】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 类型八、多元型 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为x，y，z均为正数，满足， 则有， 当且仅当时，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 二、填空题 3．（24-25高一上·福建宁德·月考）已知，若，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4. 4．（24-25高一上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出取得最小值时的值；利用基本不等式处理，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 一、单选题 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽·月考）若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，， ∴，当且仅当取等， 设 ，∴， ∴，即，，∴， 故的最小值为2. 故选：A． 3．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故选：B 二、填空题 4．（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 6．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先配凑，再采用成“1”法结合基本不等式求解即可； 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号； 所以最小值为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 /0.5 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 【答案】 【分析】先由已知条件对作变形得，再结合基本不等式“1”的妙用方法求出的最小值即可求解的最大值. 【详解】因为， 所以， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以有最小值为，则有最大值为. 故答案为：. 11．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 12．若实数m，n满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$